国防科技大学《高等数学》课件-第3章.pdf

第7讲 数列极限的概念问题引入一尺之锤，日取其半，万世不竭 庄子天下篇庄子，战国（宋）（公元前369公元前286）第7讲 数列极限的概念问题引入一尺之锤，日取其半，万世不竭 庄子天下篇庄子，战国（宋）（公元前369公元前286）第7讲 数列极限的概念问题引入刘徽“割圆术”“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”刘徽，魏晋（约公元225295）第7讲 数列极限的概念问题引入刘徽“割圆术”“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”边数：刘徽，魏晋（约公元225295）第7讲 数列极限的概念问题引入边数：内接正24边形部分面积：第7讲 数列极限的概念主要内容数列极限的直观描述数列极限的算术定义数列极限的几何解释割圆术与圆周率第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述例 数列的第2项 数列的第101项1.数列的定义定义 按一定规律排列的无穷多个（相同或不相同的）数称为数列.记为第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述自然数数列整标函数在几何上数列的项可以用平面上的点列数列的散点图第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述2.数列的表示方法列表法n0.039901200.23030.060691800.02885105070lnn nnlnn n0.078241600.0317230900.11341400.035300.050002000.02649n-0.279460.8415-0.756890.4121134Sin nnSin n0.141180.9894250.909370.6570-0.958910-0.5440第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述几何法将数列的项所对应数值表示在数轴上方法一方法二散点图第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述3.数列的例子第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述4.数列极限的描述性的定义“对于数列 an，如果存在一个常数 a，当 n 无限增大时(记为n)，an与常数 a 无限接近，则称常数 a 为数列an的极限记为或”极限几何意义：点列随 n 无限增大而无限接近水平直线第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述51015200.60.70.80.91.0第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述5101520-0.6-0.4-0.20.2第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述51015205101520数列不存在极限！第7讲 数列极限的概念数列极限的直观描述5101520-1.0-0.50.51.0数列不存在极限！第7讲 数列极限的概念数列极限的算术定义或若上述常数不存在，则称数列不存在极限（或发散）数列极限的定义称为“-N”定义.称上述定义数列极限的语言为“-N”语言第7讲 数列极限的概念数列极限的算术定义柯西关于极限的定义“当一个变量逐次取的值无限趋近一个定值时，如果最终变量的值与该定值的差要多小就有多小，那么，这一定值就称为所有其它值的极限.”柯西 法(1789-1857)极限定义的算术化魏尔斯特拉斯德(18151897)第7讲 数列极限的概念数列极限的算术定义用数列极限定义验证例1极限的“-N”定义（简洁形式）：对任意（ForAny）存在（Exist）当时，恒有【证】，当时，恒有所以第7讲 数列极限的概念数列极限的算术定义例3 设，证明例2 设 为正常数，证明：例4第7讲 数列极限的概念数列极限的几何解释极限的几何解释：.nOan.第7讲 数列极限的概念割圆术与圆周率在南北朝（429-500）时期，祖冲之利用极限的思想计算圆周率，取得了很大的成功。他利用圆内接多边形的面积逼近圆的面积，即所谓“割圆术”，该方法被写入他与儿子祖恒合著的缀术中。不幸的是，该书在北宋中期失传.祖冲之,南北朝（429-500）第7讲 数列极限的概念割圆术与圆周率边数：内接正24边形部分面积：第7讲 数列极限的概念割圆术与圆周率在中OABD6a12aC第7讲 数列极限的概念割圆术与圆周率OABD6a12aC第7讲 数列极限的概念割圆术与圆周率OABD6a12aC正边形的面积为与单位圆面积的比较下界上界第7讲 数列极限的概念割圆术与圆周率n边数下界上界1243.1058285413.2116570822483.1326286133.1594286853963.1393502033.14607179341923.1410319513.14271369953843.1414524723.14187299467683.1415576083.141662744715363.1415838923.141610176830723.1415904633.141597034961443.1415921063.14159374910122883.1415925173.14159292711245763.1415926193.141592722第7讲 数列极限的概念割圆术与圆周率OABD6a12aC正边形的面积为与单位圆面积的比较当时得到高等数学（一）习题解析第七讲 数列极限的概念朱健民 教授数列的项?可以用平面上的点列?来表示?主要内容回顾：数列?的散点图主要内容回顾：对于数列?，若存在常数，对于任意给定的正数，均存在正整数，当时，恒有?成立则称数列?存在极限（或收敛），常数 称为该数列的极限，记为?或?数列极限的定义简洁形式：，当时，恒有?主要内容回顾：数列极限的几何解释.nOan.主要内容回顾：数列极限的几何解释.nOan.主要内容回顾：数列极限的几何解释.nOan.习题解析判断题1.从集合的观点来看，数列 可以看作是某一集合.()【解析】2.?()【解析】3.?()集合元素互异、无序，数列项可以相同、有序数列极限唯一4.“?”等价于“，?仅有有限项使得?.”（）5.若?，则?.（）【解析】，当时，恒有?【解析】例如?.?6.在数列极限的定义中，正整数 是 的函数.（）【解析】对每一个 存在无穷多个满足定义要求的正整数.?7.用语言证明?时，对，可取?.()【解析】当?时，有8.数列?以为极限的几何意义：对实数轴上点的每一个邻域，在?中最多只有有限项落在这个邻域之外.（）【解析】，当时，恒有?9.“?”是指“数列的项?随着 的增大越来越接近于.”（）10.“?”的等价说法是“对每一个正数，存在正整数，当时，恒有?.”()【解析】【解析】极限的纯算术定义为极限的严格定义12.用语言证明?时，对，可取?.()11.“?”的等价说法是“?，对任意的?，?，使得?.”（)【解析】，当时，恒有?【解析】这里的 不一定为正整数习题解析选择题1.下列数列中不存在极限的是（）.（A）?（B）?（C）（D）?【解析】?B2.在用极限定义证明?时，对于任意的正数，相应的正整数 可取为（）.（A）?（B）?（C）?（D）?C【解析】A和B的答案不一定为正整数，对于D的答案?取，则?.?，对于，有所以不满足定义要求.2.在用极限定义证明?时，对于任意的正数，相应的正整数 可取为（）.（A）?（B）?（C）?（D）?C【解析】3.在用极限定义证明?时，对?放大正确的是（）.（A）?（B）?（C）?（D）?【解析】答案A不等式不成立，答案B和D为无效放大C第8讲 数列极限的性质问题引入有序性稠密性可数与不可数性实数的性质数学上的许多著名问题也与数有关实数的运算法则（运算律）交换律结合律分配律第8讲 数列极限的性质主要内容惟一性有界性保号性数列极限的基本性质数列极限的运算法则第8讲 数列极限的性质数列极限的基本性质数列极限定义的回顾若上述常数不存在，则称数列不存在极限（或发散）第8讲 数列极限的性质数列极限的基本性质数列极限的几何意义.nOan.0 Nnaa第8讲 数列极限的性质数列极限的基本性质证明思路：.nOan.第8讲 数列极限的性质数列极限的基本性质定理2（有界性）若数列存在极限，则该数列一定有界，即存在正常数 M，使得.Oan.第8讲 数列极限的性质数列极限的基本性质定理3（保号性）设数列存在极限 a，且，则存在正整数 N，当时有对的情形也有相应结论.Oan.推论1 设，且，则第8讲 数列极限的性质数列极限的基本性质定理4设，且，则存在正整数 N，当时，恒有an.On.第8讲 数列极限的性质数列极限的运算法则(1)(2)若(3)若与均为收敛的数列，c 为常数，则极限的四则运算法则特别第8讲 数列极限的性质数列极限的运算法则例1 计算数列极限思考 在什么条件下能保证极限存在？第8讲 数列极限的性质数列极限的运算法则例2设，证明和极限存在，并求出它们的极限值.思考 若与存在，是否有与存在？第9讲 数列收敛的判定方法问题引入顾客向银行存入本金 p 元，t 年后他在银行的存款是本金与利息之和.设银行规定年复利率为r，考虑下列不同结算方式 t 年后的最终存款额.每年结算 m 次每月结算一次每年结算一次数列第9讲 数列收敛的判定方法主要内容夹逼定理单调有界原理区间套定理第9讲 数列收敛的判定方法夹逼定理定理1（夹逼定理）设，且数列和收敛到相同极限，则数列收敛，且1611162126nxnynnnxya第9讲 数列收敛的判定方法夹逼定理例1证明：思考 问 k 为何值时有例3 设为常数，证明例2求极限：第9讲 数列收敛的判定方法单调有界原理定理2 设数列单调增加且有上界，即且存在常数 M 使得则数列存在极限.第9讲 数列收敛的判定方法单调有界原理推论设数列单调增加且有上界，即且存在常数 m 使得，则数列存在极限.单调有界原理 任何单调有界数列一定存在极限.第9讲 数列收敛的判定方法单调有界原理例4（重要极限）设证明数列存在极限.nn102.593742462.718268242.704813832.718280472.716923932.718281692.718145932.71828179纳皮尔常数（欧拉数）第9讲 数列收敛的判定方法单调有界原理例5 设证明数列存在极限，且.茹科夫斯基变换第9讲 数列收敛的判定方法区间套定理定理3设为递增数列，为递减数列，且则与均收敛，且极限相同，即 第9讲 数列收敛的判定方法区间套定理定理4（区间套定理）设有区间序列满足(1);(2),则存在惟一的.0 x