国防科技大学《高等数学》课件-第12章.pdf

第57讲 平面与直线的位置关系问题的引入图书馆阅览室一角西雅图中央图书馆第57讲 平面与直线的位置关系问题的引入平面间的位置关系平行、相交(垂直)?直线间的位置关系平行、相交，异面直线与平面间的位置关系平行、相交(垂直)、平面内?第57讲 平面与直线的位置关系主要内容平面与平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系第57讲 平面与直线的位置关系平面与平面的位置关系2n121n已知两平面的方程为设它们的夹角为,则由定义，有两平面的夹角 是指两平面法向量的夹角?（规定?）第57讲 平面与直线的位置关系平面与平面的位置关系由此容易得到两平面垂直与平行判断的充要条件:设两个平面?和?的法向量分别为?空间两平面恰好两种位置关系:或者平行,或者相交成一条直线.第57讲 平面与直线的位置关系平面与平面的位置关系例1求过点且与平面平行的平面方程.例2已知一平面通过两点?和?，且与平面垂直,求该平面方程.【例1解】所求平面法向量平面点法式方程即第57讲 平面与直线的位置关系直线与直线的位置关系设直线?的方程分别为两直线的夹角 指其方向向量间的夹角2s2L1L1s?设它们的夹角为,则由定义，有?（规定?）第57讲 平面与直线的位置关系直线与直线的位置关系由此容易得到两直线垂直或平行的条件：空间两个不同直线有三种位置关系:平行、相交、异面设直线?的方程分别为?第57讲 平面与直线的位置关系直线与直线的位置关系空间两个不同直线有三种位置关系:平行、相交、异面设直线?的方程分别为?与?共面的充要条件是：共面?三向量?共面，即第57讲 平面与直线的位置关系直线与直线的位置关系例3已知直线?、?的方程如下：试求实数的值来确定它们的空间位置关系.并问当为何值时,这两条直线垂直？?相交，求该直线方程.例4 一直线通过点，且和二直线?：?：及第57讲 平面与直线的位置关系直线与直线的位置关系?设?,?为异面直线，异面直线的距离?，求它们之间的距离.其方程为两点?两方向向量?第57讲 平面与直线的位置关系直线与直线的位置关系例5已知两直线?（1）求直线?、?间的夹角；（2）证明直线?、?为异面直线；（3）求直线?、?之间的距离.第57讲 平面与直线的位置关系直线与平面的位置关系直线与平面的夹角满足：?直线与平面的夹角是指直线与其在平面上的投影所夹的锐角.已知直线:平面:?第57讲 平面与直线的位置关系直线与平面的位置关系则容易得到直线与平面垂直或平行的条件：已知直线:平面:?第57讲 平面与直线的位置关系直线与平面的位置关系例6已知平面 过点?与直线垂直，求平面 的方程.例7设是平面外一点，求点 关于平面 的对称点 的坐标.【例6解】所求平面的法向量为平面的点法式方程为即第58讲 空间曲面问题的引入第58讲 空间曲面主要内容曲面及其方程旋转曲面与柱面二次曲面及其标准方程第58讲 空间曲面曲面及其方程?平面的方程：可以用这个方程来描述平面上所有点的共同性质平面表示为点的集合：?(1)满足方程的点都在平面上；(2)平面上的点坐标满足方程.第58讲 空间曲面曲面及其方程例1到一定点?的距离等于常数的动点的轨迹是球面，求该球面方程?设为球面上任一点，【例1解】则有?，?即第58讲 空间曲面曲面及其方程球面方面为：?球心半径单位球面方程为：?单位球面表示为点的集合：?第58讲 空间曲面曲面及其方程例2圆柱面可视为由直线 绕一条与它平行的定直线旋转一周所成的旋转曲面，也可视为动点到定直线的距离等于常数的轨迹求该圆柱面方程第58讲 空间曲面曲面及其方程?例2圆柱面可视为由直线 绕一条与它平行的定直线旋转一周所成的旋转曲面，也可视为动点到定直线的距离等于常数的轨迹求该圆柱面方程直线 为 轴：?直线 为 轴：?直线 为 轴：?第58讲 空间曲面曲面及其方程例3由一直线 绕一条与它相交的定直线旋转一周而成的曲面是圆锥面?当?时，?圆锥面也可视为动点与定直线上一定点的连线与该定直线成等角的轨迹.求这圆锥面上动点的轨迹方程?(x,y,z)第58讲 空间曲面曲面及其方程?平面单位球面圆柱面圆锥面第58讲 空间曲面曲面及其方程(1)凡是曲面 上的点的坐标都满足方程关于曲面的研究的两个基本问题:(1)已知曲面作为点的几何轨迹时,建立曲面的方程;(2)凡是不在曲面 上的点的坐标不满足这个方程,(2)已知方程,研究方程所表示的曲面的几何形状.对于方程与曲面，称为曲面 的方程（曲面 为的几何图形），若第58讲 空间曲面曲面及其方程例4方程?表示什么曲面？【例4解】方程表示球心在,半径为的球面.说明:如下形式的三元二次方程()都可通过配方研究它的图形.其图形可能是或球面、点虚球面?将原方程配方得第58讲 空间曲面曲面及其方程设?是平面内两个已知不平行的非零向量,?是平面内的已知点.平面的参数方程?第58讲 空间曲面曲面及其方程一般地,曲面可以用两个参数的方程表示:给定参数的一组值，就确定曲面上一个点的位置.曲面就是这些点的集合：或 其中，是?的一个区域，它是参数的取值范围.第58讲 空间曲面曲面及其方程例5(1)写出?中的球面?的参数方程；球面参数方程：第58讲 空间曲面曲面及其方程例5(1)写出?中的球面?的参数方程；(2)写出?中的圆柱面?的参数方程圆柱面参数方程：第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面一条曲线绕其平面上一定直线旋转一周所得的曲面称为旋转曲面.定直线称为旋转曲面的轴.例如:第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面设 为平面上的曲线绕 轴旋转得到旋转曲面.设为 上任一点，过作与轴垂直的平面，则该平面与 的交线为圆，?与 轴的距离和?与 轴的距离相等?旋转曲面 的方程它与 的交点为第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面例6将平面上的椭圆分别绕轴与轴旋转一?周，求旋转曲面的方程?旋转椭球面.第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面例7将平面上的双曲线分别绕轴与轴旋转一周，求旋转曲面的方程?单叶双叶?旋转双曲面.第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面例8将平面上的抛物线?分别绕轴与轴旋转一周，求旋转曲面的方程旋转抛物面.?第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面在面上看,表示平面曲线；在空间看,它表示曲面.由平行于 轴的直线 沿曲线移动时所形成的曲面称该曲面为柱面定义 平行定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称为柱面.曲线称为准线,直线 称为母线.第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面例如：?椭圆柱面双曲柱面抛物柱面第58讲 空间曲面旋转曲面与柱面一般地，方程表示母线平行于轴的柱面，准线为在面上确定的曲线;方程表示母线平行于轴的柱面，准线为在面上确定的曲线;方程表示母线平行于轴的柱面，准线为在面上确定的曲线.第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程三元二次方程其基本类型有:椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、锥面等所确定的曲面为二次曲面.(二次项系数不全为 0)?在空间直角坐标系中，若表示曲面的方程的左端是关于的多项式，这个多项式的次数称为曲面的次数第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程椭球面(为正数)坐标伸缩,Xax Yby Zcz椭球面单位球面旋转椭球面：?一般椭球面：第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程如果 ,得到半径为,球心在原点的球面方程将椭球面中心平移到?，椭球面形状不变，方程为椭球面的参数方程为：?椭球面第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程单叶双曲面坐标伸缩(为正数)?旋转单叶双曲面：?一般单叶双曲面：第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程单叶双曲面的参数方程为：方程表示的曲面都是单叶双曲面,其中心轴分别为轴与轴.?(为正数)?单叶双曲面第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程双叶双曲面?(为正数)?旋转双叶双曲面：一般双叶双曲面：第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程双叶双曲面双叶双曲面的参数方程为：(为正数)?中心轴为轴中心轴为轴第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程椭圆锥面?(为正数)中心轴为轴圆锥面：椭圆锥面的参数方程为：?椭圆锥面：第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程椭圆锥面?中心轴为 轴?中心轴为轴中心轴为 轴中心轴为 轴第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程椭圆抛物面中心轴为轴，开口朝上?(为正数)旋转椭圆抛物面：一般椭圆抛物面：?第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程椭圆抛物面?(为正数)椭圆抛物面的参数方程为：?第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程双曲抛物面?(为正数)(马鞍面)其对称轴为轴第58讲 空间曲面二次曲面及其标准方程双曲抛物面双曲抛物面的参数方程为：?(为正数)(马鞍面)?第59讲 空间曲线问题的引入第59讲 空间曲线主要内容空间曲线及其方程投影柱面与投影曲线用截痕法研究曲面第59讲 空间曲线空间曲线及其方程一般地,曲线上动点的坐标都表示为另一个变量的函数：当在范围范围内变动时，则产生一条空间曲线，称上述方程组为空间曲线的参数方程，并称为参数.第59讲 空间曲线空间曲线及其方程例1 设空间一动点在圆柱面?上以等角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正向均匀地上升.动点的轨迹称为圆柱螺旋线试求圆柱螺旋线的参数方程第59讲 空间曲线空间曲线及其方程v?圆柱螺旋线的参数方程为：令螺距:应用案例y螺距第59讲 空间曲线空间曲线及其方程例2求空间曲线绕轴旋转时的旋转曲面方程.旋转曲面方程为：?第59讲 空间曲线空间曲线及其方程例如，绕轴旋转消去和,得旋转曲面方程为?所得旋转曲面方程为旋转单叶双曲面第59讲 空间曲线空间曲线及其方程?设两曲面的方程分别为：?空间曲线可视为两曲面的交线：这种描述空间曲线 的形式称为空间曲线的一般方程第59讲 空间曲线空间曲线及其方程例如,表示圆柱面与平面的交线.方程组?C第59讲 空间曲线空间曲线及其方程【例3解】表示球心在,半径为 的球面.表示球心在原点,半径为 的球面.因此，两个球面的交线为一个圆.例3方程组表示怎样的曲线？?第59讲 空间曲线空间曲线及其方程说明：这个圆还可以表示该曲线的参数方程为?第59讲 空间曲线空间曲线及其方程方程组表示怎样的曲线？例4?【例4解】?表示球心球心在,半径为的上半球面.?表示准线为面上的圆?，母线平行于轴的圆柱面.该空间曲线称为维维安尼曲线.xyzxyzO有什么特征？与面围成的立体具有什么特征？第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线例如,曲线在平面上的投影曲线为?设空间曲线的参数方程为由空间点在平面上的投影分别为、，很容易求得曲线在各坐标面上的投影曲线.?第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线设空间曲线的一般方程为由方程组消去,得方程该方程表示母线平行于轴的柱面，通过曲线.称该柱面为空间曲线关于平面的投影柱面.投影柱面与面的交线C投影曲线第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线同理,由方程组消去或后,得到空间曲线关于平面及平面的投影柱面方程分别为曲线在平面、平面上的投影曲线方程为设空间曲线的一般方程为 第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线例5 求空间曲线在平面上的【例5解】2222221,:(1)(1)1xyzCxyz投影曲线方程.两方程相减,得将代入第一个方程，1zy 得投影柱面方程为22220,xyy投影曲线方程为22220,0.xyyzC第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线例6面所围成的立体 在面上的投影区域.【例6解】两曲面的交线的方程为画出由曲面与曲面以及曲线 在面的投影曲线为立体在面上的投影区域为(圆)yzOx xyzO即?第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线例7作出由不等式组?所确定的立体的图形，并画出它在各坐标面上的投影区域第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面xyzO例8试用截痕法考察椭球面的图形特征.【例8解】椭球面方程为2222221.xyzabc即椭球面在以平面长方体内.截痕法第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面选用三个坐标面截椭球面，截痕分别为三个截痕都为椭圆.用平行于面的平面截取，截痕为xyz?第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面xyzO用和去截取椭球面，得完全类似的结果.xyzO?第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面【例9解】单叶双曲面方程为例9试用截痕法考察