湖南大学《高等数学》课件-第4章.pdf

第 第 第 第 4 4 章章章章函数的导数与微函数的导数与微函数的导数与微函数的导数与微分分分分 1 1 导 数 的 概 念1 1 1 1、导数产生的背景、导数产生的背景、导数产生的背景、导数产生的背景(1)(1)求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度ttSttStStV)()()(00,210tggt以自由落体运动 为例,物体由 到221)(gttS0t 一段的平均速度是tt0第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分tStVVttt00lim)(lim.)21(lim000gttggtt物体在时刻 的瞬时速度瞬时速度 vt 为0tttSttSt)()(lim000第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分(2)(2)曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率LPQT 平面曲线上切线的概念曲线 L 在点 P 处的切线为点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时割线 PQ 的极限位置 PT曲线 L 在点 P 处的切线为点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时割线 PQ 的极限位置 PT第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分Oxy)(xfy PQxyT设曲线方程为 ,曲线上 、两点的坐标)(xfy PQ).,(00yyxxQ),(00yxP故割线 PQ 斜率为.)()(tan00 xxfxxfxy切线切线 PT 斜率斜率为 xyx0limtan.)()(lim000 xxfxxfx第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分2 2 2 2、导数的定义、导数的定义、导数的定义、导数的定义定义定义 1.设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导可导,极限值 a 称为 f(x)在点 x0 处的导数导数.记为如果极限存在,axyxxfxxfxx0000lim)()(lim,|0ayxx .dd0axyxx，axf)(0 ,d)(d0axxfxx第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 1.设 存在，求下列各极限：)(0 xf;)()3(lim)1(000 xxfxxfx ;)()(lim)2(000hxfhxfh ;)3()2(lim)3(000 xxxfxxfx .)()(lim)4(000hhxfhxfh 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定义定义 2.,)()(limlim)(00 xxfxxfxyxfxx若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：).,(bax第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 2.求下列函数的导数：);()1(为常数CCy );()2(Nnxyn ;sin)3(xy;)1,0(log)4(aaxya).1,0()5(aaayx 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定义定义 3.设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数左导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf3 3 3 3、左、右导数、左、右导数、左、右导数、左、右导数第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定义定义 4.设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数右导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf定义定义 5.)(,)(bfaf若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分定理 定理 1.f(x)在 处可导的充分必要条件是 f(x)在点 处的左、右导数存在且相等.0 x0 x例 3.求下列函数在 处的左、右导数.0 x;0,)1(0 xxy .0,0,0,sin)2(03xxxxxy 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 4.求函数 ,0,0,0,1sin2xxxxy在 的导数.0 x问题思考.函数 ,0,0,0,1sinxxxxy在0 x 可导吗？第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分4 4 4 4、导数的几何意义、导数的几何意义、导数的几何意义、导数的几何意义).(tan0 xf 此时,切线方程为:).)(000 xxxfyy函数 f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是对应的平面曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率:例 5.求抛物线 在点 处的切线方程和法 线方程.2xy)1,1(问题思考.曲线在某点有切线,函数在该点一定可导吗？第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分5 5 5 5、可导与连续的关系、可导与连续的关系、可导与连续的关系、可导与连续的关系定理 定理 2.如果 f(x)在点 处可导，则函数 f(x)在点 处必连续.0 x0 x例 6.试确定常数 之值，使函数ba、,1,1,)(2xbaxxxxf 在 x=1 处可导.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分.21)(lim1xxfx例 7.设 在 处连续，且1x)(xf求).1(f 例 8.已知,0,0,sin)(xxxxxf 求).(xf 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分第 第 第 第 4 4 章章章章函数的导数与微函数的导数与微函数的导数与微函数的导数与微分分分分 2 2 求 导 法 则1 1 1 1、函数四则运算的求导法则、函数四则运算的求导法则、函数四则运算的求导法则、函数四则运算的求导法则设函数 均可导，则)(),(xvxu ),()()()()1(xvxuxvxu 例 1.14sin2 ,yxxyx求),()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu .,1110yaxaxaxaynnnn求设 例 2.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分 已知.)3)(2)(1(3 ,xyxxxy求例 3.问题思考.,?)99()2)(1(0 xyxxxxy则设,)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu ).0)(xv.cotyxy ,求例 4.secyxy ,求例 5.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分.)()()(12xvxvxv设函数 v(x)可导,且 v(x)0,证明例 6.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分2 2 2 2、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则),()()(xxfxf.ddddddxuuyxy或定理 定理 1.设 u=(x)在点 x 处可导,y=f(u)在对应点 u(u=(x)处可导,则复合函数 y=f(x)在点 x 处可导,且第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 7.tanln ,yxy求.dd),0,(xyxRxy 求设例 8.,2132yxy 求例 10.例 9.,sin2yxy求第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例如,，)()()(xhvvuufy则有)()()()(xhvufxhfy 或.ddddddddxvvuuyxy),()()(xhxhxhf 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.:)(xhfy第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 11.,22sinyyx 求.,2cotyxy 求例 12.),1,1(,11lncos2yxxxy求 例 13.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分3 3 3 3、反函数的求导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则定理定理 2.设严格单调连续函数 x=(y)在区间 I内可导,且 (y)0,则其反函数 y=f(x)在相应的某区间 J 内也可导,且有.)(1)(yxf 该定理说明：一个函数单调、连续、可导,则它的反函数存在,且单调、连续、可导.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 14.,)11(arcsinyxxy 求 ).11(,11)(arccos2xxx ).,(,11)(arctan2xxx ).,(,11)(arccot2xxx第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 15.,1cosarcyxy 求例 16.,2arctanyeyx 求 );()1(2xfy).(cos)(sin)2(22xfxfy 例 17.设 y=f(x)可导,求下列函数 y 的导数 ：xydd第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分第 第 第 第 4 4 章章章章函数的导数与微函数的导数与微函数的导数与微函数的导数与微分分分分 设有二元方程 F(x,y)=0，如果对任意的定义定义 1.,存在唯一的 y 满足方程 F(x,y)=0,则称方xIx程 F(x,y)=0 在 上确定了一个隐函数 y=y(x).xI4 4 4 4、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分F(x,f(x)0.对上式两边关于 x 求导：.0)(,(ddxfxFx然后,从中解出 y,就得到隐函数的导数.方 法：可导，则将 y=f(x)代入方程中,得到如果由方程 F(x,y)=0 确定隐函数 y=f(x)第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 17.数的导数 y,并求 .0 xy例 18.求由方程03275xxyy所确定的隐函求由 e y+xy2e=0 所确定的隐函数 y=y(x)的导数 y.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分数的导数 y.例 19.求由方程xyyxarctanln22所确定的隐函例 20.求椭圆处的切线在点 )233,2(191622yx方程.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分5 5 5 5、由参数方程确定的函数的求导法则、由参数方程确定的函数的求导法则、由参数方程确定的函数的求导法则、由参数方程确定的函数的求导法则设参数方程),(tx),(ty),(t 确定了平面上一条曲线,定义定义 2.x 之间的函数关系,称为由参数方程所确定的 函数.从而也就确定了 y 与 第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分xyddxttyddddtxtydd1dd.)()(tt若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的)()(tytx即.)()(ddttxy函数关系,)(,)(tt可导,且.0)(t则第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 22.例 21.4,sincos时的切线方程在求椭圆 ttbytax)cos1()sin(ayax所确定的函数 y=y(x)的导数).0(ddaxy求由摆线的参数方程第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分例 24.设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求.ddxy例 23.已知抛射体的运动轨迹的参数方程为.21,221gttvytvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分6 6 6 6、取对数求导法则、取对数求导法则、取对数求导法则、取对数求导法则问题思考.如何求函数)2,0(,tanxxyx的导数?例 25.10,1sinxxyx其中的导数求？xyxyxyyxdd,如何求的函数是确定设由方程 问题思考.第 第 4 章 函数的导数与章 函数的导数与微分微分.)100)(99()2)(1(xxxxy,)4)(3()2)(1(xxxxy取对数求导法则还可用来求一些复杂的乘除取对数求导法则还可用来求一些复杂的乘除式、式、