湖南大学《高等数学》课件-第1章.pdf

第一章 集合与函数第一章 集合与函数第二章 函数的极限第二章 函数的极限第三章 函数的连续性第三章 函数的连续性第四章 函数的导数和微分第四章 函数的导数和微分第五章 导数和微分的应用第五章 导数和微分的应用第六章 函数的积分第六章 函数的积分第七章 定积分的应用第七章 定积分的应用第八章 常微分方程第八章 常微分方程第 第 第 第 1 1 章章章章集合与函数集合与函数集合与函数集合与函数第第 1 章 集合与函数章 集合与函数全称量词 全称量词 ：“对于任意的”,“对于所有的”,“对于每一个”.(Any)1.符 号符 号存在量词 存在量词 ：“存在”.(Exist)1 1 集 合 与 映 射集 合 与 映 射一、集 合 蕴 涵 词 蕴 涵 词 ：“推得”,“充分条件”.S1 S2双蕴涵词 双蕴涵词 ：“当且仅当”,“等价”,“充分必要条件”.S1 S2 第第 1 章 集合与函数章 集合与函数2.点 点 x0 邻域邻域 (1)U(x0,)=x R|xx0|=(x0 ,x0+)，称为 x0的 邻域.x0 x0+x0 xx0 x0+x0 x(2)=U(x0,)x0=x R|0|xx0|0.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数(3)点 x0 的右邻域 U(x0+,)=x R|x0 xx0+=x0,x0+)=x R|x0 xx0+=(x0,x0+),(0 xU(4)点 x0 的左邻域 U(x0,)=x R|x0 x x0=(x0,x0 =x R|x0 x x0=(x0,x0),(0 xUx0 x0+x0 xx0 x0+x0 x第第 1 章 集合与函数章 集合与函数3.集合的关系和运算集合的关系和运算 (1)包含：xA xB.A B；(2)相等：A B 且 B A.A=B；称 A 是 B 的子集.(3)余：A X，AC=x|xX 且 xA；(4)并：AB=x|xA 或 xB；(5)交：AB=x|xA 且 xB；(6)差：AB =x|xA 且 x B；(7)直积：AB =(x,y)|xA 且 yB；第第 1 章 集合与函数章 集合与函数运算律运算律结合律：分配律：幂等律：(AB)C=A(BC);(AB)C=A(BC);A(BC)=(AB)(AC);A(BC)=(AB)(AC);AB=BA;AB=BA;交换律：对偶律(De Morgan)：AA=A;AA=A;吸收律：A=A;A=;(AB)C=ACBC;(AB)C=ACBC.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数定义定义 1 1 设 A,B 是两个非空集,若存在确定的规则 f,使 xA,按照 f,都有唯一确定的 yB 与之对应,则称 f 是从 A 到 B 的一个映射映射.记作 f:AB,或 f：x|y.二、映 射xyABf 称 y=f(x)为 x 在 f 下的像像,x 为 y 在 f 下的原像原像.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数。定义定义 2 2 设 f:AB.若 x1,x2 A,当 x1 x2时,f(x1)f(x2),则称 f 是单射单射.A Bf例例 2 设 A=N，B=Q，f：x|x+1，则 f 是一个单射.例例 1 设 A=R,B=R,f：x|x3，则 f 是一个单射.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数定义定义 3 3 设 f:AB,若 f(A)=B，则称 f 是满射满射.例例 3 设 A=R,B=1,1,f：x|sin x，。A Bf则 f 是一个满射(但不是单射).例例 4 设 A=R,B=0,+),f:x|x2,则 f 是一个满射(但不是单射).第第 1 章 集合与函数章 集合与函数定义定义 4 4 若映射 f:AB 既是单射，又是满射，则称 f 是一个 双射，也称 f 是一一对应一一对应.。A Bf例例 5 设 A=R，B=R，f:x|x3 则 f 是一个一一对应.例例 6 设 A=,B=1,1,f：x|sin x，2,2则 f 是一个一一对应.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数一、函数的概念 定义定义 1 1.若 f 是非空实数集 AR 到 R 的映射：f ：AR，则称 f 为定义在 A 上的一元一元(实数值)函函数数.定义定义 1 1.若 f 是非空实数集 AR 到 R 的映射：f ：AR，则称 f 为定义在 A 上的一元一元(实数值)函函数数.2 函数及其基本性质A 称为 f 的定义域定义域，记为 D(f);x A，其像 y=f(x)称为 x 的函数值函数值;f(A)=y|y=f(x),xA 称为 f 的值域值域,也记为 R(f).第第 1 章 集合与函数章 集合与函数 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 C=(x,y)|y=f(x),xD(f)称为 f 的图形图形.yyOy=f(x)(x,y)xR(f)D(f)x 习惯上常将函数记为 y=f(x)，x A，并将 x，y 看作变量，称 x 为自变量，y 为因变量.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数例例 1 上证指数和深证成分指数上证指数和深证成分指数第第 1 章 集合与函数章 集合与函数例例 2 示波器中的“锯齿波”波形示波器中的“锯齿波”波形.3010,20123100,101ttttu010301ut例例 3 绝对值函数绝对值函数.|,|xxy0,0,|xxxxxyy=|x|O11xy第第 1 章 集合与函数章 集合与函数例例 4.符号函数符号函数 .0,1,0,0,0,1sgnxxxxyOyx11.sgn|xxx且有第第 1 章 集合与函数章 集合与函数例例 5.取整函数取整函数f：x 不超过 x 的最大整数例如：当 x=3.24 时,x=3;其中 x 表示不超过 x 的最大整数.当 x=1.74 时,x=1;当 x=4.4 时,x=5.y-1123-1-3y=xxO1234-2-2-3-4.,xxy例例 6.狄利克莱狄利克莱(Dirichlet)函数函数.,0,1)(为无理数当为有理数当xxxDy第第 1 章 集合与函数章 集合与函数二、函数的基本特性1.单调性单调性 (1)若 x1,x2I 且 x1 x2,都有 f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2),则称 f(x)在 I 上单调增加单调增加(严格单调增加)；(2)若 x1,x2I 且 x10,使 xI 都有|f(x)|M,则称 f(x)在 I 上是有界的.这时 M 称为 f(x)在 I 上的一个“界”.否则称 f(x)在 I 上是无界的.|f(x)|M M f(x)M 若 f(x)在 I 上有界，则它在 I 上的图形介于两平行直线 y=M 和 y=M 之间.xyabMMOy=f(x)第第 1 章 集合与函数章 集合与函数例例 10 y=x3 在 1,1 上有界：x 1,1,|x3|1.例例11xy1在 ,+)内有界：21xy1111y=x3O在(0,)内无界.21yxOxy12221 1 x2；x1,+),第第 1 章 集合与函数章 集合与函数若 M1,使 xI,有 f(x)M1,则称 f(x)在 I 上有上上界界.若 M2,使 xI,有 f(x)M2,则称 f(x)在 I 上有下下界界.xyO abM1xyO abM2f(x)在 I 上有界 f(x)在 I 上既有上界,又有下界.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数三、函数的运算1.设函数 y=f(x),xA 和 y=g(x),x B.若 A=B,且 xA,都有 f(x)=g(x),则称 f(x)和 g(x)相等.函数的基本要素：定义域 对应规则 值 域 第第 1 章 集合与函数章 集合与函数2.设函数 y=f(x),xA 和 y=g(x),x B，且 AB .则可定 义 f 和 g 的和、差、积、商的运算如下.0)(|,)()()(g(xgxBAxxgxfxf(iv)(i)(f+g)(x)=f(x)+g(x)，x A B；(iii)(f g)(x)=f(x)g(x)，x A B；(ii)(f g)(x)=f(x)g(x)，x A B；第第 1 章 集合与函数章 集合与函数 设 u=(x),xA,又 y=f(u),uB.若 A1A,且 A1,使得(A1)B,则由 f 和 确定的 A1 上的函数 y=(f 。)(x),xA1称为 f 与 的复合函数复合函数.常将其记为 y=f(x).3.复合函数复合函数 (A)xA1AuByf(B)ff 。第第 1 章 集合与函数章 集合与函数例例 14.y=u2,u=sinx 则 y=sin2x例例 13.y=sinu,u=x2 则 y=sin(x2)例例 15.,uy u=1x2则21xy例例 16.y=u2,u=cosv,2xv 则2cos2xy 例例 17.y=lg(u2),u=sinx y=lg(sinx 2)无意义，故不能复合第第 1 章 集合与函数章 集合与函数 设函数 y=f(x),xA 是 A 到 f(A)的一一对应.这时 y f(A),唯一的 xA 使 f(x)=y，从而确定了 f(A)到 A 的一个函数，称之为 f 的反函数，记作 f 1：f(A)A，也常记作 x=f 1(y).4.反函数反函数易知：f 1 亦为 f(A)到 A 上的一一对应.从复合函数的角度看，函数 f 与反函数 f 1满足 f 1(f(x)=x,x A，f(f 1(y)=y,y f(A).第第 1 章 集合与函数章 集合与函数y=f 1(x)，x f(A),y A习惯上用 x 表示自变量,y表示因变量,故约定也是 y=f(x)的反函数.例例 18.y=3x+1,xR 的反函数)1(31xy,xRy=10 x,xR 的反函数 y=lg x,x(0,+)例例 19.y=x2,x0,+)的反函数 y=,x0,+)xy=x2,x(,0 的反函数 y=,x0,+)x而 y=x2,xR 不存在反函数.第第 1 章 集合与函数章 集合与函数y=f(x)y=xxOy=f 1(x)y 将 y=f(x)和其反函数 y=f 1(x)的图形画在同一个坐标平面上,则这两个图形关于直线 y=x 对称.定理定理 3 若 y=f(x)在区间 A 上严格单调增加(减少)，则它在 f(A)上必存在反函数 x=f 1(y)，且 x=f 1(y)在 f(A)上也严格单调增加(减少).第 第 第 第 1 1 章章章章集合与函数集合与函数集合与函数集合与函数第第 1 章 集合与函数章 集合与函数3 初 等 函 数一、基本初等函数y=xO11xyy=x2O1xy1O1xy=x3y1(1)幂函数幂函数 y=x (为常数)第第 1 章 集合与函数章 集合与函数O1xy1xy Oyxxy11132xy xyO11 121xy xO1y第第 1 章 集合与函数章 集合与函数(2)指数函数指数函数 y=ax (a 0,a1 为常数)(e=2.718281828459045)(3)对数函数对数函数 y=log a x (a0,a 1 为常数)例例 2 y=log10 x=lg x (常用对数)y=log e x=ln x (自然对数)例例 1 y=exxyO1y=axa 1a 1a 1第第 1 章 集合与函数章 集合与函数(4)三角函数三角函数x.yx,yx,yx,yx,yx,ycscseccottancossin21O2232 1y=sinxyxy=cosx222321xyO1第第 1 章 集合与函数章 集合与函数xOy=tan x22232yxOy=cot x22232y第第 1 章 集合与函数章 集合与函数(5)反三角函数反三角函数x,yx,yx,yarctanarccosarcsin x.ycotarc 2 1O1y=arcsinxxy22 101y=arccosxxy第第 1 章 集合与函数章 集合与函数O22yy=arctanxxO2yy=arccotxx“主值主值”(6)常值函数常值函数 y=C (C 为常数)xOyy=CC第第 1 章 集合与函数章 集合与函数二、初等函数 由基本初等函数通过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数，称为初等函数.)1(ln 2,xxy 2c