华东师范大学《高等数学》课件-第三章下.pdf

华东师范大学高等数学?二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数)!2)1(nn!)1()1(kknnn莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式及设函数1例例7.求解解:设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式,得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2182)20,2,1(k)20,3(k3例例8.设求解解:,112xy即1)1(2yx用莱布尼兹公式求 n 阶导数)1(2xx22令得由得)0()12(my)0(!)2()1(ymm0)0()2(my12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由得)0(!)2()1()0()12(ymymm4内容小结内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,51第4讲一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导第三章2一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导，注意(得到含导数的方程，可求出)yyyx是 的函数3例例1.求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数4例例2.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即5例例3.求的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导yy1xx lncos xxsinsinsin(cosln)xxyxxxx 故1二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,2若上述参数方程中二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd且则由它确定的函数可求二阶导数.3?例例4.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty练习练习:xydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意:4例例5.设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd