湖南大学《高等数学》课件-第5章导数与微分的应用.pdf

第 第 第 第 5 章章导数与微分的应用导数与微分的应用导数与微分的应用导数与微分的应用第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用1 1 1 1、函数的单调函数的单调函数的单调函数的单调性性性性单调减少单调减少单调增加 单调增加 aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab1 1 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用定理定理 1 设函数 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,则 (1)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调增加;(2)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调增加;(2)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调减少.例例 1.讨论 y=x3的单调性.oxy=x3y例例 2.讨论 y=ex x 1 的单调性.例例 3.讨论 的单调性.23yx=oxy23yx=第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用注注 1.若 f(x)仅在区间 I 的有限个孤立点上等于零,其它点处恒大于 零(或 小于零),则 f(x)在 I 上严格单调增加(或严格单调减少).注注 2.f(x)等于零的点(驻点)和 f(x)不存在的点(不可导点)可能成 为 f(x)单调区间的分界点.注注 3.求 f(x)单调区间的步骤:(1)求 f(x)定义域 D;(2)求出 f(x)所有驻点和不可导点;(3)将驻点和不可导点插入定义域内,将之分成若干个小区间;(4)由 f(x)的符号讨论 f(x)在每个小区间的单调性.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用例例 4.确定函数 y=x36x2+9x10 的单调区间.例例 5.证明方程 x36x2+9x10=0 有且仅有一个实根.例例 6.证明:3x tanx+2sinx (0).2xp 0,试证 在(0,a)单调增加.()f xx2 2 2 2、曲线的凹凸曲线的凹凸曲线的凹凸曲线的凹凸性性性性第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用x1x2oxy221xx+f(x1)f(x2)2(21xxf+2)()(21xfxf+x1x2221xx+f(x1)f(x2)2(21xxf+oxy2)()(21xfxf+曲线是凹的 曲线是凹的 曲线是凸的 曲线是凸的 1212()()()22f xf xxxf+1212()()()22f xf xxxf+(下凸的下凸的).(上凸的上凸的).第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用2)()()2(2121xfxfxxf+(凸的).定义定义 1 设 f(x)在区间 I 上连续.若 x1,x2 I 恒有问题思考问题思考.凹凸曲线还具有什么特性？xyo第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用xyo定理定理 2 设 f(x)在区间 a,b 上连续,在(a,b)内具有二阶导数.(1)若 x(a,b),有 f(x)0.曲线 y=f(x)在(a,b)上是凹的.(2)若 x(a,b),有 f(x)0.曲线 y=f(x)在(a,b)上是凹的.(2)若 x(a,b),有 f(x)(0,0,1).xyxy n)(3632=xx271121,1=yy232 11(,)3 27(0,1)第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用内容小结：内容小结：1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(f(x)在 I 上单调递增Ixxf,0)(Ixxf 0,则 f(x)在 a,b 上严格单调增加;(2)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调增加;(2)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调减少.证明：证明：(1)x1,x2a,b,不妨设 x10,所以 f(x2)f(x1).由 x1,x2的任意性可得 f(x)在 a,b上严格单调增加.(2)同理可得.例例 1.讨论 y=x3的单调性.oxy=x3y解：解：因为 y=3x2 0,所以,当 x=0 时,y=0;当 x 0 时,y 0;所以,x(,0),y 0,y=x3在(,0 上严格单调增加;x(0,+),y 0,y=x3在 0,+)上严格单调增加.因此,y=x3在(,+)上严格单调增加.oxy23yx=例例 2.讨论 y=ex x 1 的单调性.解：解：因为 y=ex 1,所以,当 x=0 时,y=0;因为 x(,0),y 0,所以 y=ex x 1 在 0,+)上严格单调增加.例例 3.讨论 的单调性.23yx=解：解：因为32,0,3yxx=所以,当 x=0 时,y 不存在;因为 x(,0),y 0,所以 y 在 0,+)上严格单调增加.注注 1.若 f(x)仅在区间 I 的有限个孤立点上等于零,其它点处恒大于 零(或 小于零),则 f(x)在 I 上严格单调增加(或严格单调减少).注注 2.f(x)等于零的点(驻点)和 f(x)不存在的点(不可导点)可能成 为 f(x)单调区间的分界点.注注 3.求 f(x)单调区间的步骤:(1)求 f(x)定义域 D;(2)求出 f(x)所有驻点和不可导点;(3)将驻点和不可导点插入定义域内,将之分成若干个小区间;(4)由 f(x)的符号讨论 f(x)在每个小区间的单调性.例例 4.确定函数 y=x36x2+9x10 的单调区间.解：解：D=(,+),因为 y=3x2 12x+9=3(x 1)(x 3);所以有两个驻点 x1=1,x2=3,无不可导点.x1=1,x2=3 将(,+)分成(,1),(1,3),(3,+).xyy(,1)(1,3)(3,+)+因此函数单调增加区间为(,1)(3,+),单调减少区间为(1,3).例例 5.证明方程 x36x2+9x10=0 有且仅有一个实根.证明证明:设 f(x)=x36x2+9x10,由例 4 知 f(x)(,1 和 3,+)单调增加;在 1,3 单调减少.所以,x(,1),f(x)f(1)=6;x(1,3),10=f(3)f(x)f(1)=6.因此,方程在(,1 和 1,3 上无根.3236910(3)10,lim()lim(1),xxff xxxxx=Q 所以由零点定理,方程在 3,+)至少存在一根.由 f(x)的单调性知方程在 3,+)有且仅有一根.证毕例例 6.证明:3x tanx+2sinx (0).2xp f(0)=0,即,3x 例例 7.证明:.111abababab解解:令()(1),1xf xxx=f(x)在(,+)上严格单调增加.2(1)()(1)xxfxx=Q210(1)x=|ababQ(|)(|)fabfab,11abababab即11ababab=.11abab例例 8.设 f(x)在 0,a 上二阶可导,且 f(0)=0,f(x)0,试证 在(0,a)单调增加.()f xx解解:令则()(),f xF xx=所以,G(x)在 0,a 单调增加.()()()G xxfxf x=令，()()()()()0 (0).G xfxxfxfxxfxxa =即()0,F x因此,F(x)在(0,a)单调增加,即因此,x(0,a),G(x)G(0)=f(0).()f xx在(0,a)单调增加.证毕.2 2 2 2、曲线的凹凸曲线的凹凸曲线的凹凸曲线的凹凸性性性性x1x2oxy221xx f(x1)f(x2)2(21xxf2)()(21xfxfx1x2221xx f(x1)f(x2)2(21xxfoxy2)()(21xfxf曲线是凹的 曲线是凹的 曲线是凸的 曲线是凸的 1212()()()22f xf xxxf1212()()()22f xf xxxf(下凸的下凸的).(上凸的上凸的).2)()()2(2121xfxfxxf(凸的).定义定义 1 设 f(x)在区间 I 上连续.若 x1,x2 I 恒有问题思考问题思考.凹凸曲线还具有什么特性？xyoxyo定理定理 2 设 f(x)在区间 a,b 上连续,在(a,b)内具有二阶导数.(1)若 x(a,b),有 f(x)0.曲线 y=f(x)在(a,b)上是凹的.(2)若 x(a,b),有 f(x)0.曲线 y=f(x)在(a,b)上是凹的.(2)若 x(a,b),有 f(x)0.曲线 y=f(x)在(a,b)上是凸的.证明证明 1：(1)x1,x2(a,b),不妨设 x10 得200012()()2()()()0.f xhf xhf xfh=即000()()()2f xhf xhf x，也即1212()()()22f xf xxxf因此曲线 y=f(x)在(a,b)上是凹的.同理可证(b).证明证明 2：(1)x1,x2(a,b),不妨设 x10时,1212()()()22f xf xxxf结论(1)成立;当 f(x)0时,1212()()()22f xf xxxf结论(2)成立.例例 9.讨论曲线 y=lnx 的凹凸性.解解:21 0 (0),yxx=Q所以曲线 y=lnx 在 0,+)上是凸的.xyo1例例 10.讨论曲线 y=x3的凹凸性.解解:因为 y=3x2,y=6x,所以,当 x=0 时,y=0；当 x0 时,y0,曲线y=x3在(,0 上是凸的；注:(0,0)是曲线上凹弧与凸弧分界点.当 x0 时,y0 时,y0,曲线所以,当 x=0 时,y 不存在；当 x0,曲线253312=,39yxyx=3=yx3=yx在(0,+)上是凸的.定义定义 2 连续曲线上凹弧与凸弧分界点称为拐点拐点.注注 5.判定曲线 y=f(x)的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为:(1)求 f(x)定义域D;(2)求函数的二阶导数 f(x);(3)令 f(x)=0 解出全部实根,并求出所有二阶导数不存在的点;(5)由 f(x)的符号确定曲线 y=f(x)的凹凸区间和拐点.(4)将步骤(3)求出的每一个点插入定义域内,使之分成若干小区间;注注 4.二阶导数等于零或不存在的曲线上的点可能成为拐点.例例 12.求曲线 y=3x4 4x3+1 的凹凸区间与拐点.)(3632=xx271121,1=yy232 11(,)3 27(0,1)解：解：D=(,+),因为 y=12x3 12x2,令 y=0 得 x1=0,x2=2/3,无二阶不可导点.x1=0,x2=2/3 将(,+)分成(,0),(0,2/3),(2/3,+).因此曲线的凹区间为(,0)和(2/3,+),凸区间为(0,2/3).236().3yx x=2 11(,).3 27xyy(,0)(0,2/3)(2/3,+)+凹的00拐点(0,1)凸的2/30拐点2 11(,)3 27凹的拐点为(0,1)和例例 13.证明:1()()22nnnxyxy(0,0,1).xyxy n证明证明:令 f(t)=tn(t 0,n1),()()()22f xf yxyf，1,()().22nnnxyxy即因此,f(t)在(0,+)是凹的.从而则 f(t)=ntn 1,f(t)=n(n 1)tn 20.内容小结：内容小结：1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(f(x)在 I 上单调递增Ixxf,0)(Ixxff(x0)有 f(x)f(x0)定义定义 1 设 f(x)在 U(x0)内有定义.若 x),(0 xU则称 f(x0)为 f(x)的一个极大值(极小值),点 x0称为极大值点(极小值点).极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用xaby=f(x)ox1x2x3x4x5yx1,x4为极大点x2,x5为极小点x3不是极值点定理定理 1(Fermat 定理定理)若 f(x)在 x0可导,且在 x0处取得