湖南大学《高等数学》课件-第四章函数的导数与微分.pdf

函数的导数与微分函数的导数与微分1 1、变速直线运动的“速度”设质点沿直线运动,在 t 时刻质点位置坐标为s，则有运动方程：s=s(t).求任一t0时刻的运动速度 v(t0).tOt0t0+tOss(t0)s(t0+t)tsttsttstSvtvttt)()(limlimlim)(000000函数的导数与微分函数的导数与微分定义定义1.设 f(x)在U(x0)内有定义,给 x0 以 x,且),(00 xUxx)()(00 xfxxfy若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在,则称其为 f(x)在点 x0的导数导数.此时称 f(x)在点 x0可导.若上述极限不存在,则称f(x)在 x0不可导.导数记号：.dd,),(000等xxxxxyyxf2 2、导数的定义则有k 0为常数.xxfxxfxfx)()(lim)(0000 xxxfxxfxfx2)()(lim)(0000 xkxfxkxfxfx)()(lim)(0000;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则函数的导数与微分函数的导数与微分 变速直线运动在t0时刻的瞬时速度就是路程 s 对时间 t 在 t0 的导数.dd)(00tttstv 函数在点 x0的导数就是函数对自变量在点 x0 的变化率变化率，反映 f(x)在 x0点处随自变量变化的快慢程度.函数的导数与微分函数的导数与微分3 3、左右导数xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000左导数：xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000右导数：)()()(000 xfxfxf函数的导数与微分函数的导数与微分4 4、导函数函数 f(x)在区间(a,b)内每一点可导，称 f(x)在(a,b)内可导.xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00显然有：0|)()(0 xxxfxf这时，f(x)为 x 的函数，称之为 f(x)的导函数：x(a,b)，也记为.d)(ddd,xxfxyy或函数在点 x0 I 处的导数:0)()(0 xxxfxf)(,)(bfaf若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导,f(x)称为 f(x)在 a,b 上的导函数,简称为导数.先求导、后代值.函数的导数与微分函数的导数与微分5.求导举例.例例1.f(x)=C (C常数)例例2.f(x)=x例例3.f(x)=x2更一般地1)(xx(为常数)例例4.f(x)=sinx例例5.f(x)=，求f(0).0,12sin0,2xxxex函数的导数与微分函数的导数与微分6.导数的几何意义xyxfx00lim)(yTy=f(x)Mxx0 x0+xxyONtantanlimlim0 xyx 我们称直线 MT为曲线 y=f(x)在点 M 处的切线,于是 f(x0)便是曲线 y=f(x)在点 M(x0,y0)处切线的斜率,即tan)(0 xf函数的导数与微分函数的导数与微分 过切点 M 且与切线垂直的直线称为曲线 y=f(x)在 M 处的法线.其方程为)()(1000 xxxfyy曲线 y=f(x)在 M(x0,y0)处的切线方程为)(000 xxxfyy例例6.求曲线 y=x3 在点 x=2处的切线和法线方程.函数的导数与微分函数的导数与微分例例7.3)(xxfyxfxffx)0()0(lim)0(0320)(1limxxxxx0lim30 在 x=0 处，虽然导数不存在，却具有垂直于 x轴的切线 x=0.Ox3xy y 一般地，若 f(x0)=,这时曲线 y=f(x)在点 M0(x0,y0)处具有垂直于x轴的切线 x=x0.y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y O x x0f(x0)不存在f(x0)不存在函数的导数与微分函数的导数与微分7.函数的可导与连续性的关系定理定理 1 1 y=f(x)在点 x0 可导 y=f(x)在点 x0 连续.定理的逆命题不真.即 y=f(x)在点 x0 连续，却不一定在该点处可导.例如在 x=0 处连续，但在 x=0 处不可导.3xy 例例8.f(x)=|x|=在 x=0 处是连续的，但在 x=0 处不可导.x,x0 x,x1 时,xxyxx limlim00故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为 .00 xyxx1sinlim001sinlim10 xxnxxx1sinxxn1sin函数的导数与微分函数的导数与微分(1)(C)=0(2)(x)=x1(3)(ex)=ex(4)(ax)=ax ln axx1)(lnaxxaln1)(log 1.导数基本公式(5)(6)(7)(sin x)=cos x(8)(cos x)=sin x(9)(tan x)=sec2x(10)(cot x)=csc2x导数基本公式与求导法则导数基本公式与求导法则函数的导数与微分函数的导数与微分(11)(sec x)=sec x tan x(12)(csc x)=csc x cot x211arcsin xx(13)211arccos xx(14)211)arctan(xx211cotarc xx(15)(16)(17)(shx)=ch x(18)(chx)=sh x函数的导数与微分函数的导数与微分也在x处可导,且有2 2.四则运算法则定理定理1.设u=u(x)和v=v(x)在点x处可导,则0,vvuvuvu(1)(uv)=uv(2)(uv)=uv+u v(3)(Cu)=C u (C常数)2 vvuvuvu(4)(v0)(1)、(2)可推广到多个函数情形可推广到多个函数情形函数的导数与微分函数的导数与微分例例1.3ln4 4的导数求xxxy例例2.求 y=x2sin x 的导数.例例3.求 y=tan x 的导数.例例4.求 y=ex(sin x+cos x)的导数.例例5.cos1sin的导数求xxxy函数的导数与微分函数的导数与微分定理定理2:设u=(x)在点x 可导,而y=f(u)在对应点 u可导,则 y=f (x)在点 x 也可导,且y(x)=f(u)(x)或xuuyxydddddd3.复合函数求导法则例例1.y=sin 2x例例2.y=lntanx例例3.y=esinxy=(2x+1)3例例4.例例5.y=ln(x2+a2)函数的导数与微分函数的导数与微分推论推论 若有y=f(u),u=(v),v=(x)可导,xvvuuyxydddddddd例例6.y=sin(cosx3)则复合函数 y=f (x)在点 x 也可导,且例例7.2cotxy 例例8.)1 ln(2xxy例例9.xxy11arctan例例10.求y=sinnx sinnx的导数，n为自然数.)0(,1)|ln(xxx证明：例例11.),1 ,1(,11lncos2yxxxy求 设例例12.例例13.设 f(x)可导,求 ,其中)(2xfy xydd例例14.设 f(x)可导,求 ,其中xydd)(lnxfy 函数的导数与微分函数的导数与微分证明：在(a,a)内可导的奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。设 f(x)为(a,a)内的偶函数,则 f(x)=f(x).)()()()(xfxxfxf)()(xfxf即偶函数的导数是奇函数.同理可证,奇函数的导数是偶函数.证证)()(xfxf)()(xfxf而例例15.函数的导数与微分函数的导数与微分函数的导数与微分函数的导数与微分定理定理3.设x=f(y)在区间 J内严格单调可导,且f(y)0,则在对应区间 I 内其反函数 y=f 1(x)可导,且有4.反函数的导数.)(1)(1yfxf例例2.求 y=arctan x 的导数.例例1.求 y=arcsin x 的导数.函数的导数与微分函数的导数与微分 从理论上讲，运用导数基本公式和求导法则可以求得从理论上讲，运用导数基本公式和求导法则可以求得所有初等函数的导数所有初等函数的导数.例例3.设yaxaaaxy求,0,arccos22例例4.设yxxxy求,11例例5.设 f(x)可导,求 ,其中xydd)(cos)(sin22xfxfy例例6.设 f(x)=求 f(x).0),1ln(0,xxxx函数的导数与微分函数的导数与微分5.隐函数的导数(1)隐函数隐函数:显函数：21ln,sinxxyxy 方程 F(x,y)=0 确定的 x 与 y 的函数关系y=f(x),称为由该方程确定的隐函数.例如例如013 yx31xy0132 yx)21(31xy222ayx22xay,0exyey.03275xxyy函数的导数与微分函数的导数与微分(2)隐函数求导数隐函数求导数 (假定隐函数存在并且可导)例例1.求由方程 x2+y2=a2(a0)所确定隐函数 y=f(x)的导数.ddxy例例2.求由方程 e y+xye=0 所确定的隐函数 y=f(x)的导数.ddxy例例3.求由方程所确定的隐函数 y=f(x)0sin21yyx.ddxy的导数求椭圆.),(1002222处的切线方程在点yxbyax对方程两边关于 x 求导得：02222byyaxyaxby22故所求切线的方程为：)(002020 xxyaxbyy解解整理后,切线方程为：12020byyaxx例例4.函数的导数与微分函数的导数与微分函数的导数与微分函数的导数与微分(3)对数求导法对数求导法例例5.求 y=(1+x)x 的导数.,cossin11 23232yxxxxxy求设例例6.,)1)(81)(51()1)(21)(1(342yxxxxxxy求设例例7.函数的导数与微分函数的导数与微分6.由参数方程确定的函数的导数一般地，一个参数方程),(tx),(ty t可以确定平面上的一条曲线，从而也就确定了 y 是 x 的函数.设,)(),(),(),(严格单调若txxtytxx=(t),y=(t)可导,(t)0,则 d().d()dyydy dttdtdxxdt dxtdt 函数的导数与微分函数的导数与微分例例1.求由摆线的参数方程)cos1()sin(ayax所确定的函数).0(ddaxy例例2.求星形线).0(4sincos33aayax处的切线方程在y=y(x)的导数函数的导数与微分函数的导数与微分xxfxxfxfx)()(lim)(0存在，则称其为 f(x)在点 x 处的二阶导数二阶导数，2222dd,dd,),(xfxyyxf并称 f(x)在点 x 处二阶可导.相应的把 f(x)称为f(x)的一阶导数.设 y=f(x)在U(x)内可导,若其导数 f(x)在点x处可导,即:记为函数的导数与微分函数的导数与微分 二阶导数是一阶导数相对于自变量的变化率.例如变速直线运动的速度为tstvdd)(则它的加速度便是速度 v(t)对时间 t 的变化率tvtadd)(22ddts例例1.).0(),1ln(2yxy求例例2.)1()(2432yyyxxy 满足验证函数的导数与微分函数的导数与微分 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，(n1)阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数，分别记作)(),.,(),()()4(xfxfxfn或)()4(,.,nyyy或nnxyxyxydd,.,dd,dd4433即有)()()1()(xfxfnn按照一阶导数的极限形式,有xxfxxfxfynnxnn)()(lim)()1()1(0)()(00)1()1(0)()()()(lim)(00 xxxfxfxfynnxxnxxn和 一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数 f(x)在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f(n)(x),且 f(n)(x)仍是连续的(此时低于 n 阶的导数均连续),则称 f(x)在区间 I 上 n 阶连续可导,记为.)()I()(nnCxfCxf或 如果 f(x)在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f(x)是无穷次连续可导的,记为.)()I()(CxfCxf或函数的导数与微分函数的