大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第8章.pdf

X2S22221YX 212221SSPPPP第第8章置信区间和假设检验章置信区间和假设检验一一.区间估计区间估计二二.假设检验假设检验05.89.7.5.88.71001xnXnXX xf1nXPnnXX05.805.805.8，NX2,，9.7，5.8,8.7,0例：电视机寿命值例：电视机寿命值由大数定律，对任意的容许误差由大数定律，对任意的容许误差一定能找到一个一定能找到一个n，使得：，使得：抽取容量为抽取容量为n=100的样本，的样本，则则 在在8.05左右，左右，的估计精度区间应该为：的估计精度区间应该为：100X我们只抽样一次我们只抽样一次 用来估计用来估计，1T2TXXX xfX11z2zX xf1nNXn2,21，TT；1,0 NnXn；121TXTPn121znXzPn21TT，已知05.805.8nzXnzXinin，APnx两端小概率抽不到统计的基本原理（小概率事件原理）统计的基本原理（小概率事件原理）若事件若事件A发生的概率发生的概率则统计认为则统计认为A在一在一于是于是的估计区间应该为：的估计区间应该为：即即的估计区间应该为：的估计区间应该为：的非小概率区间端点值的非小概率区间端点值次抽样下不发生。次抽样下不发生。1T2TnXXX21,，满足：,和212nXXXTnXXXT211,121TTP，对于随机区间21，TT称为置信下限，1T称为置信上限。2T21，TT设总体设总体 X 的分布函数为的分布函数为F(x,)，其中，其中 为未知参数，为未知参数，101,的概率为落在区间XX1,21的概率为落在区间TT为来自总体的简单随机样本，对任意给定的为来自总体的简单随机样本，对任意给定的如果由样本确定的两个统计量如果由样本确定的两个统计量则称随机区间则称随机区间 是参数是参数的置信度为的置信度为1-的置信区间。的置信区间。(2)确定确定 的分布（的分布（6章）章）(3)确定确定 分布的非小概率事件区间（分布的非小概率事件区间（6章分位点）章分位点）(1)确定确定的估计量的估计量 （7章）章）1TP，1TPT11T X1,0 NnX122ZnXZPnzXnzXinin121TTP称称 T 为参数为参数的，置的，置信度为信度为 1-的单侧置信下限，若的单侧置信下限，若 T 满足：满足：称称 T 为参数为参数的，置的，置信度为信度为 1-的单侧置信上限，若的单侧置信上限，若 T 满足：满足：(4)从不等式中解出从不等式中解出122ZnXZPn122nZXnZXPnnnZXnZXnn22,2Z12Z2 x已知22Z1,0/Nn121TTP的置信区间.1 双侧 1X205.0,NXmmx95.14，解：由1,0 NnXn95.0 nXPn可得：95.0025.0025.0nZXnZXPnn置信区间为：的 95.0nZX，nZXnn025.0025.0 95.141289.157711.14，96.1025.0Z96.1，05.06605.096.195.14025.0Z025.0Z例例1.某车间生产的一批圆形纽扣的直径某车间生产的一批圆形纽扣的直径 ，现从中随机抽取，现从中随机抽取 6个，量得平均直径个，量得平均直径 。在。在0.95的置信度下求这批纽扣的置信度下求这批纽扣 平均直径平均直径 的置信区间。的置信区间。nX；1nZXPnnZX，nZ1 xZ1,0 NnXn；1nZXPn，nZXn1Z x-122nZXnZXPnn1ZnXPn错Z 单侧上限 2 单侧下限 31TP1TP1,0 NnTZnXn205.0,NXmmx95.14，解：由1,0 NnXn95.0025.0025.0nZXnZXPnn95.005.0nZXPn，nZXn05.0 95.14，91.1464.105.0Z64.1，05.06例例.某车间生产的一批圆形纽扣的直径某车间生产的一批圆形纽扣的直径 ，现从中随机抽取，现从中随机抽取 6个，量得平均直径个，量得平均直径 。在。在0.95的置信度下求这批纽扣的置信度下求这批纽扣 平均直径平均直径 的置信下限。的置信下限。的的0.95置信下限为：置信下限为：122nZXnZXPnn未知1 ntnS11122ntnSXntPn11122nSntXnSntXPnnnSntX，nSntXnn112212nt12nt2 tf2112nt 双侧 1的置信区间.2nX2,NX38.50 x4484.02s；1 ntnSXn解：99.0 nSXPn 99.099005.0005.0nStXnStXPnn nStX，nStXnn99005.0005.0104484.025.338.50104484.025.338.50，93.5083.49，25.39005.0t10n 9005.0t 9005.0t例例2.一批袋装大米质量一批袋装大米质量 ，现从中随机抽取，现从中随机抽取10袋，称得质量袋，称得质量（单位：（单位：kg）为：）为：50.6，50.8，49.5，50.5，50.4，49.7，51.2，49.3，50.6，51.2。求这批袋装大米平均质量。求这批袋装大米平均质量 在在0,99置信度下的置信区间。置信度下的置信区间。1nt1 ntnS11nSntXPnnSntX，n111nSntXPn，nSntXn11nt tft tf1ntt11-11122nSntXnSntXPnn1nt 单侧上限 2 单侧下限 3nX1TP1TP2,NX5n6.11x995.02s1 1 ntnSXn由解：144025.0025.0nStXnStXPnn95.0 P nStXn405.0 131.2405.0t55.125995.0131.26.11的单侧置信下限为解得小时工作时间为制造单件产品所需最少55.12 nStXn405.0例例3.为估计制造某种产品所需的单位平均工作时间（为估计制造某种产品所需的单位平均工作时间（h），现制造），现制造5件，件，所需工作时间如下：所需工作时间如下：10.5,11,11.2,12.5,12.8.假设所需工作时间假设所需工作时间 ，试求试求 的的0.95的单侧置信下限。的单侧置信下限。1221n1 1 22SnPi）的点估计量为的点估计量为ii）由抽样分布定理二有：）由抽样分布定理二有：11222nSn若若 ，则，则A在在 一次抽样下不一次抽样下不会发生。会发生。一次抽样得到的样本方差值一次抽样得到的样本方差值 不是小概率事件，不是小概率事件，iii）由小概率事件原理：）由小概率事件原理：122n22S xf22211221TTP AP102s须满足：须满足：2s20但是但是置信区间2.3 双侧 1%951111122122222nSnnSnPiv）由上式解得：）由上式解得：11：2222，nSn112212nSn xf21 1 22SnP122n1221n%991T2T1221TTP1置信度置信度估计精度估计精度2s222一个s2所有s2一个s2所有s xf122 12n xf11.09.0 xf212222n3.07.0统计上一般先保证置信度，在置信度确定的情况下提高估计精度统计上一般先保证置信度，在置信度确定的情况下提高估计精度得得双侧置信区间未必最短，但对双侧置信区间未必最短，但对2不是对称分布，不是对称分布，仍仍均分均分两侧，两侧，所有自由度来说总体较好。所有自由度来说总体较好。2,NX29n，解：由11 222nSn95.0 1-22SnP可得 95.081-81-解得：20.975222025.02SnSnP 81-81-20.97522025.02Sn，Sn18.2114948535.17114948，42179,5244114942s 18.28535.17820.9752025.0，820.975 820.025 例例4.设某种金属丝长度设某种金属丝长度 ，现从这批金属丝中随机抽取，现从这批金属丝中随机抽取9根，根，测得其长度测得其长度 数据如下数据如下1532,1297,1647,1356,1435,1483,1574,1517,1463，试估计该批金属丝长度方差试估计该批金属丝长度方差 的的0.95的置信区间。的置信区间。有些实际问题方差越小越好，有些实际问题方差越小越好，此时求此时求 的置信区间只需考虑单侧上限：的置信区间只需考虑单侧上限：如：袋装大米质量如：袋装大米质量 12TP因为因为 越小越好，越小越好，11 1222nSnP错错221Sn 1112122nSnP110：2122nSn，xf212n1121n2,50NX22越大越好越大越好 11：2222，nSn112212nSn 0 单侧上限 22还有些实际问题方差大些较好，还有些实际问题方差大些较好，出题者出题者只需考虑只需考虑 的置信区间单侧下限：的置信区间单侧下限：如：考试成绩如：考试成绩 12TP因为因为 越大越好，越大越好，11 12122nSnP错错221Sn 111222nSnP，nSn11：222 xf212n1121n2,80NX22越小越好越小越好 11：2222，nSn112212nSn 单侧下限 322,NX2，n5，x6.11，s995.0211 222nSn解：1 P 41-0295.02Sn，711.0995.0150，597.5 ,0 141-41-22975.022025.02SnSnP 711.04295.02 41-2975.02Sn例例5.为估计制造某种产品所需的单位平均工作时间（为估计制造某种产品所需的单位平均工作时间（h），现制造），现制造5件，件，所需工作时间如下：所需工作时间如下：10.5,11,11.2,12.5,12.8.假设所需工作时间服从正假设所需工作时间服从正 态分布态分布 试求方差试求方差 的单侧置信上限。的单侧置信上限。的置信区间2221.42221SS1,1 mnF11,1 1,1122mnFnmFP11-,1-1-,1-22221222122221nmFssmnFssP1-,1-，1-,1-2222122221nmFssmnFss xf1.12mnF221.121mnFF 双侧 1222122212221SS1,112nmF22212221SS1,1 mnF11-,1-1-,1-22221222122221nmFssmnFssP1-,1-，02221nmFss11-,1-22212221nmFssP11,122212221mnFSSP xf1.1mnFF错 单侧置信上限2221 2，1TP11-,1-22212221mnFssP，1-,1-2221mnFss22212221SS1,1 mnF11,11-,1-2221222122221nmFssmnFssP错 xf1.11nmFF11,1122212221nmFSSP 单侧置信下限2221 3，1TP21222221，799.122S，826.521S；9n8m例例6.设用两种不同的方法冶炼某种结束材料，分别抽样测试其杂质含量设用两种不同的方法冶炼某种结束材料，分别抽样测试其杂质含量 （单位：（单位：%）得到如下数据：）得到如下数据：原始冶炼方法：原始冶炼方法：26.9,22.3,27.2,25.1,22.8,24.2,30.2,25.7,26.1 新的冶炼方法：新的冶炼方法：22.6,24.3,23.4,22.5,21.9,20.6,20.6,23.5 假设两种冶炼方法的杂质含量假设两种冶炼方法的杂质含量X,Y都服从正态分布，且方差都服从正态分布，且方差 ，均未知，求方差比均未知，求方差比 的置信度为的置信度为0.9的置信下限。的置信下限。22212221SS解：1,1 mnF，799.122S，826.521S；9n8m9.0111-,1-22212221mnFssP，1-,1-22212221mnFss：，75.279.182.511-,1-1-,1-22221222122221nmFssmnFssP75.27,81.0 1.079，F置信度为置信度为0.9的下限的下限1