湖南大学《高等数学》课件-第4章函数的导数与微分.pdf

第 第 第 第 4 4 章章章章函数的导数与微函数的导数与微分分 1 1 导 数 的 概 念1 1 1 1、导数产生的背景、导数产生的背景、导数产生的背景、导数产生的背景(1)(1)求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度ttSttStStV)()()(00,210tggt以自由落体运动 为例,物体由 到221)(gttS0t 一段的平均速度是tt0第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分tStVVttt00lim)(lim.)21(lim000gttggtt物体在时刻 的瞬时速度瞬时速度 vt 为0tttSttSt)()(lim000第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分(2)(2)曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率LPQT 平面曲线上切线的概念曲线 L 在点 P 处的切线为点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时割线 PQ 的极限位置 PT曲线 L 在点 P 处的切线为点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时割线 PQ 的极限位置 PT第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分Oxy)(xfy PQxyT设曲线方程为 ,曲线上 、两点的坐标)(xfy PQ).,(00yyxxQ),(00yxP故割线 PQ 斜率为.)()(tan00 xxfxxfxy切线切线 PT 斜率斜率为 xyx0limtan.)()(lim000 xxfxxfx第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分2 2 2 2、导数的定义、导数的定义、导数的定义、导数的定义定义定义 1.设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导可导,极限值 a 称为 f(x)在点 x0 处的导数导数.记为如果极限存在,axyxxfxxfxx0000lim)()(lim,|0ayxx .dd0axyxx，axf)(0 ,d)(d0axxfxx第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 1.设 存在，求下列各极限：)(0 xf;)()3(lim)1(000 xxfxxfx ;)()(lim)2(000hxfhxfh ;)3()2(lim)3(000 xxxfxxfx .)()(lim)4(000hhxfhxfh 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定义定义 2.,)()(limlim)(00 xxfxxfxyxfxx若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：).,(bax第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 2.求下列函数的导数：);()1(为常数CCy );()2(Nnxyn ;sin)3(xy;)1,0(log)4(aaxya).1,0()5(aaayx 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定义定义 3.设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数左导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf3 3 3 3、左、右导数、左、右导数、左、右导数、左、右导数第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定义定义 4.设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数右导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf定义定义 5.)(,)(bfaf若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定理 定理 1.f(x)在 处可导的充分必要条件是 f(x)在点 处的左、右导数存在且相等.0 x0 x例 3.求下列函数在 处的左、右导数.0 x;0,)1(0 xxy .0,0,0,sin)2(03xxxxxy 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 4.求函数 ,0,0,0,1sin2xxxxy在 的导数.0 x问题思考.函数 ,0,0,0,1sinxxxxy在0 x 可导吗？第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分4 4 4 4、导数的几何意义、导数的几何意义、导数的几何意义、导数的几何意义).(tan0 xf 此时,切线方程为:).)(000 xxxfyy函数 f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是对应的平面曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率:例 5.求抛物线 在点 处的切线方程和法 线方程.2xy)1,1(问题思考.曲线在某点有切线,函数在该点一定可导吗？第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分5 5 5 5、可导与连续的关系、可导与连续的关系、可导与连续的关系、可导与连续的关系定理 定理 2.如果 f(x)在点 处可导，则函数 f(x)在点 处必连续.0 x0 x例 6.试确定常数 之值，使函数ba、,1,1,)(2xbaxxxxf 在 x=1 处可导.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分.21)(lim1xxfx例 7.设 在 处连续，且1x)(xf求).1(f 例 8.已知,0,0,sin)(xxxxxf 求).(xf 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分 第 第 4 章章 函数的导数与微函数的导数与微分分 1 1 导 数 的 概 念1 1 1 1、导数产生的背景、导数产生的背景、导数产生的背景、导数产生的背景(1)(1)求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度ttSttStStV)()()(00,210tggt以自由落体运动 为例,物体由 到221)(gttS0t 一段的平均速度是tt0tStVVttt00lim)(lim.)21(lim000gttggtt物体在时刻 的瞬时速度瞬时速度 vt 为0tttSttSt)()(lim000(2)(2)曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率LPQT 平面曲线上切线的概念曲线 L 在点 P 处的切线为点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时割线 PQ 的极限位置 PT曲线 L 在点 P 处的切线为点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时割线 PQ 的极限位置 PTOxy)(xfy PQxyT设曲线方程为 ,曲线上 、两点的坐标)(xfy PQ).,(00yyxxQ),(00yxP故割线 PQ 斜率为.)()(tan00 xxfxxfxy切线切线 PT 斜率斜率为 xyx0limtan.)()(lim000 xxfxxfx2 2 2 2、导数的定义、导数的定义、导数的定义、导数的定义定义定义 1.设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导可导,极限值 a 称为 f(x)在点 x0 处的导数导数.记为如果极限存在,axyxxfxxfxx0000lim)()(lim,|0ayxx .dd0axyxx，axf)(0 ,d)(d0axxfxx例 1.设 存在，求下列各极限：)(0 xf;)()3(lim)1(000 xxfxxfx ;)()(lim)2(000hxfhxfh ;)3()2(lim)3(000 xxxfxxfx .)()(lim)4(000hhxfhxfh 解).(333)()3(lim)1(0000 xfxxfxxfx原式 ).()1()()(lim)2(0000 xfhxfhxfx原式 33)()3()2(2)()2(lim)3(000000 xxfxxfxxfxxfx 原式).(5)(3)(2000 xfxfxf)()()()(lim)4(00000hxfhxfhxfhxfh原式 ).(2)()(000 xfxfxf定义定义 2.,)()(limlim)(00 xxfxxfxyxfxx若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：).,(bax例 2.求下列函数的导数：);()1(为常数CCy );()2(Nnxyn ;sin)3(xy;)1,0(log)4(aaxya).1,0()5(aaayx 解xxfxxfxyxfxx)()(limlim)()1(00 .0lim0 xCCx即0)(Cxxxxnnx)(lim0)2)1(lim1210nnnxxxxnnnx.1nxnxxfxxfxyxfxx)()(limlim)()2(00 即 1)(nnxnxxxfxxfxyxfxx)()(limlim)()3(00 xxxxxsin)sin(lim0 xxxxx 2sin2cos2lim0 cos)(sin xx.cosx即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)()4(00 axxalnlnlog ln1)(log axxaxxxax1lnlimln10.ln1ax故xxfxxfxyxfxx)()(limlim)()5(00 xaaxxxx0lim故xaxaxxlnlim0 xaaxxx1lim0 ln)(aaaxx )(xxeeaaxln.定义定义 3.设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数左导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf3 3 3 3、左、右导数、左、右导数、左、右导数、左、右导数定义定义 4.设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数右导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf定义定义 5.)(,)(bfaf若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导.定理 定理 1.f(x)在 处可导的充分必要条件是 f(x)在点 处的左、右导数存在且相等.0 x0 x例 3.求下列函数在 处的左、右导数.0 x;0,)1(0 xxy .0,0,0,sin)2(03xxxxxy 解 (1)xxfx|0|0|lim)0(0 xxfx|0|0|lim)0(0,1|lim0 xxx.1|lim0 xxx处不可导.0在由上可知 0 xxy(2)xxfx)sin(lim)0(0 xxfx30)(lim)0(,1.0)(lim20 xx例 4.求函数 ,0,0,0,1sin2xxxxy在 的导数.0 x解xxxxyfxx1sin)(limlim)0(200.01sinlim0 xxx故函数在 x=0 处可导.其导数为 .00 xy问题思考.函数 ,0,0,0,1sinxxxxy在0 x 可导吗？4 4 4 4、导数的几何意义、导数的几何意义、导数的几何意义、导数的几何意义).(tan0 xf 此时,切线方程为:).)(000 xxxfyy函数 f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是对应的平面曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率:例 5.求抛物线 在点 处的切线方程和法 线方程.2xy)1,1(解由导数几何意义，所求切线斜率为,2211xxxyk从而切线方程为),1(21xy即.012 yx法线方程为.032 yx问题思考.曲线在某点有切线,函数在该点一定可导吗？5 5 5 5、可导与连续的关系、可导与连续的关系、可导与连续的关系、可导与连续的关系定理 定理 2.如果 f(x)在点 处可导，则函数 f(x)在点 处必连续.0 x0 x例 6.试确定常数 之值，使函数ba、,1,1,)(2xbaxxxxf 在 x=1 处可导.解因为 f(x)在 x=1 处可导,.,1)(lim)(lim11ba