东北大学《大学物理》课件-第一讲.pdf

大学物理第一讲研究对象：做做机械运动机械运动的的质点质点。解决问题：质点的运动状态如何描述。质点的运动状态如何描述。主要内容：描述质点运动状态的四个物理量：描述质点运动状态的四个物理量：位矢、位移、速度、加速度位矢、位移、速度、加速度。重点掌握：矢量描述和微积分思想！质点运动学1.1 质点运动状态的描述一、质 点1.质点：只具有质量而没有大小和形状的理想物体。质点是一个理想模型。2.理想模型由真实物体中抽象出来,突出主要因素，忽略次要因素，简化问题又不失客观真实性的抽象思维方法。其它主要的理想模型:刚体、线性弹簧振子、理想气体、点电荷等。3.机械运动：质点的位置随时间发生改变的运动。质点运动学1.1 质点运动状态的描述2二、位 矢1.位矢描述质点位置的矢量，又称为矢径。rOP在参考系中在参考系中，位矢可位矢可表示为由表示为由参考点参考点 O 指向指向质点所在位置质点所在位置 P 的有向的有向线段线段。xyzPrOr用用 表示表示。O x y z r2.参考点不同，位矢不同。位矢是矢量点函数。质点运动学1.1 质点运动状态的描述3kzj yi xr x、y、z 为为质点的位置坐标。质点的位置坐标。222zyxrr 方向：方向：rzryrx cos,cos,cos分别为位矢与分别为位矢与x轴、轴、y轴、轴、z轴的夹角。轴的夹角。,xyzP(x,y,z)rO3.笛卡尔坐标系中的位矢4.位矢的大小和方向大小：大小：质点运动学1.1 质点运动状态的描述4k，ji为三个方向的单位向量为三个方向的单位向量。OzxyArBrr s tttrrrrrAB 1.位秱在 t 时间间隔内，位矢的增量称为位秱。初始量指向末矢量的有向线段。位秱是矢量。2.路程 s一段时间内，质点在其轨迹上所经过的路径总长度称为路程。路程是标量。ABtt+t质点运动学1.1 质点运动状态的描述三、位秱5r 3.3.位秱的物理意义4.4.位秱和路程的区别与联系(1)位移是矢量。位移是矢量。大小及方向只与质点的始末大小及方向只与质点的始末位置有关，位置有关，与坐标系及其原点的选取无关。与坐标系及其原点的选取无关。(2)位移的方向：位移的方向：为路径为路径曲线的割线曲线的割线方向。方向。OzxyArBrr ABx y z O BrAr(1)位移是矢量，路程是标量。位移是矢量，路程是标量。(2)位移只与质点位移只与质点始末位置始末位置有有关关，与路径无关；路程与质点与路径无关；路程与质点运动路径运动路径有关有关。质点运动学1.1 质点运动状态的描述6(4)对于无限小的时间间隔对于无限小的时间间隔，即即当当 t 趋于零时趋于零时，质点发生的位质点发生的位移也是无限小移也是无限小，称其为称其为位移元位移元，srdd sr (5)rr rd用用表示，此时表示，此时(3)一般情况下一般情况下质点运动学1.1 质点运动状态的描述BCrrrAB 7 r 表示位矢大小的增量AB ABrrr r 表示位矢增量（位秱）的大小OzxyArBrr s ABC8质点运动学1.1 质点运动状态的描述5.直角坐标系中位秱的表达式位移的大小：位移的大小：222zyxr kjirzyxrrAB 位移的方向：位移的方向：运动路径曲线割线方向；或初始量指向末矢量。运动路径曲线割线方向；或初始量指向末矢量。9质点运动学1.1 质点运动状态的描述四、速 度1.平均速度tr vxyz0注意：（1）平均速度是矢量；平均速率是标量。2.平均速率质点的路程质点的路程 s 与时间与时间 t 的比值定义为平均速率。的比值定义为平均速率。ts vP1 trP2 tt rr r 质点发生的位移质点发生的位移与经历时与经历时间间 t的比值定义为平均速度的比值定义为平均速度。单位：单位：m/s。（2）平均速度的大小与平均速率关系：vv 10质点运动学1.1 质点运动状态的描述3.瞬时速率tdsdt)t(s)tt(slimtslim0t0t v4.瞬时速度tdrdt)t(r)tt(rlimtrlim0t0t v瞬时速率是标量；而瞬时速率是标量；而瞬时速度是矢量瞬时速度是矢量，方向方向是当是当 t趋于零时趋于零时，位移的极限方向位移的极限方向，即曲线切即曲线切线并指向质点前进方向线并指向质点前进方向。xyz0P1 trP2 ttr r 11质点运动学1.1 质点运动状态的描述5.直角坐标系中速度的表达式2222z2y2xtdzdtdydtdxd vvvvtddrv tztytxdd;dd;dd zyxv v vkvjvivvzyx ijkddddddxyzttt 速度的大小：速度的大小：12质点运动学1.1 质点运动状态的描述6.瞬时速度和瞬时速率的关系当当 t 趋于零时，割线的长度趋于弧线的长度，趋于零时，割线的长度趋于弧线的长度，s 趋近于趋近于rtdd rv tdsd v srdd 即即瞬时速度的大小等于瞬时速率。13质点运动学1.1 质点运动状态的描述五、加速度)(-)(tvttvv t va 单位时间内质点速度的增量。单位时间内质点速度的增量。tv tt vv 2.瞬时加速度220ttdrdtddtlima vv 方向：方向：指向曲线凹侧。指向曲线凹侧。P1 tr tv tt vxyzOP2 tt r1.平均加速度大小：大小：dtdaav 14质点运动学1.1 质点运动状态的描述3.加速度的表达式(1)直线运动：直线运动：(2)曲线运动：曲线运动：dtdav kvjvivvatddtddtddtddzyx 222222222 tdzdtdydtdxdaa222222tdzdtddatdydtddatdxdtddazzyyxx vvv，注意：注意：曲线运动加速度大小不可以写为曲线运动加速度大小不可以写为，该项只是加速度的切向分量，即切向加速度该项只是加速度的切向分量，即切向加速度at。dtdav 15质点运动学1.1 质点运动状态的描述4.加速度的方向aaaaaazyx cos,cos,cosa yxzO5.速度方向与加速度方向的描述速度方向：质点所在曲线切线并指向质点前进方向；加速度方向：指向曲线凹向。Northeastern University大学物理教学中心Northeastern University大学物理教学中心21.1.自然坐标系自然坐标系是建立在运动的质点之上的是建立在运动的质点之上的,分为切向和法分为切向和法向两个方向向两个方向,单位矢量分别用单位矢量分别用和和表示表示Northeastern University大学物理教学中心32 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度ddpdvnpodtddtddtddtd vvvva )(nd d Northeastern University大学物理教学中心nndsdsdtddt vd ndtd 2vva Northeastern University大学物理教学中心(1)切向加速度切向加速度22dtSddtdt va其量值反映速度大小变化快慢程度其量值反映速度大小变化快慢程度(2)法向加速度法向加速度其量值反映速度方向变化快慢程度其量值反映速度方向变化快慢程度(3)加速度加速度 2va n22ntaaa aNortheastern University大学物理教学中心63讨论几种情况讨论几种情况(1)当当an=0，at=0时时(2)当当an=0，at 0时时(3)当当an=0，at=恒量时恒量时(4)当当an=0，at=变量变量时时(5)当当an 0，at=0时时(6)当当an=恒量，恒量，at=0时时(7)当当an 0，at 0时时(1)匀速直线运动匀速直线运动(2)变速直线运动变速直线运动(3)匀变速直线运动匀变速直线运动(4)变加速直线运动变加速直线运动(5)匀速率曲线运动匀速率曲线运动(6)匀速率圆周运动匀速率圆周运动(7)一般曲线运动一般曲线运动Northeastern University大学物理教学中心7例例1:一质点在重力场中作斜抛运动一质点在重力场中作斜抛运动,在某时刻到达某位置处在某时刻到达某位置处,速率为速率为 v 且且切线方向与水平线成切线方向与水平线成角角;求该处曲求该处曲线的曲率半径。线的曲率半径。gtana2cosnagv2cosgvNortheastern University大学物理教学中心例例2:一质点在一质点在xoy平面内作曲线运动，其运动方程为：平面内作曲线运动，其运动方程为：求求 t 时刻切向加速度、法向加速度以及该时刻质点所时刻切向加速度、法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹曲率半径。在处轨迹曲率半径。()()()r tx t iy t j()()ddx t iy t jdtdt2222()()ddx t iy t jdtdt=xya ia j=xyijvv()()dtr tdtv22()dr tdt()()da ttdtvNortheastern University大学物理教学中心速度大小：速度大小：22()()()xytttv=vv2()tv()tdatdtv切向加速度大小：切向加速度大小：加速度大小：加速度大小：22()()()xya ta ta t=法向加速度大小：法向加速度大小：22ntaaa=曲率半径大小：曲率半径大小：222()ttaav11.3 质点运动学中的微积分问题一、质点运动学中的微分问题根据已知的运动学方程通过逐次求导得到质点的根据已知的运动学方程通过逐次求导得到质点的速度和加速度。速度和加速度。kjira22222222ddddddddtztytxt kjirvtztytxtdddddddd 运动学方程：运动学方程：,)(trr)(,)(,)(tzztyytxx 或或2二、质点运动学中的积分问题已知加速度和时间的关系，通过积分求质点的已知加速度和时间的关系，通过积分求质点的速度和位矢。下面简单介绍利用定积分求解。速度和位矢。下面简单介绍利用定积分求解。0tttttttttdtdtdtdtdt000vvvva 其中其中)(t0v为速度的初始值，为速度的初始值，通常记为通常记为，则，则0v tt00tdttavv1.求速度dtvd(t)a 1.3 质点运动学中的微积分问题32.求位矢 tdtdtrv tt00tdttvrr 0000tttdtdtdtdtdtttttttrrrrv 其中其中)t(0r为位矢的初始值，通常记为为位矢的初始值，通常记为0r tatt对时间求导对时间求导对时间求导对时间求导vr tatt对时间积分对时间积分对时间积分对时间积分vr1.3 质点运动学中的微积分问题4例例1.质点的运动方程为质点的运动方程为，2220-153010tty ,tt-x x、y的单位为的单位为m,t 的单位为的单位为s。试求试求:(1)初速度的初速度的大小和方向；大小和方向；(2)加速度的大小和方向。加速度的大小和方向。分析分析:该题属于已知运动方程，求解速度和加速该题属于已知运动方程，求解速度和加速度的问题，利用逐步求导的方法解决。度的问题，利用逐步求导的方法解决。解：解：(1)求分速度求分速度 sm6010ddt-txx v sm40-15ddttyy v当当t=0时，时，1-01-0sm15sm10 yx,-vv1.3 质点运动学中的微积分问题5初速度大小为初速度大小为:-1220sm18.000 yxvvv，则，则轴的夹角为轴的夹角为与与设设 xv01412323tano00 ,-xyvvxyOx0vyv00v 初速度方向（与初速度方向（与x轴夹角）为轴夹角）为:1.3 质点运动学中的微积分问题6(2)求分加速度求分加速度,taxx2-sm60dd v2-sm40-dd tayyv加速度大小为加速度大小为:2-22sm1.72 yxaaa143332tano -,-aaxy xyO xayaa加速度方向（与加速度方向（与x轴夹角）为轴夹角）为:1.3 质点运动学中的微积分问题7例例2.已知质点沿已知质点沿x轴运动轴运动，其加速度和坐标