湖南大学《高等数学》课件-第35讲一元微积分的应用(六).pdf

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第三十讲 一元微积分的应用(六)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 微积分在物理中的应用湖南大学高等数学第七章 常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn=),(yxfy=),(yyfy=了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.第四节 二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论n 阶线性方程的一般形式为 )()()()(1)1(1)(。xfyxpyxpyxpynnnn=+0)(阶齐线性微分方程；时，称为当nxf 0)(阶非齐线性微分方程；时，称为当nxf ),2 ,1()(数方程；均为常数时，称为常系当nixpi=),2 ,1()(系数方程。不全为常数时，称为变当nixpi=二阶线性微分方程的一般形式为 )()()(。xfyxqyxpy=+:0)(时，方程称为齐方程当xf 0)()(。=+yxqyxpy)1 ()2(通常称(2)为(1)的相对应的齐方程。我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至 n 阶线性方程中。1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理是二阶齐线性微分方程和若 )()(21xyxy 0)()(=+yxqyxpy的解，则它们的线性组合)()(2211xycxyc+也是方程(2)的解，)2()(21。不一定相互独立为任意常数、其中cc你打算怎么证明这个原理？证 )2()()()(2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy+=)()()()()(22112211+xycxycxpxycxyc)()()(2211xycxycxq+)()()()()(22112211xycxycxpxycxyc+=)()()(2211xycxycxq+)()()()()(1111xyxqxyxpxyc+=)()()()()(2222xyxqxyxpxyc+000，=+=)2()()()(2211的解。的解。为方程为方程即即xycxycxy+=0)()()(1)1(1)(=+yxpyxpyxpynnnn ).,2 ,1()(阶齐线性微分方程是若nnixyi=的解，则它们的线性组合=niiixycxy1)()(也是方程(2)的解。)(),2 ,1(。不一定相互独立为任意常数其中nici=)2(推 广在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？(2)线性无关、线性相关 )()(21上有定义。上有定义。在区间在区间、设函数设函数Ixyxy 21，使得，使得和和若存在不全为零的常数若存在不全为零的常数cc 0)()(2211，Ixxycxyc+)()(21上是线性相关的。上是线性相关的。在区间在区间与与则称函数则称函数Ixyxy )()(21上是线性无关的。上是线性无关的。在区间在区间与与否则称函数否则称函数Ixyxy时，才有时，才有当且仅当当且仅当 0 21=cc 0)()(2211，Ixxycxyc+)()(21上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与则则Ixyxy例证 sin cos 线性无关的。线性无关的。在任何一个区间上均为在任何一个区间上均为与与证明：证明：xx sin cos 全为零全为零上线性相关，则存在不上线性相关，则存在不在某区间在某区间与与若若Ixx )0(221，使，使不妨设不妨设，的常数的常数ccc 0sincos21，Ixxcxc+tan 21。即即Ixcccx=由三角函数知识可知，这是不可能的，故 sin cos线性无关的。线性无关的。在任何一个区间上均为在任何一个区间上均为与与xx例证 1sin cos 22线性相关的。线性相关的。在任何区间上均为在任何区间上均为与与证明：证明：xx ),(1 21时，有时，有，则当，则当取取+=xcc 01sincos)1(sincos222221，+=+xxxcxc 1sin cos 22线性相关的。线性相关的。在任何区间上均为在任何区间上均为与与故故xx朗斯基(Wronsky)行列式 )()(21上有定义，且有一阶上有定义，且有一阶在区间在区间、设函数设函数Ixyxy)()()()()(),(212121xyxyxyxyxyxyW=)()(21上的朗斯基行列式。上的朗斯基行列式。在区间在区间、称为函数称为函数Ixyxy 导数，则行列式导数，则行列式朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。0)(),(21，若若IxxyxyW )()(21上线性无关。上线性无关。在在，则函数则函数Ixyxy例 )2 ,0(1 cossinsincos sin,cos。=xxxxxxxW )2 ,0(sin cos 上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与故故xx(3)二阶齐线性微分方程解的结构定理 1 )()(21是二阶齐线性方程、若xyxy (2)0)()(=+yxqyxpy的两个线性无关的解，则)()()(2211xycxycxy+=是方程(2)的通解。0)()()(，则方程，则方程若若=+xqxpxh 0)()()(=+yxqyxpyxh 。必有一解必有一解xey=定理 2 )()(，即可得证。，即可得证。的特点：的特点：由函数由函数=xxxxeeee例解 0)1(的通解。的通解。求方程求方程=+yyxyx 01)1(，所以，所以，因为因为=+xx xey=是原方程的一个解。是原方程的一个解。又容易看出：也是原方程的一个解。也是原方程的一个解。xy=而 )1(1,，=xeeexexWxxxx 0,1 线性无关。线性无关。与与，从而，从而，故，故由题意由题意xxexexWx由叠加原理，原方程的通解为 21。xeCxCy+=)()(21线性无关线性无关、xyxy )()(21常数常数xyxy问题：0)()()(1的一个解，的一个解，是方程是方程如果已知如果已知=+yxqyxpyxy?)()(21xyxy线性无关的解线性无关的解如何求出方程的一个与如何求出方程的一个与该问题的解决归功于数学家刘维尔。0)()()(1的一个非零解。的一个非零解。是方程是方程如果已知如果已知=+yxqyxpyxy ),()()()()(1212则则线性无关的解：线性无关的解：是方程的与是方程的与若若xcxyxyxyxy=)()()(12，xyxcxy=代入方程中，得 0)()()(2()()()(111111。=+xcyxcyxpyxcyxqyxpy 1是方程的解，故得是方程的解，故得因为因为 y 0)()()(2(111。=+xcyxcyxpy )(xc关键是求出关键是求出怎么做？)(，则有，则有令令xcz=0)(2(111。=+zyxpyzy关于 z 的一阶线性方程即 0)(2111。=+zyyxpyz故有 1)(d)(2d)(2111，=+xxpxyyxpyeyexcz两边积分，得 d1)(d)(2，=xeyxcxxp )(1线性无关的解线性无关的解与与xy d )()()()(2d)(112。=xyexyxyxcxyxxp 0)()(的通解为的通解为从而，方程从而，方程=+yxqyxpy )()(2211。xyCxyCy+=关于 z 的一阶线性方程刘维尔公式 0)()()(1的一个非零解，的一个非零解，是方程是方程若若=+yxqyxpyxy=d )()(2d)(12xyexyxyxxp )(1线性无关的解，且线性无关的解，且是方程的与是方程的与xy)()(2211xyCxyCy+=为原方程的通解。则例解 02 的通解。的通解。求方程求方程=+yyy 0121 ，所以，方程有解，所以，方程有解因为系数满足：因为系数满足：=+)(1。xexy=由刘维尔公式 d)()(2d)2(2，xxxxxexeeexy=故原方程的通解为 )(2121。xCCeexCeCyxxx+=+=2.二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的性质性质 1是方程是方程若若 )(*xy)()()(xfyxqyxpy=+)(1是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(=+yxqyxpy的一个特解，则)(*)(1xyxyy+=是原方程的一个特解。性质 2是方程是方程若若 )(1xy)()()(1xfyxqyxpy=+)(2是方程是方程的一个特解，而的一个特解，而xy)()()(2xfyxqyxpy=+的一个特解，则)()(21xyxyy+=是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy+=+的一个特解。性质 3是方程是方程与与若若)()(21xyxy)()()(xfyxqyxpy=+的任意两个特解，则的任意两个特解，则)()(21xyxyy=是其对应的齐方程0)()(=+yxqyxpy的一个特解。性质 4是方程是方程若若 )(i)(*21xyxyy=)(i)()()(21xfxfyxqyxpy=+)()()(1xfyxqyxpy=+的一个特解。)(1是方程是方程的一个特解，则的一个特解，则xy )(2是方程是方程的一个特解；的一个特解；xy)()()(2xfyxqyxpy=+*Re 1yy=实部实部 *mI 2yy=虚部虚部可以直接验证性质1性质4。如何求特解？定理 3是方程是方程若若 )(*xy)()()(xfyxqyxpy=+)(是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(=+yxqyxpy的通解，则)(*)(xyxyy+=是方程(1)的通解。)1 ()2(由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。)(*)()()(xyxfyxqyxpy的特解的特解求方程求方程=+常数变易法常数变易法)(*)()()(xyxfyxqyxpy的特解的特解求方程求方程=+常数变易法 )()()(2211是齐方程的通解：设xyCxyCxy+=0)()(。=+yxqyxpy)2()()(2211为待定的可微函数。为待定的可微函数。，令令xCCxCC=)()()()()(2211是非齐方程的解：设xyxCxyxCxy+=)()()(，xfyxqyxpy=+)1 (则有 )()()()()()()()(22221111，xyxCxyxCxyxCxyxCy+=令 0)()()()(2211，=+xyxCxyxC)3(以下推导的前提于是 )()()()(2211。xyxCxyxCy+=对上式两边关于 x 求导，得 )()()()()()()()(22221111。xyxCxyxCxyxCxyxCy+=)1 (式，得式，得的表达式代入的表达式代入、将将yyy )()()()()()()()(22221111xyxCxyxCxyxCxyxC+)()()()()(2211xyxCxyxCxp+)()()()()()(2211xfxyxCxyxCxq=+这两部分为零。即 )()()()()(2211。xfxyxCxyxC=+)4(联立(3)、(4)构成方程组 0)()()()(2211，=+xyxCxyxC )()()()()(2211。xfxyxCxyxC=+)(2，则，则和和xC解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到)(1xC)()()()()(*2211xyxCxyxCxy+=)()()(的一个特解。的一个特解。为方程为方程xfyxqyxpy=+例解 22 的通解。的通解。求方程求方程xxeyyy=+该方程所对应的齐方程为 02。=+yyy它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为 21。xxexCeCy+=由常数变易法，解方程组 0)()(21，=+xxxexCexC 2)()(21