湖南大学《高等数学》课件-第6章 一元微积分的应用.pdf

高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：彭亚新教案制作：彭亚新第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章 一元微积分的应用第一、二节 运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性 .1用导数在几何中的简单应 .2应用导数在物理学中的简单 .)()1(法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy .)2(点处的交角求两条相交的曲线在交 .)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度、加 .)2(求变量间的相关变化率 .1用导数在几何中的简单应 .)()1(法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy :),()(,)(00处在点则曲线可微设函数yxMxfyxf ,)(0 xfk切线的斜率为 .)0)(,)(1 1 001xfxfkk法线的斜率为 ;)(000 xxxfyy切线方程为 .)()(1 000 xxxfyy法线方程为 .,部分请参看导数的几何意义这部分不再举新例 .)2(点处的交角求两条相交的曲线在交 .间的交角是它们在交点处的切线两条相交曲线的夹角就 一个求点处的交角实质上仍是求两条相交的曲线在交Oxy121L2LM .),()(:,)(:002211处相交于点设曲线yxMxfyLxfyL :相应的切线方程分别为 .)(,)(1022210111bxxfbxkybxxfbxky.导数的问题Oxy121L2LM )tan(tan12 1 2112kkkk ,)()(1 )()(02010102xfxfxfxf .):()()(1 )()(arctan 02010201取锐角一般故xfxfxfxf例1解解 .1 的交角抛物线与求双曲线xyxyOxyxy 1xy M :联立方程组求交点 1xy xy .)1 ,1 (,M得交点为解此方程组 ,1 111211xxxxk ,2 1 21)(112xxxxk .arctan3 21)1(1 21)1(arctan 故例2解解 013 2yxxy上哪一点的切线与直线抛物线?45 o的交角为 ),(2处的切线的斜率为上任意一点抛物线yxxy ,2)(21xxk 013 的斜率为直线 yx .3)13(2xk ,得式由题意及曲线间交角公 ,1 231 23 xx )()(1 )()(tan02010102xfxfxfxf取锐角 .161 ,41 )1 ,1(,)61(23 和解之得所求点为即xx例3解解 ,用立方抛物线和适当选取参数cA )()(cxbxaxAy 将两条射线,)()(1axaxky)()(2xbbxky .,上光滑地连接起来在区间ba两曲线有是指在连接点处两条曲线“光滑连接”,.切线的斜率相同即在连接点处两曲线的共同的切线 .同数在连接点处的导数相也就是曲线所对应的函 ,有处和在点对立方抛物线而言bxax ,)(cabaAyax .)(cbabAybx ,有接到含义由直线方程以及光滑连 ,)(1kcabaA ,)(2kcbabA(1)(2)2()1(得,)()(2122kkacbcbabbcacabaA)3(.)(221bakkA故 :)1(3)值式中求代入将c ,)()(1221kcababakk 从而 .2121kkkbkac .,)(2121221即可满足要求故取kkkbkacbakkA .2应用导数在物理学中的简单 .)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度、加例4 ,0其运动方程为发射炮弹发射角以初速度v ,)cos(0tvx .21)sin(20tgtvy ;)1(的运动方向炮弹在时刻求t .)2(的速度大小炮弹在时刻 t解解Oxy0vvxvyv )1(时的方向炮弹在时刻 t 时的刻就是炮弹的轨迹线在时t ,而切线方向对应点上的切线方向 :反映可以通过切线的斜率来)cos()21)sin(dd020tvtgtvxy .cos sin 00vtgv ,则轴正向间的夹角炮弹运动方向与时为时刻记xt ,)cos(0tvx .21)sin(20tgtvy ,cos sin ddtan00vtgvxy ,轴正向间的夹角为炮弹的运动方向与时故在时刻xt .)(cos sin arctan00取锐角vtgv :)2(分速度的速度可以分解为两个炮弹在时刻 t ,;且轴的铅直速度平行于轴的水平速度平行于yxvyvx .sindd ,cosdd00tgvtyvvtxvyx ,时的速度大小为炮弹在时刻由速度的合成可知t .sin22202022tgtgvvvvvyxt .)2(求变量间的相关变化率 在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如，都是时间 t 的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.例5解解 .cm/0.01 ,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板?,cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为 ,则面积为设圆板的半径为yx(1).2xy .cm/0.01dd ,秒且的函数都是显然txtyx?dd ,cm 200 tyx时现要求 ,(1)得求导式两边关于将t ,dd 2ddtxxty ,200 圆板面积的增加率为时故在x .)(cm/401.0200 2dd秒ty例6解解 8 ,8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为 5 ,/m 4 .3米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水?升的速度 .,米水深为分钟后设注水ht ,米水面的直径也是此时h.12231 32hhhV容器内水的体积为 ,.412 ,4 ,3得求导对此式两边关于故有此外tthtV .16dd2hth ,5 其表面上升的速度为米时故当水深h .)(m/204.02516516dd2分th例7解解 ,设一贴靠在铅直的墙上 5 米的梯子的下端以长度为 .m/3的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子上下两端滑 速度大小相同？yxO m 5txddtydd .引入坐标系如图所示 .(m)(m),yxt上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻 ,且有的函数均为显然tyx (1).5 ,)(m/3dd222yxtx秒xy ,我们的问题是注意到速度的方向性 (2).)(m/3dd秒ty ,5 222得求导两边关于对tyx ,0dd2dd2tyytxx .dd dd txyxty即有 .,3 3 ,)(m/3dd )2(yxyxtx即得秒式及由.25 ,5 222yxyx故而 .,25 小相同梯子上下端滑动速度大时即当 yx ,使的值求yxyxO m 5txddtyddxy 下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形.:理和公式回忆一下几个重要的定.)()()(abfaFbF式拉格朗日中值定理的公200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf 泰勒公式.)(o()()(!3)()(!2)(303300200 xxxRxxxfxxxf 由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:,)(则内可导在区间若函数Ixf 0)(xf)(Ixf 0)(xf)(Ixf .)(0)(单调性的分界点的点可以作为函数xfxf观察下面的图形,你能得出什么结论？OxyOxy )(不存在的点也可作为使得函数的导数xf .函数单调性的分界点综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法 )(0)()(不存在的点或的导数使得函数xfxfxf .分界点可以作为函数单调性的.82 的单调性讨论xxy),0()0 ,(:定义域282xy)4(222xx得令,0 y,2 ,221xxxyy)2,(20),2(02),0(2),2(00例1解xxy82 ,函数综上所述 )(2,)2,(；内单调增加在 .)2 ,0(,)0 ,2(内单调减少在 列表可使问题明朗化 .),(sin 内有且仅有一个实根在证明：方程 xx,),(sin)(xxxxf令 ,01cos)(,),()(xxfCxf则,0)(,)(2 xfZkkx时且仅当.)(仅在孤立点处为零即xf),(sin)(xxxf从而.)(,轴最多有一个交点与曲线就是说xxfy 例2证 ,)(sinlim)(lim xxxfxx而 ,)(sinlim)(limxxxfxx.)(,轴至少有一个交点与曲线由连续性xxfy ,)(,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述xxfy .),(sin 内有且仅有一个实根在即方程 xx满足条件：设)(xf;0)0(,),0()()1(fCxf,)(,),0()()2(),0(xfxf且内可导在.)()(:),0(xxfxg证明 ,)()()(2xxfxxfxg由于.),0(0)()(xxfxfx下一步你打算 怎么办?这个式子有点像？例3证 故关键在于证明.式形式拉格朗日中值定理的公 ,0 )(,),0(上满足在由已知条件可知xtfx)0)()0()(xffxf得由 ,0)0(f,)(0 ,)()(xxfxf ,)(),0(xf又,)()(,xxfxf从而,0)()()(2xxfxxfxg于是.)(,),0(xgx得的任意性故由 故有，拉格朗日中值定理条件.)3(是单调减少的数列证明：nnxnn,),3 ,)(1xxxfx令21ln1)(xxxxfx,3 时当 x,0)(xf,)(),3xf故 .)3(,:nxn由此可得利用函数处理数列例4证函数的极值是个局部性的概念.)()()U(00的大小与内比较在xfxfx我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 可利用高阶导数定理 .0)()(00 xfxxf处取极值的必要条件是在点可微函数 .实质上就是费马定理 费 马Pierre de Fermat(16011665)费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通 6 种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.,1637写下了著名的算术时年费马研究丢番图的 :费马大定理.,)2(zyxnzyxnnn的正整数不存在满足费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”.)(0)(0的驻点的点称为函数使xfxf .,疑点驻点只是函数的极值可由费马定理可知 .极值函数在驻点处不一定取,0 ,0 yx处在点 ,3xy 例如 .0不是极值此时但xyyxO3xy 0 x .点也是极值可疑点使得函数导数不存在的 ),(|,xxy例如,0 处不可导在点x .0 恰好是它的极小点但xyxO|xy 0 x?否确为极值点如何判断极值可疑点是极值可疑点 .0)(:的点驻点 xf .0)(不存在点使 xfOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点极小点极大点极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x不是极值点Oxy0 x0 x0 x极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x