湖南大学《高等数学》课件-第14讲函数项级数、幂级数.pdf

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十四讲 函数项级数、幂级数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和“X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第六节 幂 级 数一.函数项级数二.幂级数及其敛散性三.幂级数的运算1.函数项级数的定义设有一函数序列 ,)(,)(,)(21xuxuxun ,),2 ,1()(,则称上有定义在区间其中Iixui=+=+=)()()()(211xuxuxuxuinn为定义在区间I 上的函数项级数.一、函数项级数 )(10就是一个常数项级数+=nnxu+=+=)()()()(211xuxuxuxuinn函数项级数 I 0 x可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数2.函数项级数的敛散性 ,0时若Ix,)(10收敛+=nnxu+=10)(nnxux 为则称的收敛点.,0时若Ix,)(10发散+=nnxu+=10)(nnxux 为则称的发散点.,)(1Ixxunn+=设有合称为的所有收敛点构成的集)(1+=nnxu它的收敛域,记为 D.合称为的所有发散点构成的集)(1+=nnxu它的发散域.则有的收敛点为若 ,)(10+=nnxux3.函数项级数的和函数+=100)()(nnxuxS称函数上的收敛域在于是,)(,1Dxunn+=)()()(1DxxuxSnn=+=为函数项级数的和函数.称函数项级数的前n 项之和为其部分和：=nkknxuxS1)()(不论级数在点0 xx=处是否收敛,均可写出其部分和.如果级数在点0 xx=处收敛,则有 ).()(lim00 xSxSnn=4.函数项级数敛散性判别可以适当地运用常数项级数的敛散性判别法,判别函数项级数的敛散性.特别注意比较判别法的应用.,)(sin 12的敛散性判别Rxnnxn+=并求其收敛域.)(1 sin 22Rxnnnx ,2 1 12级数的是又PPnn=+=,它收敛时当Rx,)(sin 12收敛故Rxnnxn+=即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.所求收敛域为),(+解例1 1 20+=+=nnnxxxx判别的敛散性,并求其收敛域.这是等比级数.11)(,1|xxSx=其和为级数收敛时当.,1|级数发散时当x故该级数的收敛域为:.)1 ,1(x要打开思路!解例2,)()(1IxxSxunn=+=如果?)()(,)()(ICxSICxun则若 )(lim)(lim 01100？Dxxuxunnxxnnxx=+=+=几个问题几个问题在级数一致收敛的条件下,以上两个问题的答案是:肯定成立.5.函数项级数的一致收敛性一致收敛性的定义 ),(,)(1xSDxunnn其部分和函数为的收敛域为设+=).(xS和函数为有时当若 ,)(,0 NnNN=,|)()(|DxxSxSn).()(1xSDxunn上一致收敛于在则称函数项级数+=.)(,(的正整数为只依赖于表示其中NN由定义:函数项级数一致收敛则必收敛.由于函数项级数的部分和函数以及和函数都是定义在收敛域D 上的函数,故可以运用函数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致收敛性.请看书中的柯西收敛原理!魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判别法魏尔斯特拉斯判别法.魏尔斯特拉斯判别法 :)(1上满足在区间若函数项级数Ixunn+=;,|)(|,0 )1 (IxaxuNnNnn时当 ,)2(1收敛正项级数+=nna .)(1上一致收敛在则Ixunn+=关键!.)(11的优级数为通常称+=+=nnnnxua证例3 .),(sin 122上一致收敛在证明+=nxnnx ,1 有时因为当n,2 1 12是收敛的级数的为优级数=+=ppnn ,法可知故由魏尔斯特拉斯判别 .),(sin 122上一致收敛在+=nxnnx ),(,11 sin 22222+xnxnxnnx+=+=nnnnnxaxaxaaxa22100 形如的级数称为幂级数,其中,),2 ,1 ,0(=nan常数称为幂级数的系数.,）（幂级数的定义域为+1.幂级数的定义二.幂级数及其敛散性幂级数的一般形式为+=00)(nnnxxa )()(0010+=nnxxaxxaa .,0为一定点其中 x ,0准形式则可将它化为前面的标令xxX=+=+=000)(nnnnnnXaxxa当幂级数收敛时,由0)()(lim=+xSxSnn可知,不论“和函数”多么复杂,我们可以用多项式来近似它.当 n 的值充分大时,这种代替可达到相当的精度.=nkkknxaxS0)(,10nnxaxaa+=.1的部分和称为+=nnnxa由此可联想到什么？2.幂级数的敛散性首先进行分析：,0 00处收敛在设=+=xxxannn则由收敛的必要条件,有 .0lim0=nnnxa而有极限的量必有界,故 .0有界nnxa ,0 使得即M),2 ,1 ,0(|0=nMxann0 0 xnnnnnnxxMxxxaxa|000=,|0时当xx+=0 0 ,1 nnxxM的等比级数是公比小于它是收敛的,.|,0收敛级数从而+=nnnxa.,|00是绝对收敛的幂级数时即当+=nnnxaxx ,00处收敛在点若xxannn+=.)|,|(000内绝对收敛在区间则xxxannn+=结论结论:（）Ox|0 x|0 x0 x0 x收敛 0.(0),0 1=+=Sxxannn且处当然收敛在以上分析结论的图示以上分析结论的图示:.0 00处发散在设=+=xxxannn（）Ox|0 x|0 x0 x0 x发散若在外部一点收敛,会怎么样？处收敛在 0 x若在内部一点收敛,会怎么样？不怎么样推出.0 00处发散在设=+=xxxannn,|,011xxx满足若,01收敛使得+=nnnxa则由上面的分析可知,所有满足的|1xx,0收敛级数处点+=nnnxax在故级数+=0 nnnxa.0处收敛点 x这与假设矛盾.该矛盾说明:当,|0时xx 原级数发散.由以上的分析发现：内在如果幂级数),(0+=nnnxa既有收敛点,又有发散点,则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走,最初只可能遇到它的收敛点,然后就会只遇到它的发散点,这两部分的分界)(PP点是关于坐标原点对称的,幂级数在分界点处可能收敛,也可能发散.现将以上的分析用图表示出来.（）PPxO收发RR幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间),(RR内收敛,在此区间外发散,在区间端点处幂级数可能收敛,也可能发散.,为幂级数的收敛区间）（此时称RR.称为幂级数的收敛半径R当幂级数仅在.0,0=Rx则规定取处收敛现在请你回想并归纳一下我们刚才进行的分析工作,给出你的结论.阿贝尔定理,0 000）处收敛（在若幂级数=+=xxxxannn.,|0幂级数绝对收敛值的则对任何满足xxx 则对任处发散在若幂级数 ,00 xxxannn=+=.,|0幂级数均发散值的任何满足xxx 幂级数敛散性定理,0+=nnnxa对任何一个幂级数都存在一个非负使数 ),0(RR;,)(|幂级数发散时此时当+RRx;,|幂级数绝对收敛）时（包括当+=RRx.,|也可能发散幂级数可能收敛时当Rx=幂级数的收敛半径我们称上述定理中的非负数R 为幂级数的收敛半径.+=0nnnxa.0 ,0=Rx规定处收敛时当幂级数仅在.,),(+=+R规定内收敛时当幂级数在如何求收敛半径？求收敛半径的定理).),2 ,1 ,0(0(0=+=naxannnn设有幂级数.1 ,|lim 1=+Raannn则其收敛半径为若.0 ,;,0,=+=+=RR取时取时其中你能证明吗?有点像达朗贝尔判别法？,)(nnnxaxu=令由达朗贝尔判别法：|lim|lim|)(|)(|lim111nnnnnnnnnnnaxaxaxaxuxu+=|lim|1xaaxnnn=+证|)(|)(|lim1xxuxunnn=+,0,)1(时当+,|)(|,1|00收敛时+=nnxux.,1|0绝对收敛时当即幂级数+=xxannn,|)(|,1|0发散时+=nnxux.,1|0发散时当即幂级数+=xxannn.1 =R故,0 )2(时当=,10|,),(=+xx均有.),(0上收敛在故幂级数+=nnnxa.+=R故|)(|)(|lim1xxuxunnn=+,)3(时当+=,),0()0 ,(均有+x1|lim|)(|)(|lim11+=+nnnnnnaaxxuxu故此时幂级数发散,仅当.0时收敛=x.0 =R故|)(|)(|lim1xxuxunnn=+.1和绝对收敛区间的收敛半径及收敛区间求+=nnnx,1nan=11lim|lim1=+=+nnaannnn1=R ).(,1 ,111调和级数发散时+=+=nnnnnxx1=例3解 .)(,)1(,111由交错级数收敛时+=+=nnnnnnxx综上所述,得:,1 =R收敛半径1),1 收敛区间1).,1 （绝对收敛区间.)5(1的收敛区间求+=nnnx ,5 则令=xy+=+=11)5(nnnnnynx1111lim|lim1=+=+nnaannnn谁的收敛半径？1=1=R例4解.1 1=+=ynnRny的收敛半径为故151 x由64 x,4 时当=x+=+=+=111)1()54()5(nnnnnnnnnx由交错级数判别法,可知此时级数收敛.,6 时当=x+=+=+=1111)56()5(nnnnnnnnx.,21 发散级数的这是=Pp.)6 ,4 )5(1的收敛区间为故+=nnnx.12的收敛区间求+=nnxn=+=1212 ,1 nnnnynxnxy则令1|)1(|lim|lim 221=+=+nnaannnn因为,1 ,=yR所以.,11 12收敛时当+=nnyny,111 x故.,1 1 12收敛时或即+=nnxnxx例5解 :1 处的情形下面讨论=x由级数收敛的必要条件,可知.)1(,11212发散时+=+=nnnnnxnx.,11212发散时+=+=nnnnxnx综上所述,.),1()1 ,(12+=的收敛区间为nnxn.!)12()1(012的收敛区间求+=+nnnnx这是一个缺项的幂级数,不能直接运用求幂级数收敛半径的计算公式.今后遇到这类级数应该按照函数项级数的情形处理,通常是采用达朗贝尔判别法.!)12()1()(12+=+nxxunnn令,0)22)(32(1lim|lim21=+=+nnxuunnnn .Rx.),(内绝对收敛故原级数在+例6解幂级数的运算幂级数的四则运算幂级数的解析运算三.幂级数的运算幂级数的四则运算设有两个幂级数)(22100 xfxaxaxaaxannnnn=+=+=),(11RRx)(22100 xgxbxbxbbxbnnnnn=+=+=),(22RRx,0 ,21为收敛半径式中RR则有以下运算规则1.加、减法,min 21RRR=取中则在 ),(RR+=+=+=000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa)()(xgxf=2.乘 法(对角线法),min 21RRR=取中则在 ),(RR+=+=00nnnnnnxbxa)()(xgxf=+=+=0011110)(nnnnnnxbabababa0a0a0a0a1a1a1a1a2a2a2a2a3a3a3a3a0b0b0b0b1b1b1b1b2b2b2b2b3b3b3b3b0c1c2c3c就是说,在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那