复旦大学《大学物理》课件-一维无限深势阱(1).pdf

一维无限深势阱一维无限深势阱The infinite potential well 隧隧 道道 效效 应应 Tunnel Effect量子力学处理微观体系问题的一般方法和步骤量子力学处理微观体系问题的一般方法和步骤1、分析、找到粒子在势场中的、分析、找到粒子在势场中的势能函数势能函数Ep，写出写出薛定谔方程薛定谔方程。2、根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数,求解求解 和和 E。3、由、由 2 得出粒子在不同时刻、不同区域出现的得出粒子在不同时刻、不同区域出现的 概率或具有不同动量、不同能量的概率。概率或具有不同动量、不同能量的概率。4、进一步求出各个对应状态的各种力学量的数值，、进一步求出各个对应状态的各种力学量的数值，从中了解体系的性质。从中了解体系的性质。5、联系实际问题，对求得的结果加以讨论和应用。、联系实际问题，对求得的结果加以讨论和应用。一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱 如果直接用此曲线表示的势能如果直接用此曲线表示的势能带入薛定谔方程中，就形成一个相带入薛定谔方程中，就形成一个相当困难的数学问题。当困难的数学问题。简化：用简化：用平均势能平均势能代替晶格势能代替晶格势能 （这一步实质是不考虑电子间、（这一步实质是不考虑电子间、电子与晶格离子间的相互作用，电子与晶格离子间的相互作用，这样的电子就相当于理想气体这样的电子就相当于理想气体 自由电子气）自由电子气）再一步简化：再一步简化：将平均势能作为零势能将平均势能作为零势能 将表面势能视为无限大将表面势能视为无限大一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱axxaxxEp,0,0,0)(EP 与与 t 无关，写出无关，写出定态薛定谔方程定态薛定谔方程0)()(2)(2xEEmdxxdP2200ax1 2 3E 为有限值，所以：为有限值，所以：0)()(2)(2xEmdxxd221 1）势阱外）势阱外1 1、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数波函数一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱00ax0)(2)(2xmEdxxd22（1）解方程）解方程令令:2）势阱内）势阱内1 1、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数波函数（2）确定常数）确定常数 A、B由波函数由波函数连续性连续性，(0)=0 ,(a)=0 ka=n，n=1，2，3，n=0?222222282mahnmanEEn量子数：量子数：n=1，2，3，一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱00ax1 1、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数波函数2）势阱内）势阱内称之为能量的本征值称之为能量的本征值（2）确定常数）确定常数 A、B一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱1 1、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数波函数aA2归一化条件为：归一化条件为：,1)(2-dxx1sin20dxxanAa由归一化条件确定系数由归一化条件确定系数A，2）势阱内）势阱内一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱1 1、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数波函数一维无限深势阱中粒子的一维无限深势阱中粒子的波函数波函数：),0(,0)0(,sin2)(axxaxxanax 考虑时间因子：考虑时间因子：一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱1 1、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数波函数一维无限深势阱中粒子的一维无限深势阱中粒子的波函数波函数：),0(,0)0(,sin2)(axxaxxanax概率密度函数：概率密度函数：一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱2 2、势阱中粒子的势阱中粒子的能能量量,822222222mahnmanEEn,3,2,1n能量是量子化的能量是量子化的粒子的最低能量状态称为粒子的最低能量状态称为基态基态，一维无限深方势阱的基态能量为：一维无限深方势阱的基态能量为：零点能零点能 与与零点能零点能相对应的，应存在相对应的，应存在零点运动零点运动，这与经典粒子，这与经典粒子的运动是相矛盾的，是经典物理不能解释的。的运动是相矛盾的，是经典物理不能解释的。零点能是微观粒子波动性的表现零点能是微观粒子波动性的表现，因为，因为“静止的波静止的波”是没有意义的。是没有意义的。2218,1mahEn讨论：讨论：一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱2 2、势阱中粒子的势阱中粒子的能能量量,822222222mahnmanEEn,3,2,1n归纳:粒子处于量子数为n的状态：能量是量子化的能量是量子化的一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱n=1n=2n=3xaasin21xaa2sin22xaa3sin23na0 x0 xa一维无限深势阱中粒子的一维无限深势阱中粒子的能级能级、波函数波函数和和概率密度概率密度一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱3 3、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数的驻波特点波函数的驻波特点处，处，波函数的值皆为零。波函数的值皆为零。波函数以驻波形式存在势阱中：波函数以驻波形式存在势阱中：一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱3 3、势阱中粒子的势阱中粒子的波函数的驻波特点波函数的驻波特点势阱中粒子能量的量子化从其势阱中粒子能量的量子化从其驻波特点中也可自然地得出。驻波特点中也可自然地得出。一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱4 4、讨论、讨论3 3）按照经典物理的观点，粒子在阱内不停地运动按照经典物理的观点，粒子在阱内不停地运动,因而在阱内各处因而在阱内各处 找到粒子的概率应该相等；找到粒子的概率应该相等；而量子理论指出而量子理论指出,当粒子处于束缚态时当粒子处于束缚态时,其在各个位置出现的概其在各个位置出现的概率不同。率不同。1 1）在经典力学中首要的是受力分析在经典力学中首要的是受力分析,力函数不同力函数不同,牛顿方程的形式牛顿方程的形式 就不同。而这里首要的是寻找势能函数就不同。而这里首要的是寻找势能函数,势能函数不同势能函数不同,薛定谔薛定谔 方程的形式就不同方程的形式就不同,它们的运动状态当然就不同它们的运动状态当然就不同.2 2）待定系数是由标准条件（边值条件）和归一化条件所决定，与待定系数是由标准条件（边值条件）和归一化条件所决定，与 机械波中是完全由初始条件决定所不同机械波中是完全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是这就体现了物质波是 概率波的特点。概率波的特点。4 4）从定态薛定谔方程出发从定态薛定谔方程出发,利用波函数应遵守的标准条件利用波函数应遵守的标准条件,可自然地可自然地 得出能量的量子化条件得出能量的量子化条件,而无须象玻尔那样人为地假定。而无须象玻尔那样人为地假定。这是薛定谔方程的成功处之一。这是薛定谔方程的成功处之一。5 5）基态能不为零，是经典物理不能解释的。基态能不为零，是经典物理不能解释的。二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect 一维方势垒一维方势垒0pEE 粒子的能量粒子的能量区 Ep(x)=0 ，x a区 Ep(x)=0，x 0区 Ep(x)=Ep0，0 x a0 aEp0 x经典物理：经典物理：当粒子能量当粒子能量 E a 的区域的区域;量子物理：量子物理：应求解应求解定态薛定谔方程定态薛定谔方程,才能下结论。才能下结论。二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect 一维方势垒一维方势垒区 Ep(x)=0，x a区 Ep(x)=0 ，x 0区 Ep(x)=Ep0，0 x a0 aEp0 x三三区域的波函数表示为区域的波函数表示为 1、2、30,02121xEmdxd22axEEmdxdp220,0)(22022定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：0)()(2)(2xEEmdxxdP22axEmdxd22,02323二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect 一维方势垒一维方势垒区 Ep(x)=0 ，x a区 Ep(x)=0，x 0区 Ep(x)=Ep0 ，0 x a0 aEp0 x0,02121xEmdxd22axEEmdxdp220,0)(22022axEmdxd22,02323令：令：三三区域的波函数表示为区域的波函数表示为 1、2、3二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect 一维方势垒一维方势垒0 aEp0 x令：令：区区区区区区三三区域的波函数表示为区域的波函数表示为 1、2、3区 Ep(x)=0 ，x a区 Ep(x)=0，x 0区 Ep(x)=Ep0 ，0 x a二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect0 aEp0 x三三区域的波函数分别为区域的波函数分别为：区 区 区 xikxikeBeA11111xikxikeBeA22222xikxikeBeA11333三式的右边第一项表示沿三式的右边第一项表示沿x方向传播的平方向传播的平面波，第二项为沿面波，第二项为沿x负方向传播的平面波负方向传播的平面波 1 右边的第一项表示射向势垒的入射波，右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被第二项表示被“界面（界面（x=0）”反射的反射波。反射的反射波。2 右边的第一项表示穿入势垒的透射波，右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被第二项表示被“界面（界面（x=a）”反射的反射波。反射的反射波。3 右边的第一项表示穿出势垒的透射波，右边的第一项表示穿出势垒的透射波，3 的的第二项为零，因为在第二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波区域不可能存在反射波(B3=0)。B3=0二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect0 aEp0 x三三区域的波函数分别为区域的波函数分别为：区 区 区 三式的右边第一项表示沿三式的右边第一项表示沿x方向传播的平方向传播的平面波，第二项为沿面波，第二项为沿x负方向传播的平面波负方向传播的平面波定义定义反射系数反射系数：粒子被势垒反射的概率：粒子被势垒反射的概率定义定义透射系数透射系数：粒子穿过势垒的概率：粒子穿过势垒的概率B3=0 xikxikeBeA11111xikxikeBeA22222xikxikeBeA11333二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect0 aEp0 x三三区域的波函数分别为区域的波函数分别为：区 区 区 B3=0 得到得到4个方程，再波函数的归一化条件，求出常数个方程，再波函数的归一化条件，求出常数 A1、B1、A2、B2 和和 A3 间关系，从而得到反射系数和透射系数间关系，从而得到反射系数和透射系数.波函数在波函数在 x=0，x=a 处连续处连续xikxikeBeA11111xikxikeBeA22222xikxikeBeA11333二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect0 aEp0 xB3=0(1)E Ep0 ,R0,即使粒子总能量大于势垒高度，即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入入射粒子并非全部透射进入 III 区区,仍有一定概率被反射回仍有一定概率被反射回 I 区区。(2)E Ep0 ,T0,虽然粒子总能量小于势垒高度，虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能入射粒子仍可能穿过势垒进入穿过势垒进入 III 区区 隧道效应隧道效应。讨论讨论:入射粒子一部分透射到达入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回区，另一部分被势垒反射回 I 区区。二、二、一维方势垒一维方势垒 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）Tunnel Effect0 aEp0 xB3=0入射粒子一部分透射到达入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回区，另一部分被势垒反射回 I 区区。粒子能穿过比其能量更高的势垒，粒子能穿过比其能量更高的势垒，这种现象称为这种现象称为隧道效应隧道效应(势垒贯穿势垒贯穿)这是微观粒子波动性的表现。这是微观粒子