湖南大学《高等数学》课件-第2章.pdf

第 第 第 第 2 2 章章章章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例例 1.,131211n，12310 100 10000 nxn0.1 0.010.0001 1 0.5 0.33.213141516101 0无穷数列 无穷数列 xn :1 1 数列极限的概念数列极限的概念 x1,x2,xn,.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 ,)1(1 ,54 45 32 ,23 0nn，例例 2.1 2 3 4 5 10 11 100 101 nxn1.10 1.51.25 0.81.010.9090.0.9900.0.66236745325402761 1第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限,21,814121n，例例 3.例例 4.0.3，0.33，0.333，0.333,n 个31 0 给定数列 xn,当 n 无限增大时,xn 无限地趋近于某一个常数 a.称 a 为 xn 的极限,并称 xn 收敛,记为.limaxnn,01limnn,1)1(1limnnn,021limnn一尺之棰,日取其半,万世不竭.(庄子 天下篇).31)103103103(lim2nn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 5.1，3，5，2n 1，随 n 无限增大数列的项也无限增大,不会趋于任何常数,数列没有极限.例例 6.1，1，1，1，(1)n+1，正负交错取 1.n 无限增大时,数列不趋于任何常数,数列没有极限.并非任何数列都有极限.数列若无极限,则称其发散发散.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限当 n 无限增大时,xn 无限趋近于 a当 n 充分大时,xn a 可以任意地小当 n 无限增大时,xn a 无限变小任意给定一个很小的数，当 n 大到一定程度时,就有 xn a 小于这个数数数列列极极限限定定义义的的描描述述第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限任意给定一个很小的数，当 n 大到一定程度时,就有 xn a 小于这个数.nxnn1)1(1 则 n 10 时(从 n=11 起)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.0001100001第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限nxnn1)1(1则 n 10 时(从 n=11 起)便有n1 xn 1 =给 0.1，=0.1101给 0.01，给 0.0001，则 n 100 时(从 n=101 起)便有n1 xn 1 =0.011001则 n 10000 时(从 n=10001 起)便有n1 xn 1 =0.0001100001 任意给定一个很小的数 任意给定一个很小的数 ,总存在一个总存在一个 N,当 当 nN 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a N 时 时(即从 即从 n=N+1 起 起),便有便有 xn a 0,总 N Z+,使得对于 n N 时的一切 xn都有 xn a ,则称 a 为 xn 的极限,并称 xn 收敛.记作,limaxnn或 xn a(n ).第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 xn a xn a 即 a xn 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|,则则.limaxnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 1 证明 .11limnnn例例 2 证明 .021limnnqqnn,0lim 0,N,使当 使当 n N 时时,都有 都有|xn a|0,使对一切 xn 满足|xn|M.定理 定理 2 2(有界性有界性)若若 xn 收敛收敛,则则 xn 有界有界.定理 2 的逆命题不成立,即有界的数列不一定收敛.例如 xn=(1)n+1 有界,但它是发散的.推 论推 论 无界的数列一定发散无界的数列一定发散.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 从数列 x1,x2,xn,.中按下标由小到大的顺序任意选取无穷多个项 构成的一个新数列 称为 xn 的一个子数列.,21knnnxxxknx 中的 k 表示它是子列中的第 k 项，表示它是原数列中的第 项,显然 n1n2,且对所有的 k 有 nk k.knxknkn定理 定理 3 3 .lim,limaxxaxkknknnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定理定理 4 4(数列收敛准则一数列收敛准则一)数列 xn 、yn 、zn ，若 （1）N 0，当 nN 时，有 yn xn zn，（2），则 .azynnnnlimlimaxnnlim例例 1.证明112111lim222nnnnn第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 单调递增有上界的数列和单调单调递增有上界的数列和单调递减有下界的数列一定有极限递减有下界的数列一定有极限.定理 定理 5 5(数列收敛准则二数列收敛准则二)x2x1Mx3xx4有界数列：有界数列：M 0,使对一切 xn 满足|xn|M.有 上 界有 上 界:K1,使对一切 xn 满足 xn K1.有 下 界有 下 界:K2,使对一切 xn 满足 xn K2.单调数列单调数列：单调递增单调递增:x1 x2 xn xn+1.单调递减单调递减:x1 x2 xn xn+1 .第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 2.证明数列 收敛.nn11e)11(limnnn记可以证明 e 为一无理数，其值为e=2.718281828459045 1101001000100001000002 2.59374 2.70481 2.716922.71815 2.71827.n(1+1n)n第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限数列：n:1 2 3 n xn:x1 x2 x3 xn xn=f(n)nZ+(整标函数)3 3 函 数 的 极 限函 数 的 极 限1.x 时,f(x)的极限第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 1.01lim 1nnxnn，11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xOy考虑函数xy101limxx有xy1另外：01limxxny1第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 定义 1.若 0,总 X 0,使得当 x X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,总 X 0,使得当 x X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|0,N Z+,使得当 n N 时,对一切 xn都有|xn a|0,总 X 0,使得当|x|X 时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当 x 时的极限,记作.)(limaxfx由定义 1,2,3 可知axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限axyOa+a XXy=f(x)一般地,若 ，则函数 y=f(x)的图形有水平渐近线 y=a.axfaxfxx)(lim)(lim或|f(x)a|a f(x)X x X,x X 第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限再如,y=arctan x 有xyO22y=arctan x,2arctan limxx,2arctan limxx.arctanlim不存在而xxxy1y=exO比如 y=e x 有,0elimxx例例 3.证明.2121lim33xxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限2.x x0 时,f(x)的极限例例 4.设 f(x)=x2+1,观察它在 x=0 点附近 x0 的变化.xf(x)0.1 0.01 0.001,1.01 1.0001 1.000001,y=x2+1.1)1(lim20 xx有O1xyxxf(x)0.1 0.01 0.001,1.01 1.0001 1.000001,第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 一般地 是指当 x 无限趋于 x0时,对应的函数值 f(x)无限趋近于 a.f(x)a 可用|f(x)a|刻画,而 x x0则可用|x x0|刻画.axfxx)(lim0描述?例例 5.设 f(x)=x2+1,x0，0,x=0，观察它在点 x=0 附近 x0 的变化.yy=f(x)O1xx x0改用 0|x x0|0,总 0,使得当 0|xx0|时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)a|,则称 a 为 f(x)当 xx0 时的极限.记作0|xx0|x(x0,x0+).|f(x)a|a f(x)0,0,使得当 0 x x0 0,0,使得当 0 x0 x 0,0,x=0,x1,x 0,使得 f(x)在(x0,)内有界.,)(lim存在若xfx定理定理 33则 X 0,(X,+)和(,X)内均有界.使得 f(x)在第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限),0(0,)(lim0aaaxfxx且若定理定理 4 4.(保号性保号性)则 0,当 x(x0,)时,有f(x)0(f(x)0(f(x)0,使得),0(0,limaaaxnn且若定理定理 4 4 .当 n N 时,有 xn 0(xn 0,使得第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限1.无穷小量4 无穷小量与无穷大量在 x 的某个变化过程(x x0 或 x 等)中，若 lim f(x)=0，则称 f(x)为该变化过程中的无穷小无穷小(量).定义 1.设 f(x)在 x0 的某个去心邻域(x0)内有定义.若 0,总 0,使得当 0|xx0|时,相应的函数值 f(x)都满足|f(x)|0，使得 f(x)在(,X)(X,+)内有界，则称 f(x)是 x 时的有界量.比如 y=x2在(,+)内无界,但在 x=0 的附近是有界的.因此,y=x2是 x0 时的有界量.y=x20 xyMOyxxy1.01时的有界量不是 xxy第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定理 定理 3.3.有界量与无穷小之积为无穷小.例 例 1.01sinlim0 xxx这是因为 x,而x1sin1的缘故.xyOxxy1sin同理：.0sinlimxxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限推论推论 1 1：常数与无穷小之积是无穷小；有限个无穷小之积是无穷小.以 xx0 的情形为例.设 C 为一常数,(x)和(x)是无穷小,则 C(x)和(x)(x)都是无穷小.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限第 第 第 第 2 2 章章章章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.无穷大量在 x 的变化过程中(xx0 或 x 等),若 f(x)的绝对值无限增大,则称 f(x)为该变化过程中的无穷大无穷大(量).例如：x 时，1xy 为无穷大；yxOxy1例如：n 时，n2 为无穷大.第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定义 定义 2 2：若 0(无论多么大)，总 0,使得当 0|x x0|M，则称 f(x)是 x x0 时的无穷大.定义 定义 22 若 0(无论多么大)，总 X 0，使得当|x|X 时，有|f(x)|M，则称 f(x)是 x 时的无 穷大.)(limxf无穷大常记作：正无穷大+负无穷大 数列情形？第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限.11lim1xx证明例例 2Oyx11xy1例例 3 亦可证明;tanlim ,tanlim ,tanlim )3(222xxxxxx ;0lim ,lim )1(xxxxee .lnlim ,lnlim )2(0 xxxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极