大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第5章.pdf

2,NX第三章：二维随机变量（推广第三章：二维随机变量（推广n维）维）（9.3.8.1）是一个样本点）是一个样本点独立重复独立重复n次次nXXX ,21随机抽取随机抽取n个产品个产品测寿命值测寿命值概率统计研究：寻求理论支持概率统计研究：寻求理论支持 第一章：确定研究对象（第一章：确定研究对象（）第二章：建立随机变量第二章：建立随机变量电视机寿命值电视机寿命值（9.3,6.9,7.2.8.1）估计两厂寿命估计两厂寿命均值均值（关注产品寿命值关注产品寿命值（随机现象随机现象）（存在（存在-未知未知）比较两厂寿命比较两厂寿命均值均值（甲厂寿命（甲厂寿命均值均值在在7.9年左右年左右）9.71.83.9nx合理合理？1.联合分布联合分布总体分布总体分布第四章：数字特征第四章：数字特征第五章：大数定律第五章：大数定律 PnXnNXn2,一一.一个定义一个定义二二.三个大数定律三个大数定律三三.两个中心极限定理两个中心极限定理1 1nXX数学语言2,NX019.7PnXnX1 nXPnX 2 21212nXXXnnXXXnX2111lim nnXP9.7nx9.7nx9.7nx i。估计较大时可用总体均数。并且，当本均数依概率收敛于若此式成立，我们称样nXn(1).，抽样，抽样（9.3,6.9,7.2.8.1），），用用 估计估计 是可行是可行对于给定的容许误差对于给定的容许误差 ，满足，满足(2).是随机变量是随机变量 的一个随机结果，的一个随机结果，若保证若保证 估计估计 的的 合理性，还需保证合理性，还需保证 的每一个随机取值都满足误差需求，即满足：的每一个随机取值都满足误差需求，即满足：(3).是随机变量，且与是随机变量，且与n有关，有关，我们不能满足我们不能满足(i)式对所有式对所有n成立成立 但我们可以设法证明：但我们可以设法证明：nXXX21，01lim nnXP。依概率收敛于我们称nXnYYY,21，有：任意给定的01lim aYPnn,aYn依概率收敛于则称随机变量列。记为：aYPn依概率收敛定义我们给定如下更一般的对于随机变量列对于随机变量列 ，如果对给定的，如果对给定的 ，满足：，满足：是一个随机变量列，是一个随机变量列，a 是常数，是常数，如果对于如果对于 存在，2DXEX的大小的方差来估计事件概率 XP;22XP则有221 XP或，容许误差是常数0XX，只用的分布，对于给定的不管0等式，我们给出切比雪夫不为了证明PnX定理：定理：随机变量随机变量 (分布已知或者未知，离散或者连续不关心），记分布已知或者未知，离散或者连续不关心），记证明：设证明：设 X 的分布密度函数为的分布密度函数为 f(x),EX xfXXP,X,1X12X2 XdxxfX221 XdxxfXP dxxfX221；于是 22XP221 XP2X XdxxfDX存在，2,iiDXEX量列，是独立同分布的随机变nXXX,21，构造niinXnX11，有nXE，nXDn21lim nnXP221XP0 则对21nnnXDXEXP;1 22nXPn即11lim lim 22nXPnnn;1lim nnXP于是PnXPnX（独立同分布）：（独立同分布）：证：由契比雪夫不等式期望方差存在（独立同分布）切比雪夫大数定律告诉我们（独立同分布）切比雪夫大数定律告诉我们:只要只要 X 的期望、方差存在，且的期望、方差存在，且抽取的产品足够多，就可以用样本均数估计总体均数。对任何试验都适用。抽取的产品足够多，就可以用样本均数估计总体均数。对任何试验都适用。是独立的随机变量列，nXXX,21,iiEX,2,1 2iDXii，niiniinXnE1111niniiinXnD122111有：则对0111lim 11niiniinnXnP。CDXi221XP可无视此(一般情况)定理去掉了同分布的条件切比雪夫大数定律（一般情况）：切比雪夫大数定律（一般情况）：方差一致有界，使即存在任意常数C量列是独立同分布的随机变nXXX,212,1 ,1ipBXiniinXnX11 构造发生的频率是发生的概率是AnnXApEXAn；则有1lim nnXP;1lim pnnPAn即pnnPApnnpBPA上：在切比雪夫大数定律应用,1EXniiX1nXpXPn；AnnnAp10,21或每个取值nxxx军火,1pp DX,p，2总体总体 X，只要抽取独立同分布的样本，只要抽取独立同分布的样本 ，且，且 n 足够大，足够大，由辛钦大数定律就可以用样本均数估计总体均数。由辛钦大数定律就可以用样本均数估计总体均数。对方差无要求 PnX,存在iEX量列，是独立同分布的随机变nXXX,21，构造niinXnX11，nXE1lim nnXP有：，对 0nXXX,21PnX在钦大数定律无需方差存辛与切比雪夫大数定律比,（证明略）（证明略）nXXX,21；,21nnNXnnii，Rx.2,1,2iXDXEii，nNXnXnniin21,1niiXE1niiXD1 xxnnXPniin1lim*1niiXx P x；1,0Nn证明略设设 是独立同分布的随是独立同分布的随 机变量列，机变量列，则对任意的，则对任意的 有：有：nlim任意试验，经独立大量的重复，叠加在一起，均服从正态分布任意试验，经独立大量的重复，叠加在一起，均服从正态分布n2nnnuXnii1*1niiX量列，是独立同分布的随机变nXXX,21。nipBXi,2,1 ,1nnXAnAniinX 1ppDXpEX1,XEnnEA精确确分1niiX；1,pnpnpNpnBnnnA；则：,21nnNXnniinNXnXnniin21,1nppp1,；Nn（二项分布的极限分布是正态分布）（二项分布的极限分布是正态分布）pnBXnii,1精确分布nXD,pnpp1npnB,；1,pnpnpN Pp,(1-p)在在0,1附近附近p,(1-p)在在1/2附近效果更好，附近效果更好，p,(1-p)在在0,1附近需要附近需要n很大。很大。例例1.某保险公司某保险公司2500人投保，每人保费人投保，每人保费120元，每年每人死亡的概率元，每年每人死亡的概率0.02，若投保人一年内死亡，保险公司赔偿若投保人一年内死亡，保险公司赔偿2万元，问：（万元，问：（1）保险公司亏本）保险公司亏本 的概率。（的概率。（2）保险公司获利至少）保险公司获利至少10万的概率。万的概率。解：设解：设X表示表示2500人中的死亡人数，令：人中的死亡人数，令：人死亡 第 ,1人没死亡 第0ii，Xi25002,1i,02.0,1 BXi25001iiXX 151XP98.002.02500,02.02500近似N 102XP99.4,5NiiiiC2500250015250098.002.0.99.4515102.0,2500 B210ppX11021212XXX13231031313iiXX1 01 01 01434241041414iiXX1 012101 1nnXnXniin1 0kkkqpC-22kkkqpC-33kkkqpC-44knkknqpC-1210由正态分布的可加性及线性变换性质有：由正态分布的可加性及线性变换性质有：，若总体2,NX，抽样nXXX,21独立同分布，nXXX,21nNXnXniin21,1x xf3,23NX5,25NXnNXn2,不服从正态分布，若总体X足够大，依然有只要抽样nnNXnn2,nxxx,21抽样足够大，独立同分布，且nXXXn,21nNXnXnniin21,1PnX存在，期望EX；,21nnNXnnii容，其他全部可忽略第五章只需理解本页内，分布不限总体X则由大数定律有：由中心极限定理有：