湖南大学《高等数学》课件-第六章定积分与不定积分.pdf

曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1）.曲边梯形的面积曲边梯形的面积定积分的概念和性质定积分的概念和性质定积分与不定积分定积分与不定积分分分 析析我们把以上对问题的分析具体地归结为以下四步：分划分划代替代替求和求和取极限取极限 我们可以先将它划分为若干个小曲边梯形，对于每一个小曲边梯形,由于它的底很窄,几乎可以把高看作不变.这时,每一个小曲边梯形的面积可以近似地用小矩形的面积来代替，把这些小曲边梯形的面积的近似值加起来,就得到曲边梯形的面积近似值.然后，引入极限过程，求出曲边梯形面积的精确值.定积分与不定积分定积分与不定积分Oxyab1x1ixix)(xfy,0)(xf设 .),()(baCxf,1110bxxxxxxannii任意引入分点 ).,2,1(,1nixxnbaii个小区间成分将 .1个小区间的长度表示第用ixxxiii称为区间的一个分法 T定积分与不定积分定积分与不定积分1ixixi ,1则iiixx .)(:iiixfS小曲边梯形面积对每个小曲边梯形均作上述的代替 .的选择有关与iiS定积分与不定积分定积分与不定积分Oxyab1x1ixix)(xfy .)(:11niiiniixfSS曲边梯形面积 .T 的选择有关及点与分法iS 极限过程是什么？如何求精确值？定积分与不定积分定积分与不定积分Oxyab1x1ixix)(xfy ,max|1则令inixx .)(lim :10niiixfS曲边梯形面积 .T 的选择无关及点与分法极限存在与否，i定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分2 2）.变速直线运动的路程变速直线运动的路程0abttiti1 已知质点的运动速度v=v(t).求在时间段a,b内运动的路程 s.匀速运动：距离速度时间(1)分割：任取分点：a=t0 t1 ti1 t i tn=b分割a,b得：ti1,ti (i=1,2,n)且记：ti=ti ti1定积分与不定积分定积分与不定积分(2)作近似：任取 i ti1,ti,iiitvs)(3)求和:iininiitvss)(11(4)取极限：)0maxnti（这时令1ininiitvs10)(limi0abttiti1作 想方法是：解决上述两个问题的思 .取极限求和代替分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所 .,)(上的定积分在区间限，称为函数具有相同结构和式的极baxf定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分3).3).定积分定义定积分定义定义定义1 1 设xi a,b,(i=0,1,2,n)且满足 a=x0 x1xi1xixn=b则点集xi称为闭区间a,b的一个划分划分；若记 xi=xixi 1，则 称为该划分的直径直径.max1inix定义定义2 2 设 f(x)在a,b上有界，若对于a,b的任意划分和任意取的点 i(xi1ixi)，极限iniixfI)(lim10都存在，则称其为 f(x)在a,b上的定积分定积分.定积分与不定积分定积分与不定积分上例有baxxfAd)(battvSd)(定理定理：(1)若f(x)C(a,b),则 f(x)R(a,b)；(2)若f(x)在a,b上单调有界，则 f(x)R(a,b)；(3)若f(x)在a,b上有界且只有有限个间断点，则 f(x)R(a,b)；(4)若f(x),g(x)R(a,b)，则 kf(x),f(x)+g(x),f(x)g(x),|f(x)|R(a,b).其中k为常数.iniibaxfxxf)(limd)(10记此时称 f(x)在a,b上可积可积.记为 f(x)R(a,b).定积分的几何意义Oxyb)(xfy 1A2A3Ad由极限保号性：由极限保号性：,0d)(caxxf,0d)(dcxxf.0d)(bdxxfa,d)(1caxxfAc.d)(3bdxxfA,d)(2dcxxfA面积：面积：定积分与不定积分定积分与不定积分定积分的几何意义Oxyab)(xfy 1A2A3Acd ,)(d)(bxaxxfyxxfba与直线等于曲线.面积的代数和轴所围成的几何图形的及 x定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分例例1.xx d1102例例2.xxdsin0y=sinxyx40例例3.计算积分xx d102定积分与不定积分定积分与不定积分ibaniixfxxf)(limd)(10规定baabxxfxxfd)(d)(0d)(aaxxf又有下面的讨论假设所列出的积分均存在.定积分与不定积分定积分与不定积分性质性质1.d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf其中,为常数.线性性性质性质2.若 a c b,则xxfxxfxxfcabcbad)(d)(d)(可加性y a y=f(x)0bxc定积分与不定积分定积分与不定积分性质性质3.若xa,b有f(x)1,则baabxd a 0bxy1性质性质4.若xa,b有f(x)0，则0baxxfd)(定积分与不定积分定积分与不定积分推论推论1.若xa,b有f(x)g(x),则baxxfd)(baxxgd)(a 0bxyy=f(x)a 0bxy=g(x)y推论推论2.|d)(|baxxfbaxxfd|)(|(a b)定积分与不定积分定积分与不定积分.0d)(baxxf（1）设,0)(,0)(),()(xfxfbaCxf则对于性质4，进一步有（2）设.d)(d)(babaxxgxxf),()(),()(),()(),(xgxfxgxfbaCxgxf则（3）设.0)(xf,0)(,0)(),()(badxxfxfbaCxf且则在a,b上证（证（3）,0)(0 xf ,0)(baxxf设/.)U(0)(0 xxxf.0d)(,)U(,0 xxfx则取 ,0d)(,0d)(故又baxxfxxf.0d)(d)(d)(d)(babaxxfxxfxxfxxf .,0)(baxxf该矛盾说明：,0使则至少bax ,)U(,),()(0使由xbaCxf定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分性质性质5.设则),(max ),(min,xfMxfmbaxbax)(abmbaxxfd)()(abM估值定理x0yMmx0yx0y a b a by=f(x)a b定积分与不定积分定积分与不定积分例例4.估计.d112的值xex解解：容易求得 在 1,1上最大值 1，2)(xexf.1e最小值故有e211d2xex 2.22dsin 21 24xxx证明：,tan ,2,4 sin)(则由令xxxxxxf证证0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf,2)2(,22)4(,2,4)(fmfMxf且故得运用估值定理由 ,)2,4()(,0)(Cxfxf.22)42(22dsin)42(221 24xxx例例5.定积分与不定积分定积分与不定积分 )(6 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 ,baba.d)()(d)()(babaxxgfxxgxf ,1)(则若xgbabaxfxxfd)(d)(.)(abfOxyab)(),()(),()(xgbaRxgbaCxf且若)(xfy 定积分与不定积分定积分与不定积分证证.0)(,)(xgbaxg不妨设所以上不变号在由于 ),()(),()(故有又baRxgbaCxf),()()(baRxgxf ,d)(d)()(d)(xxgMxxgxfxxgmbababa.,)(,最小值上的最大在为其中baxfmM.6 ,0d)()1(显然成立则性质若baxxg ),()(,0d)()2(及则由若baCxfxxgba定积分与不定积分定积分与不定积分 ,使得ba.d)()(d)()(babaxxgfxxgxf.6 ,获证性质综上所述 ,d)(d)()(Mxxgxxgxfmbaba ),0(,lnd1 Nnpnpnxxpnn已知.dsin lim pnnnxxx求解由积分中值定理,lnsind1sindsinnpnxxxxxnpnnnpnn)1ln(sinlimdsinlim npxxxnnpnnn故.0sinlimnpnn例例6.定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分定积分与不定积分设 f(x)C(a,b)将 a,b n 等分：得xi1,xi,且nabxi(i=1,2,n)取)()()(121nnxfxfxfnyniixfn1)(1令n,nnyy limniinxfn1)(1lim称为 f(x)在 a,b 上的平均值平均值.定积分与不定积分定积分与不定积分此时：niinxfny1)(1limnabxfabnin1)(lim1iniinxxfab1)(lim1baxxfabd)(1 容易知道，定积分中值定理（性质6）中的 f()恰是函数 f(x)在区间 a,b 上的平均值.定积分与不定积分定积分与不定积分例例7.7.设气温 T 是时间 t 的连续函数 T=f(t),则日平均气温为.d)(241240ttfT例例8.8.已知自由下落物体的运动速度为v=gt,则它在0秒到 T 秒时间内的平均速度为.d10TtgtTv定积分与不定积分定积分与不定积分一方面：v=v(t)故battvsd)(另一方面：s=s(t)故于是应有baasbsttv)()(d)(注意到这里 s(t)=v(t).)()(asbssb00s(a)s(b)asts 变速直线运动的路程：求时间段a,b内质点运动的路程 s.微积分基本定理微积分基本定理一.积分上限函数(变上限的定积分),则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 .,d)(d)()(baxttfxxfxFxaxa一.积分上限函数(变上限的定积分)定积分与不定积分定积分与不定积分Oxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义定积分与不定积分定积分与不定积分Oxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义xattf d)(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。定积分与不定积分定积分与不定积分 ,d)(d)(有由积分的性质：abbaxxfxxf,d)(d)(xbbxttfttf所以，我们只需讨论积分上限函数.d)(称为积分下限函数bxttf定积分与不定积分定积分与不定积分证证 .),(d)()(),()(baCttfxFbaRxfxa则若 ,则且baxxbax)()()(xFxxFxFxxxxaxxattfttfttf d)(d)(d)(.|)(|,)(),()(MxfbaxfbaRxf上有界：在故又,d|)(|d)(|)(|0 xMttfttfxFxxxxxx于是 .),()(,baCxFx即可得的任意性由夹逼定理及点定积分与不定积分定积分与不定积分,d)()(),()(battfxFbaCxfxa在则若 ,且上可导 .)()(d)(dd)(bxaxfttfxxFxa定积分与不定积分定积分与不定积分 ,d)()()(xxxttfxFxxF由 ,),()(得则由积分中值定理如果baCxf ,)(d)()()(xfttfxFxxFxxx)(之间与在xxxxxfxxFxxFxx)(lim)()(lim 00故)()(lim0 xffx 条件定积分与不定积分定积分与不定积分例1)dcos(xatt dcosddxattx .cosx?)dcos(xaxx定积分与积分变量的记号无关定积分与积分变量的记号无关.)(xF .cos)dcos(xxxxa定积分与不定积分定积分与不定积分例2.)(,d)1sin()(2 0 2xFttxFx求设解,)()(,d)1sin()(,2 0 22xgxFttugxuu则令xuugxFdd)()(故)()d)1sin(2 0 2 xttu.)1sin(22)1sin(42xxxu,一般地 ,)(,)(则可导若Cxfx.)()()d)()()(xxfttfxFxa定积分与不定积分定积分与不定积分例3解.dlim 21 cos 02xtextx计算