华东师范大学《高等数学》课件-第四章中.pdf

华东师范大学高等数学?1三、其他不定式三、其他不定式:解决方法解决方法:通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化例例5.求0limln(0).xxx型0解解:原式0lnlimxxx110limxxx00lim()xx2型.)tan(seclim2xxx解解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2例例6.求通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化3例例7.求.lim0 xxx型00解解:xxx0limxxxeln0lim0e1利用利用 例例5通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化4例例8.求.sintanlim20 xxxxx解解:注意到原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型005内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数6注意：1.每一次使用洛必达法则，都需判断极限类型；2.3.应用洛必达法则时注意结合等价代换鞥方法；4.洛必达法则并不万能5.注意定理中的条件2).例例9.设存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh()()lim()lim()()()fxf xg xg x 不存在不存在二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中1)sin(x)()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xm2!)2(2mxm类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx3)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2 )1(!n)1()1(n4已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k54224642024612!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo33!xyx!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用612!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近7利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例1.求解解:由于x431243 x 2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo可用洛必达法则2x用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(x34220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 8例例2.求24244222/24cos1(),2!4!(/2)1().22!xxxxxo xxxeo x 解：用泰勒公式将分子展开到224222424004coslim=lim(/2)11()2!4!22!112xxxxxexo xxxxx 故9122112()()(1)()(),2!3!()()(1)()(),2!3!11()=(1)(1)2()()()66111()(1)(1)()()21212fxff xf xfxfxff xf xfxfxf xf xf xfffxf xf xff证明：用泰勒公式两式分别相加减，得()lim(),lim()0,lim()0,lim()0.xxxxf xf xCfxfxfx设函数满足证明：例例3.3.1lim()200,lim()()0.2xxfxCCCfxCC10内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式.)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx112.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式(P100 P101),xe,)1ln(x,sin x,cosx)1(x3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式 等.(2)利用多项式逼近函数,xsin例如12第4讲一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、曲线的凸性与拐点二、曲线的凸性与拐点函数的单调性与曲线的凸性第四四章1一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1.设函数则在 I 内严格单调递增,)0)(xf(递减).证证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得0故在开区间 I 内可导,这说明在 I 内严格单调递增.证毕2例例1.确定函数的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21的严格单调增单调增区间为,)1,();,2(的严格单调减单调减区间为).2,1(12xoy123yxo说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,32xy 2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,yox3xy 42）说明 定理1的逆命题不成立。若f(x)的导数只在有限多个点处为0，其余各处都大于0，也可得到f(x)严格单调递增。类似定理1的证明，可得如下定理1()0()fxf x单调减在区间 I 内可导,则3）定理定理1 设5在区间上连续，在4）推论推论 设函数6这一结论可直接应用于证明许多函数 不等式内可导.则例例2.证明时,成立不等式证证:令,2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0从而因此且证证7AB定义定义.设函数在区间 I 上连续,(1)若恒有则称图形是下凸下凸的;(2)若恒有则称连续曲线下凸上凸的分界点，称为拐点拐点.图形是上凸上凸的.yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲线的凸性与拐点二、曲线的凸性与拐点1下凸的四个等价定义：12,fxx xI假设，可导2定理定理2.(凸性判定法)(1)在 I 内则在 I 内图形是下凸的;(2)在 I 内则在 I 内图形是上凸的.证证:利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx!2)(1f 21)(x221xx)()(2fxf221xx)(f 221xx)(2x221xx!2)(2f 22)(x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx)()(21ff ,0)(时当 xf),(2)()(21fxfxf221xx 说明 下凸;上凸)(f 221xx)(1x221xx 设函数在区间I 上有二阶导数证毕3例例3.判断曲线的凸性.解解:,43xy 故曲线在上是下凸的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但)(xf 在两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线的一个拐点.则曲线的凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,xyo4例例4.求曲线的拐点.解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线的拐点.下凸上凸5)(3632xx例例5.求曲线的凸性区间及拐点.解解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上下凸,上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32下凸下凸上凸32)1,0(),(2711326利用凸性证明不等式 0,xxxeexe 证明：在上是下凸的，由下凸定义得证。lnln()ln2xyxxyyxy.求证：例例7 71()ln()0,(0,)lnln()ln222lnln()ln2F xxxFxFxxxyyxyxyxyxxyyxy证明：令,则在下凸，由下凸定义可得即 7证明:20 x当时，.2sinxx有证明证明:2()sinF xxx令,0)0(F,则)(xF)(xF)(xF是上凸凸函数()F x即xx2sin例例80)2(F2cosx0)2(),0(minFF0(自证)8内容小结内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在 I 上严格单调递增Ixxf,0)(在 I 上严格单调递减2.曲线凸性与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+拐点 连续曲线上凸下凸的分界点9二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法函数的极值与最值第四四章第第5讲讲1一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:使得(1)称为函数的极大值极大值;(2)则称为的极小值点极小值点,称为函数的极小值极小值.极大点值与极小值点统称为极值点极值点.则称为的极大值点极大值点,导数为0的点称为驻点驻点.2注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,12xoy123定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1)(xf“左正右左正右负负”,;)(0取极小值在则xxf(2)(xf“左左负负右正”右正”,.)(0取极大值在则xxf(自证)4例例1.求函数求函数的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求出所有驻点与不可导点令,0)(xf得;521x又,)(xf20 x 时，3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(52是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为5定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证证:(1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx时，故当00 xxx;0)(xf时，当00 xxx,0)(xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在 xxf(2)类似可证.6定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.另证:根据Taylor定理，知7)(0 xf)(00 xxxf22000()()()2!fxxxo xx或者0()-()f x f x由此易得定理的结论.注：时需另行判断，例如34 0yxyxx与在处22000()()()2!fxxxo xx例例2.求函数的极值.解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点与不可导点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.1xy18定理定理3(判别法的推广判别法的推广),0)(0)(xfn则:数,且1)当 为偶数时,n是极小点;是极大点.2)当 为奇数时,n为极值点,且不是极值点.)()()(000 x