湖南大学《高等数学》课件-第7章定积分的应用举例.pdf

第 第 第 第 7 7 章章章章定积分的应用举定积分的应用举例例1 1 建立定积分数学模型的微元法 应用几何：面积、弧长、体积和侧面积等物理：功和静压力等 定积分的应用经常采用微元法，即用微元把一个量表达成定积分的方法.第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例iix1ixxy0abxfy(1)分割:xi-1,xi xi=xi xi-1(2)作近似:i xi-1,xi Ai f(i)xi1 1 1 1、微元法的引入、微元法的引入、微元法的引入、微元法的引入 曲边梯形的面积表达成定积分(3)求和:iixfA)(4)取极限:iixfA)(lim0baxxfd)(分割作近似分割作近似求和取极限求和取极限第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例(1)分割:xi-1,xi xi=xi xi-1(2)作近似:i xi-1,xi Ai f(i)xixy0abxfy xx+dx(1)x,x+dxdA=f(x)dx(A 的微元)(典型小区间)iix1ixxy0abxfy 第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例iix1ixxy0abxfy xy0abxfy xx+dx(3)求和:iixfA)(4)取极限:iixfA)(lim0baxxfd)(baAAd)2(dA 在 a,b 上的无限求和)baxxfd)(第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例 如如 Q 能近似地表示为 a,b 上的一个连续函数在 x 处的值 q(x)与 dx 的乘积，就把 q(x)dx 称为量 Q 的微元，且记为 dQ，即2 2 2 2、微元法的实施步骤、微元法的实施步骤、微元法的实施步骤、微元法的实施步骤1)如如如如如如如如如如如如如如如如如如如 x 如为积分变量，并确定它的变化区间 a,b.2)如如如如如 a,b 分成 n 个小区间，取一个典型小区间并记为 x,x+dx，如如如如如如如如如如如如如如 Q 的近似值.d)(dxxqQ 第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例3)以所求量 Q 的微元 q(x)dx 为被积表达式，在区间 a,b 上作定积分，得,d)(baxxqQ即为所求量 Q 的积分表达式.第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例注意 1)取近似值时，得到的是形如 q(x)dx 的近似值.这里要求 Qq(x)dx 是 dx 的高阶无穷小量，这在实际问题中常常能够满足.2)若用 Q(x)记区间 a,x 所对应的部分量，则小区间x,x+dx 所对应的部分量为 Q，q(x)dx 即为 Q(x)的微分.第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例1)所求量 Q 是与区间 a,b 上某分布 q(x)有关的一个整体量;2)所求量 Q 对区间 a,b 具有可加性，就是说，如果把区间 a,b 分成许多部分区间，则 Q 相应地分成许多部分量，而 Q 等于所有部分量之和;3 3 3 3、微元法的实施条件、微元法的实施条件、微元法的实施条件、微元法的实施条件.)(iixq3)部分量 Qi的近似值可表示为满足上述三个条件，就可考虑用定积分来表达量 Q.第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例2 2 平面图形的面积 1 1 1 1、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形baxxfxgAd)()(xd上连续，在设,)(),(baxgxf求由曲线且),()(xgxf所围成的平面图形的及直线bxaxxgyxfy,)(),(.A面积Ad)()(xfxg:d,xxxyxabOy=g(x)y=f(x)xx+dxAd第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例.Ady所围成的平面图形面积,)(,)(),(cyyyyxyx及直线）（且求由AdAyyydcd)()(yd)()(yydyy cd()y()y y:d,yyy第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例22,xyxy在第一象限所围图形的面积.例 1.计算两条抛物线第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例0 xyy=x2y2=x1)1,1(xy22与直线的面积.4 xy所围图形例例 2.计算由抛物线xAB-2 4yy=x-4y2=2x(8,4)(2,-2)xAB-2 4yy=x-4y2=2x(8,4)(2,-2)第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例问题思考.使用微元法，你能给出几种求圆222Ryx的方法？xyORxyORxyOR（竖分）（横分）（环分）的面积第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例x x+dxyy+dyr r+dr2 2 2 2、参数方程情形、参数方程情形、参数方程情形、参数方程情形)()(tytx确定时，一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程则可按定积分换元法计算曲边梯形面积.)()(件满足定积分换元法的条和这里要求函数tt第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例12222byax所围图形的面积.当 a=b 时得圆面积公式例 3.求椭圆xyOab第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例)cos1(,)sin(tayttax)0(a一拱与 x 轴所围平面图形的面积.例 4.求由摆线的Oxya2a t第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例3 3 3 3、极坐标情形、极坐标情形、极坐标情形、极坐标情形求连续曲线 r=r()及射线 =,=(0)所围的面积.第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例r=a(1+cos)2axO例 6.求由两条曲线 r=3cos和 r=1+cos所围成的公共部分的面积.3,23 3,23O 2xcos3r3cos1r第 第 7 章 定积分的应用举例章 定积分的应用举例 第 第 7 章章 定积分的应用举定积分的应用举例例1 1 建立定积分数学模型的微元法 应用几何：面积、弧长、体积和侧面积等物理：功和静压力等 定积分的应用经常采用微元法，即用微元把一个量表达成定积分的方法.iix1ixxy0abxfy(1)分割:xi-1,xi xi=xi xi-1(2)作近似:i xi-1,xi Ai f(i)xi1 1 1 1、微元法的引入、微元法的引入、微元法的引入、微元法的引入 曲边梯形的面积表达成定积分(3)求和:iixfA)(4)取极限:iixfA)(lim0baxxfd)(分割作近似分割作近似求和取极限求和取极限(1)分割:xi-1,xi xi=xi xi-1(2)作近似:i xi-1,xi Ai f(i)xixy0abxfy xx+dx(1)x,x+dxdA=f(x)dx(A 的微元)(典型小区间)iix1ixxy0abxfy iix1ixxy0abxfy xy0abxfy xx+dx(3)求和:iixfA)(4)取极限:iixfA)(lim0baxxfd)(baAAd)2(dA 在 a,b 上的无限求和)baxxfd)(如如 Q 能近似地表示为 a,b 上的一个连续函数在 x 处的值 q(x)与 dx 的乘积，就把 q(x)dx 称为量 Q 的微元，且记为 dQ，即2 2 2 2、微元法的实施步骤、微元法的实施步骤、微元法的实施步骤、微元法的实施步骤1)如如如如如如如如如如如如如如如如如如如 x 如为积分变量，并确定它的变化区间 a,b.2)如如如如如 a,b 分成 n 个小区间，取一个典型小区间并记为 x,x+dx，如如如如如如如如如如如如如如 Q 的近似值.d)(dxxqQ 3)以所求量 Q 的微元 q(x)dx 为被积表达式，在区间 a,b 上作定积分，得,d)(baxxqQ即为所求量 Q 的积分表达式.注意 1)取近似值时，得到的是形如 q(x)dx 的近似值.这里要求 Qq(x)dx 是 dx 的高阶无穷小量，这在实际问题中常常能够满足.2)若用 Q(x)记区间 a,x 所对应的部分量，则小区间x,x+dx 所对应的部分量为 Q，q(x)dx 即为 Q(x)的微分.1)所求量 Q 是与区间 a,b 上某分布 q(x)有关的一个整体量;2)所求量 Q 对区间 a,b 具有可加性，就是说，如果把区间 a,b 分成许多部分区间，则 Q 相应地分成许多部分量，而 Q 等于所有部分量之和;3 3 3 3、微元法的实施条件、微元法的实施条件、微元法的实施条件、微元法的实施条件.)(iixq3)部分量 Qi的近似值可表示为满足上述三个条件，就可考虑用定积分来表达量 Q.第 第 7 章章 定积分的应用举定积分的应用举例例2 2 平面图形的面积 1 1 1 1、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形baxxfxgAd)()(xd上连续，在设,)(),(baxgxf求由曲线且),()(xgxf所围成的平面图形的及直线bxaxxgyxfy,)(),(.A面积Ad)()(xfxg:d,xxxyxabOy=g(x)y=f(x)xx+dxAd.Ady所围成的平面图形面积,)(,)(),(cyyyyxyx及直线）（且求由AdAyyydcd)()(yd)()(yydyy cd()y()y y:d,yyy22,xyxy在第一象限所围图形的面积.例 1.计算两条抛物线解 由xy 22xy 得交点)1,1(,)0,0(xxxAd2102332x01331x310 xyy=x2y2=x1)1,1(xy22与直线的面积.4 xy所围图形例例 2.计算由抛物线xAB-2 4yy=x-4y2=2x解 由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2(选 作积分变量,必须将x所围图形分成两个部分,故有(8,4)(2,-2)20d)2(2xxxA82d)4(2xxx18xAB-2 4yy=x-4y2=2xyyyAd)4(d22118221yy442361y注意注意 本例选取 y 作积分变量计算如下：42A(8,4)(2,-2)计算更简便.问题思考.使用微元法，你能给出几种求圆222Ryx的方法？xyORxyORxyOR（竖分）（横分）（环分）的面积x x+dxyy+dyr r+drxxRARRd222yyRARRd222rrARd202 2 2 2、参数方程情形、参数方程情形、参数方程情形、参数方程情形)()(tytx确定时，一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程则可按定积分换元法计算曲边梯形面积.)()(件满足定积分换元法的条和这里要求函数tt12222byax所围图形的面积.例 3.求椭圆xyOab解 利用对称性,有应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbabaaxyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax当 a=b 时得圆面积公式)cos1(,)sin(tayttax)0(a一拱与 x 轴所围平面图形的面积.例 4.求由摆线的Oxya2a t)cos1(ta解 ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin4204220A)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a注意.本例也可将 展开计算.ttd)cos1(2023 3 3 3、极坐标情形、极坐标情形、极坐标情形、极坐标情形求连续曲线 r=r()及射线 =,=(0)所围的面积.r=a(1+cos)2axOttadcos82042解 d)cos1(2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a例 6.求由两条曲线 r=3cos和 r=1+cos所围成的公共部分的面积.解 求两条曲线的交点，)3,23()3,23(,cos1,cos3rr得两曲线的交点),3,23().3,23(解方程组O 2xcos3r3cos1r考虑到图形的对称性,得面积302d)cos1(212 A232302d cos9d)coscos21(23302sin49292sin41sin223 .45 232d)cos3(212 第 第 第 第 7 7 章章章章定积分的应用举定积分的应用举定积分的应用举定积分的应用举例例例例3 3 平面曲线的弧