湖南大学《高等数学》课件-第八章常微分方程.pdf

yxfy求已知,)(积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含,微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C=1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得引例1.一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为2x，求这曲线方程.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtts2122.0CtCts0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02即求 s=s(t).引例2.列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后的运动规律。常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶(本章内容)0),()(nyyyxF),()1()(nnyyyxfy(n 阶显式微分方程)一、微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是分类或,0 xyy,0d)1(d2yxxxy，1sin)(2xyy，xyxxyye2，xyyyy xsin2 .01)(ny,00ts 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):特解特解21xy200ddtts引例24.022ddtsxxy2dd引例1 Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,其图形称为积分曲线积分曲线.【例1】.验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,0Axt00ddttx的特解.【解解】22ddtxt kkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,故它是方程的通解。21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得:,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C并求满足初始条件 求所满足的微分方程.【例2】已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 QPQxyOx【解解】如图所示,yYy1)(xX 令 Y=0,得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x,y)处的法线方程为,一阶微分方程求解常 微 分 方 程F(x,y,y)=0，y=f(x,y)1.变量可分离方程)()(ddyhxgxy解法：)0)(d)()(dyhxxgyhyxxgyhyd)()(dCxGyH)()(分离变量法【例1】求微分方程yxxy23dd的通解.【解解】分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令(C 为任意常数)或或(此式含分离变量时丢失的解 y=0)【例2】解初值问题0d)1(d2yxxyx【解解】分离变量得xxxyyd1d2Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y【例3】求微分方程的通解)1(sin2yxy【解解】令,1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:,0M.【解解】根据题意,有)0(ddMtM对方程分离变量,MMd,lnlnCtM得tCMe0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(【例4】已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量M 成正比，已知 t=0 时铀的含量为 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律(初始条件)00MMtM0MtO【解解】根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解)e1(tmkkgmvmgvk【例5】设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.kgmv t 足够大时二、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程.令,xyu,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d解法:分离变量:【例1】解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin(C 为任意常数)0C此处【例2】解微分方程.0dd)2(22yxxyxy【解解】,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在求解过程中丢失了.(C 为任意常数)由光的反射定律:可得 OMA=OAM=)0()(:yxfyL【解解】将光源所在点取作坐标原,并设曲线 入射角=反射角cotyxxyy22yxOM【例3】探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成,按聚光性能的要求,在其旋转轴(x 轴)上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程.从而 AO=OMOPAP而 AO 于是得微分方程:xyy22yx TMyOxAPy21ddyxyxyx,vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy,xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21于是方程化为(齐次方程)(h,k 为待定常数),*二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha,解出 h,k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程),代入将kyYhxX求出其解后,即得原方程的解.,.211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令,ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc【例4】求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5,1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u,得令06 kh1,5hk 得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量,得原方程的通解:15arctanxy2151ln21xy)1(lnxC52xy利用得 C=1,故所求特解为15arctanxy22)5()1(ln21yx思考思考:若方程改为,64ddyxyxxy如何求解?提示提示:.yxv令三、一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy若 Q(x)0,0)(ddyxPxy若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程齐次方程;xxPCyd)(e齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,e)()()(xxPxuxydxxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换作变换xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(dd【例1】解方程.)1(12dd25xxyxy【解解】先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2)1(xCy用常数变易法常数变易法求特解.,)1()(2xxuy)1(2)1(2 xuxuy代入非齐次方程得21)1(xu解得Cxu23)1(32故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(令0d2d3yyxyyxx【例2】求方程的通解.【解解】注意 x,y 同号,d2d,0,xxxyx此时不妨设yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式,得exyy2de1(yyy2d故方程可变形为yy1y1 lndCy 所求通解为)0(eCCyyxyCyln这是以x为因变量 y 为自变量的一阶线性方程Cylnd)0(C*三、伯努利(Bernoulli)方程 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)【例3】求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.【解解】令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:内容小结1.一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1 nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(xxyyydd1 可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程 1求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln2.求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f线性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出3.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解:1)先解定解问题10,2xyy00 xy利用通解公式,得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00 xy得21C故有)10(e22xyx2)再解定解问题1,0 xyy11e22)1(yyx此齐次线性方程的通解为)1(e2xCyx利用衔接条件得)1(e22C因此有)1(e)1(e2xyx3)原问题的解为y10),e1(2xx1,e)1(e2xx)10(e22xyx),(yxfy 一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程)()(xfyn),(yyfy 三、三、型的微分方程型的微分方程 可降阶的高阶微分方程一、)()(xfyn令,)1(nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,)(xf21CxC型的微分方程型的微分方程【例1】.cose