复旦大学《大学物理》课件-第五章刚体的定轴运动(1).pdf

刚体定轴转动定律复旦大学大学物理（上）第五章 刚体的定轴运动知识点回顾刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体所受的对定轴的合外力矩，等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积MJ 其中 J 是刚体相对于轴的转动惯量.课后练习质量为 m 长为 L 的匀质细杆开始时水平静止.其对轴的转动惯量J=mL2/3,轴光滑.求杆下摆到与水平方向之间的夹角为时杆的角速度.【例例】【分析分析】杆在重力矩作用下下摆，由定轴转动定律得到角加速度，再通过运动学关系即可得到角速度.课后练习【解解】因为是定轴转动，力矩只可能有两个方向，因此可用正负表示方向，这里取指向里的力矩为正方向.设转动的角加速度为.MrFmgr杆只受重力矩作用，与水平方向之间的夹角为时重力矩大小可表示为12sin(90)L mg12cosLmg则由定轴转动定律有12cosMLmgJ90-rmg课后练习由角加速度定义，还可以将式写成12cosddMLmtgJJ再做如下变换就可以得到角速度和转过角度之间的关系了12dcosdddddJLmgJtt即12dcosdLmgJ课后练习对式分离变量积分有1200cos ddLmgJ 计算可得sinLmgJ213JmL这里直接给出了转动惯量的值，这个值是按照定义由积分得到的.3 singL课后练习【小结小结】MJ 其中力矩为刚体的定轴转动定律MrF刚体定轴转动定律知识点回顾刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律刚体所受的对定轴的合外力矩，等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积MJ 其中转动惯量 J 与质量相对于轴的分布有关.2Jr dm课后练习质量为 m 长为 L 的匀质细杆可绕过其一端和中心并与之垂直的 OO 和 CC 轴转动.求(1)刚体相对于 OO 轴的转动惯量；(2)刚体相对于 CC 轴的转动惯量.【例例】【分析分析】本题按照转动惯量的定义式计算即可。oocc课后练习【解解】20dLoomJxxL23mLoo(1)相对于OO 轴的转动惯量x建立如图所示坐标系首先在杆上任意位置取一长度为 dx 的微元，设其质量为 dm.dmx x+dx该微元相对于OO 轴的转动惯量为2ddJxm其中ddmxmL则整根杆相对于OO 轴的转动惯量为课后练习222dLLCCmJxxL212mL(2)相对于CC 轴的转动惯量x(2)建立如图所示坐标系跟(1)相似的方法，整根杆相对于CC 轴的转动惯量为CC比较(1)(2)发现，轴的位置不同，相对于轴的转动惯量也不同，转动惯量跟质量相对于轴的分布有关课后练习如果刚体的一个轴与过质心的轴平行并相距d，则质量为 m的刚体绕该轴的转动惯量，等于刚体绕过质心轴的转动惯量与 md2之和：平行轴定理2CJJmd2OOCCJJmd本题(1)(2)结果整好与之相符23mL22()122mLdm课后练习刚体转动惯量 J 2Jr dm【小结小结】J 不仅与刚体的质量有关，还与质量相对于轴的分布有关.刚体转动中的功和能知识点回顾刚体定轴转动中的功和能刚体定轴转动中的功和能力矩做的功21AMd刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.2122112122MdJJ课后练习飞轮质量为60kg，直径为0.5m，转速为1000r/min，假设飞轮与闸瓦间的摩擦系数为=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上，尺寸如图所示.求(1)要在5s内使其制动，恒制动力F为多少？(2)制动力矩在制动过程中所做的功.【例例】O 0.5m0.75mF闸瓦A课后练习【分析分析】本题的研究对象是飞轮，直接施力者是制动杆.对飞轮和制动杆分别进行受力和力矩分析.O O 0.5m0.75mF闸瓦A对于制动杆，其所受闸瓦反作用力N和制动力F，这两力对A点的合力矩为零.对飞轮，摩擦力的力矩使其制动.Nf0.5m0.75mAl1l2FN(2)直接用转动动能定理求解即可.课后练习【解解】(1)对制动杆A点，由力矩平衡条件有121()0F llN l(1)求制动力FO Nf0.5m0.75mAl1l2FN且N和N是作用反作用力，有NN对飞轮，摩擦力矩的大小可表示为Mrf 12d N 又由转动定律可知MJ课后练习这里，因为飞轮质量全部分布在轮的外周上，所以转动惯量为2214Jmrmd由定轴转动的运动学关系有0t其中0=2n；代入 t=5s时，=0 可得02 ntt 课后练习112314N2lmdFll所以MJM 12Mrfd NN NNN 121()F llN lNF 代入数据即可得到课后练习(2)制动力矩做的功(2)由转动动能定理，制动力矩所做的功为2211022AJJ2211024()md 77.5 10 J 还可以用下面这种方法计算0dAMM2102()ttJ77.5 10 J【小结小结】课后练习刚体定轴转动动能定理2122112122MdJJ刚体转动中的功和能知识点回顾刚体定轴转动中的功和能刚体定轴转动中的功和能刚体的重力势能：等于刚体全部质量集中于质心时的重力势能pcEmgh刚体机械能守恒定律：如果合外力矩做功为零，则常量kpEE课后练习如图所示，在某竖直平面内有一个半径为R的固定圆环，一根长为 R 质量为 m 的均匀细杆静止在环内侧，与水平直径夹角为60.自由释放后，设杆的A、B端只能沿环内侧无摩擦的运动，杆相对于O轴的转动惯量为5mR2/6.当杆处于水平方位时，求(1)A端的运动速率v；(2)A端受环的作用力大小NA.【例例】水平直径R O60AB【分析分析】细杆沿环内侧无摩擦下滑，对环、杆和地球组成的系统机械能守恒.杆做绕环心的圆周运动，环对A、B端的作用力提供向心力.课后练习【解解】(1)下滑过程中机械能守恒，重力势能全部转化成了杆的动能.设杆处于水平位置时的势能为零，则有212mghJ水平直径R O60AB其中3124sin60hRRJ2212132()mRmR256mRdh（1）A 端运动速率22112mRdm课后练习3 35gR把 h 和 J 代入式即得细杆绕O点转动的角速度3 35gRvR则 A 端的运动速率为课后练习(2)对细杆进行受力分析，如图所示，细杆受重力和来自两端的支持力，此三力的合力提供向心力，即R OBA22sin60ArNmgm此处 r 是细杆质心到环心O的距离32sin60rRR代入数值计算可得1910 3ANmgNA NBmg（2）A 端受环的作用力r课后练习【小结小结】刚体的重力势能pcEmgh刚体机械能守恒定律：如果合外力矩做功为零，则刚体的动能212kEJ常量kpEE刚体角动量守恒知识点回顾刚体角动量守恒定律刚体角动量守恒定律如果刚体所受合外力矩的冲量矩为零，则刚体的角动量保持不变，即守恒.L 常矢量即若0M 则课后练习如图，长为L、质量为M 的匀质细杆的一端固定于光滑水平O轴上，细杆可绕此光滑轴在竖直面内自由转动.开始时杆静止下垂，有一质量为m的子弹以速度水平射向细杆，并以的速度穿出，已知细杆相对于O轴的转动惯量为，求之后细杆相对于竖直方向的最大摆角.【例例】23MLOll320v0v02v课后练习【分析分析】第一阶段：对子弹和杆组成的系统，在碰撞的瞬间，受竖直方向的重力，和轴给杆的指向左上方的作用力，所以子弹细杆系统动量不守恒.但这两个力相对于轴的力矩都是零，所以角动量守恒.第二阶段：对细杆地球组成的系统，细杆上摆过程中，只有保守内力做功，细杆地球系统机械能守恒.整个过程分成两个阶段.课后练习【解解】(1)碰撞过程中,子弹细杆系统角动量守恒,有203mvL0mvML由此解得21210332+MLLmv(1)碰撞过程Oll320v即子弹从细杆穿出后，子弹以的速度继续向右运动，细杆则以角速度沿逆时针方向摆动.02v0mvML课后练习212JghM(2)上摆过程中，杆地球系统机械能守恒，设杆竖直下垂位置的势能为零，上摆的最大角度为，则2202cos13m vgM L (2)最大摆角O22111232(1 cos)MLMgLh即由此得则最大摆角2202arccos(1)3m vgM L2202(2)3m vM gl 课后练习【分析分析】即若0M 则L 常矢量刚体的角动量守恒定律谢 谢