湖南大学《高等数学》课件-第31讲一元微积分的应用(四).pdf

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第三十一讲 一元微积分的应用(四)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 面积、体积、弧长湖南大学高等数学第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章 一元微积分的应用第四、五、六节 面积、体积、弧长一、平面图形的面积三、平行截面面积为已知的几何体的体积二、旋转体的体积四、弧长及其计算方法五、旋转体的侧面积一、微分元素法 )(或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 ,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时 .分问题来处理常可将问题归结为定积 .具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A 取极限”求和近似“分划 ,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证 ,采用按照定积分的概念 .,)(111iiiniiiniixxxfAA=便有关系式 ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见ii ,d,1且取称之为典型小区间表示为小区间xxxxxii+,则有为区间的左端点xi .d)(xxfA ,)(d)(记为或积分元素的微分元素为量通常称Axxf .d)(dxxfA=(0d ,相当于取极限过程对区间的可加性由量xA ,d ,0)|上“无限累加”起来在区间将微分元素baAx ,)(上的值：在区间就得到量即作定积分baA .d)(d =babaxxfAA .,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之 :,具有可加性要求所计算的量在应用微分元素法时A注意 ,个子区间上部总等于它在该区间的各量上即在区间Aba .的和分量 A :的步骤如下求量 A ;d,)1 (xxxba+中任取一小区间在区间 ,)2(记为近似值在小区间上的部分量的求出AA )d)(d (d)(xxfAxxfA=微分元素为 ,)3(上的值在区间计算定积分求出量baA .d)(d =babaxxfAA一、平面图形的面积1直角坐标系中平面图形的面积)(xfy=)(xgy=ax=bx=.,)(),(积所围成的平面图形的面及求由连续曲线bxaxxgyxfy=Oxyab )(,为面积元素则微分元素任取baxxx+xxx+AdxxgxfAd|)()(|d=,所求面积为于是=baxxgxfA d|)()(|Oxy)(xfy=)(xgy=ax=bx=ab 积的计算公式为所围成的平面图形的面bxaxxgyxfy=,)(),(及求由连续曲线)(.d|)()(|baxxgxfAba=dycyyxyx=,)(),(及求由连续曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面)(.d|)()(|dcyyyAdc=,类似地例1解 .2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线=+=yxxyOxy2xy=2=+yx21AB )1 (求积分区间 联立方程组 2xy=2=+yx .)1 ,1 (),4 ,2(:BA 求得交点 .d)2(d )2(2xxxA=微分元素 )3(计算面积 .2 14 322d)2(1 2321 2 2=xxxxxxA .1 ,2 x积分区间例1解 .2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线=+=yxxyOxy2xy=2=+yx21AB )1 (求积分区间 联立方程组 2xy=2=+yx .)1 ,1 (),4 ,2(:BA 求得交点 .d)2(d )2(2xxxA=微分元素 )3(计算面积 .2 14 322d)2(1 2321 2 2=xxxxxxA例1解 .2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线=+=yxxyOxy2xy=2=+yx21AB )1 (求积分区间 联立方程组 2xy=2=+yx .)1 ,1 (),4 ,2(:BA 求得交点 .d)2(d )2(2xxxA=微分元素 )3(计算面积 .2 14 322d)2(1 2321 2 2=xxxxxxA有何想法?例2解 .2 ,2所围平面图形的面积直线求曲线xyxyxy=Oxyxy2=xy=2xy=:)1 (求积分区间 )2(微分元素 )3(计算面积 联立方程组 2xy=xy=2xy=2xy=xy=2xy=.)0 ,0(),4 ,2(),1 ,1 (OBA求得交点为AB12 .2 0,2 1,1 0,=积分区间为 ;dd)2(d ,1 ,0 xxxxxA=中在 .d)2(d ,2 ,1 2xxxA=中在 .6 7d)2(d)2(2 1 21 0 =+=xxxxxxA例3解.4 2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线=xyxyOxyxy22=4=xyAB )1 (求积分区间 联立方程组xy22=4=xy .)4 ,8(,)2,2(BA求得交点为 :由图可以看出.为积分变量好为积分变量比选择选择xy )2(求微分元素.d)21)4(d2yyyA+=)3(计算面积 .18d)21)4(4 2 2=+=yyyA .4 ,2 y积分区间为2参数方程形式下平面图形的面积 :出如果曲线由参数方程给 .,)(,)(=ttytx .处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面 .)()(件满足定积分换元法的条和此时要求函数tt例4解.积所围成的平面图形的面 20 ,sin ,cos 33=ttaytax求星形线Oxya223 ,只需求出由对称性 ,1然第一象限中的面积 A.4 即可后乘以 )1 (积分区间 .02 :,0 :tax时 )2(微分元素 .dcossin3)cosd(sind|d242331tttatataxyA=)3(所求面积=0 2 242 0 1d)cossin3(4d|44tttaxyAAa.8 3dsin)sin1(1222 0 422attta=t例5解 )cos1(),sin(的第一拱求由摆线tayttax=.)20(积所围成的平面图形的面与横轴xtOxya2a )1 (求积分区间 .20 :,20 :tax时 )2(求微分元素 d|dxyA=)sin(d()cos1(ttata=.d)cos1(22tta=)3(计算面积=2 0 222 0 d)cos1(d|ttaxyAa .3d)coscos21(22 0 22attta=+=t3极坐标系中平面图形的面积Oxd,)(=rrr及射线求由曲线 )(所围成的平面图=r ,为积分变量取形的面积时 .,剩下的问则积分区间为 .积分值题是求微分元素和计算)(rr=,d,在该小区间上任取一个小区间+d ,)(的圆扇形的面积近中心角为可以用半径为rr=,面积元素为从而形的面积似代替其上的窄曲边扇)(.d)(2 1d2微分元素rA=)(,)(=rrrr及射线求由曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面 .d)(2 1d 2 =rAA .中曲边扇形的面积公式该公式也称为极坐标系例6解 .2sin 积所围成的平面图形的面求曲线ar=Oxy.4 ,11AAA=则积计算出第一象限中的面由对称性 .2 ,0 )1 (积分区间微分元素 )2(.d)2sin(21d21aA=)3(计算面积 d)2sin(21442 0 21=aAA .2d2 4cos1 222 0 2aa=例7解 cos1 cos3 所围成的与心形线求圆+=rr .平面图形的面积Ox3cos3=rcos1+=r .2 ,11AAA=则求出上半部分的面积由对称性 )1 (联立方程组求积分区间cos3=rcos1+=r 2 1cos=3 =,cos1 ,30 +=r曲边为时当 )2(微分元素 .d)cos1(21d21+=A ,cos3 ,2 3=r曲边为时当 .d)cos3(21d21=A )3(计算面积12AA=+=2 3 23 0 2d)cos3(21d)cos1(212+=3 0 d)22cos1cos21(+2 3 d2)2cos1(9 4 5 =Ox)(1rr=)(2rr=A如何计算?.d|)()(|21d2221rrA=.d|)()(|21 2221=rrA二、旋转体的体积 一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 .,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 .,间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I :旋转体的特点旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴 .图形均为圆截口Oxy1ABab)(xfy=xxx+)(在区间计算连续曲线xfy=轴所围成的平面图形以及 xbx=转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x.体积 ,axABba=与直线上的一段弧 .,bax .0 ,xbax ,得到如图所示的轴的平面分别作垂直于和点过点xxxx+,).()(,可以用很小时当和其半径分别为两个圆xxxfxf+,)(似旋转为高的圆柱体的体积近以为半径的圆为底以xxf .)(:,22xxfxyVxxx=+上的体积体在 :积分区间 :微分元素Oxy1ABab)(xfy=xxx+)(在区间计算连续曲线xfy=轴所围成的平面图形以及 xbx=转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x.体积 ,axABba=与直线上的一段弧 .,bax :积分区间 :微分元素 .dd2xyV=.d)(d2xxfV=:计算体积 d =baVV .d 2=baxy2 ,)(上的一段弧在区间计算连续曲线dcyx=.转体的体积轴旋转一周所产生的旋绕 x ,轴所围成的平面图形以及与直线ydycyAB=:类似于上面的作法可得 .,dcy :积分区间 :微分元素 .dd2yxV=.d)(d2yyV=:计算体积 d =baVV .d 2=baxy例8解 ,1 2222轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆yxbyax=+.旋转体的体积Oxyaabb)()1 (只需用上半椭圆轴旋转绕 x .,aax :积分区间 :微分元素 dd2xyV=.3 4d)(d2 2222 abxxaabVVaaaa=.d)(2222xxaab=:计算体积)()2(只需用右半椭圆轴旋转绕 y .,aax :积分区间 :微分元素 dd2yxV=.3 4d)(d2 2222 bayybbaVVbbbb=.d)(2222yybba=:计算体积OxyaabbOxy22xy=xy=11Mx例9解 2 2轴所以及与抛物线求圆弧yxyxy=,轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕yx .转体的体积 )1 (轴旋转绕 x :积分区间 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyV=.67d)2(d 21 0 =aaxxxVV :计算体积 .之差可视为两个旋转体体积xy=22xy=)1 ,1 (M交点 .1 ,0 x圆环的面积Oxy22xy=xy=11M )2 (轴旋转绕 y :积分区间 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyxV=d d2 1 21 0 121+=+=VVVVV :计算体积 .2,1 1 ,0y ,1 0,上在区间 .d)2(dd222yyyxV=,2 1,上在区间.15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4=+=yyyy?有其它的计算方法吗Oxy22xy=xy=1M )2 (轴旋转绕 y ,0 ,1 ,0 ,xx如图所示xxx+,小矩形生成轴旋转时平面图形绕 y ,故微分的空心圆柱体一个壁厚为 x 元素为 .d)2(2d2xxxxV=周长 高 厚 .1522220d)2(2d 1 0 21 0 =xxxxVV 于是例10解)2(0 )cos1(),sin(=ttayttax的第一拱求摆线 .转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕 xOxya2a ,