湖南大学《高等数学》课件-第三章 函数的连续性.pdf

设 f(x)在 U(x0)内有定义,若)()(lim0 0 xfxfxx则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.是整个邻域函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(lim )2(0；存在axfxx)(,(0有极限时xfxx 第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性设,0 xxx 则)()()()(000 xfxfxfxxfy又0 x即 xx0,故)()(lim0lim000 xfxfyxxx0lim0yxy=f(x)f(x0)f(x0+x)0 x0 x0+xxxyy第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性 语言的语言的定义：定义：对 0,若 0,使得当|xx0|时,函数值 f(x)满足|f(x)f(x0)|0,11limsgnlim00 xxx1)1(limsgnlim00 xxxsgn x|x=0=sgn 0=0故符号函数 y=sgn x 在点 x=0 处不连续.0,x=0,1,x 0.解例例5.第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性2.间断点间断点.函数 f(x)若在点x0不连续，则称 x0为 f(x)的一个间断点间断点.函数 f(x)在点 x0 连续的条件：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(2)f(x)在x0 有极限 ；)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx(1)f(x)在 x0 处无定义,但 f(x)在)(U0 x内有定义.(2)中至少有一个不存在.)(lim )(lim00 xfxfxxxx与(3)存在,但不相等.)(lim )(lim00 xfxfxxxx与(4)但 a f(x0).,)(lim)(lim00axfxfxxxx第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性例例6.,11)(2xxxf在x0=1处间断.这是因为x0=1处函数无定义的缘故，这里2)(lim1 xfx存在.201xy=f(x)y第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性f(x)=,112xx0,x1x=1在x0=1处间断.这是因为f(1)=0,而2)(lim1xfx的缘故.例例7.201xy=f(x)y第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性例例8.f(x)=x1,x 0,(或 f(x0)0,使当 xU(x0,)时,有 f(x)0 (或 f(x)0,使当 xU(x0,)时,有若 f(x0)0,推论推论第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性2.反函数和复合函数的连续性反函数和复合函数的连续性 定理定理3.设 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加(减少)且连续，则其反函数 x=f-1(y)也在对应区间 J=y|y=f(x),xI 上严格单调增加(减少)且连续.例例4.y=sinx在2,2上单调增且连续,于是其反函数y=arcsinx在1,1上也单调增且连续.第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性定理定理4.设 u=(x)在点x0连续，y=f(u)在点 u0=(x0)连续，若 y=f (x)在U(x0)内有定义，则它在点 x0也连续.例例5.已知 y=u2 在(,)上连续,而 ucosx 在(,)上连续,于是 y=cos2x 在(,)上也连续.,uy 尽管u=cos x 1 是在定义域内的定义域是一个孤立点集D=x|x=2k,kZ 1cos xy1cosxy从而,函数在其定义域内的但由它们构成的复合函数连续的函数,每一点均不连续.例例6.第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性关于复合函数的极限有下列结论：(1)若 ，又 y=f(u)在u=u0 连续，则对复合函数 y=f(x)，有0)(lim0uxxx)()(lim00ufxfxx(2)若 ，又 ，则对复合函数y=f(x)有0)(lim0uxxxaufuu)(lim0axfxx)(lim0)(lim0 xfxx)(lim0ufuu3.复合函数的极限复合函数的极限 例例7.求极限xxx10)1cos(lim例例8.求极限93lim23xxx第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性)(lim)(lim00 xfxfxxxx)(lim)(lim00ufxfuuxx(1)(2)例例9.求极限3142lim2xxx例例10.求极限)11(lim22xxxxx由定理 4 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：则设 ,)(lim ,0)(lim 00 xhxgxxxx)()(lim)(00)(1(limxgxhxhxxxxexg则为有限数设 ,),0()(lim ,)(lim 00babxhaxgxxxx.)(lim)(0bxhxxaxg则设 ,)(lim ,1)(lim 00 xhxgxxxx1)()(lim)(00)(limxgxhxhxxxxexgeeexxxxxx1)1(11lim1111lim(3)1 (eeexxxxxx1sin1lim100)sin1(lim)1 (2)(1)1),5(5)52(lim2cos20baxxxx第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性 结论结论1 基本初等函数在其定义域上都连续基本初等函数在其定义域上都连续.4.初等函数的连续性初等函数的连续性 结论结论2 初等函数在其有定义的区间内都连续初等函数在其有定义的区间内都连续.函数间断点及其类型的确定：函数间断点及其类型的确定：(1)初等函数 (2)分段函数求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12ln(12 连续性给极限运算带来很大方便.解例例11.,1lim)(2212nnnxbxaxxxf设.),()(,上连续在取何值时问xfba1 ,211 ,211|,1|,1lim)(22212xbaxbaxxxbxaxxbxaxxxfnnn,),1(),1 ,1(),1,()(上为初等函数在由于xf所以在其上是连续的.解例例12.1 )(,),()(xxfxf在只需上连续在要处连续即可.即应有,)1()(lim)(lim11fxfxfxx,)1()(lim)(lim11fxfxfxx11baba解此方程组得所求:.1 ,0ba得到方程组的表达式由 ,)(xf第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性1.最大值最小值定义最大值最小值定义设 f(x)在区间I上有定义.若x0I,使xI.有 f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0),则称f(x0)为f(x)在I上的最大(或最小)值.)(min)(),(max)(00 xfxfxfxfIxIx或记作 最大值和最小值的求法设 f(x)C(a,b),则 (i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy (ii)y=f(x)为一般的连续函数时xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性1.最大值最小值定理最大值最小值定理定理定理1.若 f(x)C(a,b)，则它在a,b上必有最大值和最小值.即：至少存在一点(a b)使得xa,b有 f()f(x)至少存在一点(a b)使得xa,b有 f()f(x)分别称 f()和 f()为 f(x)在a,b上的最大值最大值 和 最小值最小值.常记作)(max)(xffIx)(min)(xffIx第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性OabxyMm推论推论1.若 f(x)C(a,b)，则它在a,b上一定有界.事实上，xa,b，总有 m f(x)M.第第 3 章章 函函 数数 的的 连连 续续 性性定理1中的条件：连续；闭区间a,b Oyx21xy 22x=0处不连续Oyxxy 3开区间(0,3)(根存在定理或零点定理)则至少存在一点 (a,b),使得 f()0.设 f(x)C(a,b),且 f(a)f(b)0,axyy=f(x)f(a)bf(b)Of(a)=Af(b)=Byy=f(x)Cy f()=C下面看看,坐标平移会产生什么效果.xxxxOabxabxO如何描述这个现象?(介值定理)设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且 A B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a,b),使得 f()=C.令 (x)=f(x)C 故由根存在定理,至少存在一点 (a,b)使 则 (x)C(a,b)C 在 A,B 之间 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)=(A C)(B C)0,b 0)设 f(x)=x a sin x b,x 0,a+b,则 f(x)C(0,a+b ),而 f(0)=0 a sin 0 b=b 0,则 f(0)f(a+b)0,由根存在综上所述,方程在(0,a+b 上至少有一个根,练习练习.证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.