哈尔滨工业大学《高等数学》课件-第1、2章 (1).pdf

极限与连续 函数分类 .,.nnnxya记记1.1.数数列列（整整标标）或或函函数数为为.2.2.基基本本初初等等函函数数包含常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、包含常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与三角函数与反三角函数反三角函数.2 2 极限与连续 .3.3.初初等等函函数数函数分类 基本初等函数经过有限多次复合与四则运算得到的函数基本初等函数经过有限多次复合与四则运算得到的函数.(),()yf uug x()yf g x极限与连续 .4.4.非非初初等等函函数数函数分类 1）多数分段函数）多数分段函数.2）无穷级数）无穷级数.1,0,sgn0,0,1,0.xyxxx 例例.20=1+nnnxxxx LL例例.5.5.幂幂指指函函数数()()g xyf x 例例.极限与连续 函数分类.6.6.变变限限积积分分函函数数 d(),xaxftt 例例.xOy()yf xabx d()bxxftt dxbftt d()xayftt 对对，d,()uayftt ux 一一般般地地，d()()xxyftt ()()xf x()()xf x dyduydu dx ()fx()x ()()fxx ()()fxx 极限与连续 极坐标.1.1.直直角角坐坐标标.2.2.极极坐坐标标r ,x y ,r xOyabxa yb xOyrc 0 xyr半半径径为为 的的圆圆0 角角度度为为的的射射线线 cosxr sinyr 22rxyarctanyx 极限与连续 极坐标 cosr 表表示示例例.什什么么曲曲线线？2cosrr 解解 .22xyx221124xy极限与连续 极限概念 limnnxA 1.1.0,.nNnNxA对对使使得得当当时时，有有221limlimnnnnxxA lim()xf xA 2.2.lim()lim()xxf xf xA0lim()xxf xA 3.3.0000lim()lim()()()xxxxf xf xf xf xAxOA极限与连续 数列极限的定式 nn1lim00.(1).(1).nnaaalim10,1.(2).(2).nnnnaabb1lim0 01,lim01.(3).(3).nnnlim1.(4).(4).nnnnnnnxAyBxyABlim,lim,lim,四四.设设算算则则则则运运 nnnnnnxAx yAByBlim,lim.极限与连续 极限的性质 1.1.唯唯一一性性2.2.有有界界性性（数数列列）、局局部部有有界界（函函数数）xOAAAxOyA0 x极限与连续 极限的性质 3.3.保保序序性性nnnnnnnnxAyBBANnNyxyxBAlim,lim,1,;2.若若则则）当当时时，存存在在当当时时，）从从某某项项以以后后有有，则则常常用用形形式式：f xf x1 lim()0()0）在在趋趋近近点点附附近近f xf x2()0lim()0）在在趋趋近近点点附附近近20()lim30 xf xx例例.2()0f xx在在0 0点点附附近近 (0)f 极限与连续 值得注意的极限：xxe1.limxxelim,xxelim0 不不存存在在xx2.limarctanxxlim arctan,2 xxlim arctan2 不不存存在在极限与连续 xxx213.lim xxx21lim xx21lim1 不不存存在在1 xxx21lim xx21lim11 值得注意的极限：极限与连续 无穷小概念 1.1.无穷小无穷小 .无无穷穷大大的的倒倒数数为为无无穷穷小小2.2.无穷大无穷大 nnnxMNnNxMxn0,.设设为为一一数数列列，如如果果对对当当时时，有有这这时时称称是是 趋趋近近于于时时的的无无穷穷大大量量3.3.两者的关系两者的关系 .称称以以0 0为为极极限限的的函函数数或或数数列列为为自自变变量量趋趋向向下下的的无无穷穷小小（量量）.非非零零无无穷穷小小的的倒倒数数为为无无穷穷大大极限与连续 无穷小性质 无无穷穷多多个个无无穷穷小小的的和和、积积未未必必是是无无穷穷小小.有有界界量量与与无无穷穷小小之之积积仍仍为为性性2.2.无无穷穷小小质质.有有限限多多个个无无穷穷小小的的和和、积积仍仍为为性性1.1.无无穷穷小小质质 f xg xf xg xf xg xlim(),lim()lim()=lim()()().设设均均存存在在，则则质质3.3.无无穷穷小小性性0()()()f x g xM f x0极限与连续 无穷小的比较 lim=0 1 1）若若，则则高高阶阶称称 是是 的的无无穷穷小小,.记记o o.同同时时称称 是是 的的低低阶阶无无穷穷小小.设设，都都是是自自变变量量统统一一趋趋向向下下的的无无穷穷小小lim=0c 2 2）若若，同同阶阶则则称称 与与 是是无无穷穷小小.lim=1 3 3）若若，则则等等价价称称 与与 是是无无穷穷小小，.:记记lim=0kkc 4 4）若若，价价则则称称 是是 的的无无穷穷小小.231111,2nnnn例例如如：极限与连续 连续与间断 00000lim()()lim(+)()0.xxxf xf xf xxf xV或或000()()()f xf xf x2.2.函数间断点的分类：函数间断点的分类：1.1.连续：连续：+00()().f xf x 1 1）和和都都存存第第在在，一一类类则则此此间间断断点点为为间间断断点点+000()=()()f xf xf x 可可去去间间断断点点：00+()()f xf x 跳跳跃跃间间断断点点：.xOy0 xxOy0 x极限与连续 连续与间断.2 2）其其他他，第第二二类类间间断断点点xOyxOy1yx 1sinyx 无无穷穷间间断断点点振振荡荡间间断断点点极限与连续 连续函数的性质 初初等等函函数数在在其其有有定定义义的的邻邻域域内内是是定定理理.连连续续的的.2.2.闭区间连续函数性质闭区间连续函数性质 闭闭区区间间上上定定理理1(1(连连续续函函数数有有界界性性）.必必有有界界.闭闭区区间间上上连连续续函函数数必必定定理理2 2（最最值值原原理理）有有最最大大值值和和.最最小小值值.(),()()0,(,)()0f xa bf a f ba bf设设函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续，且且 则则至至少少存存在在一一点点，定定理理3 3（零零点点定定理理）.使使得得.1.1.连续函数性质连续函数性质 xOy极限与连续 连续函数的性质 xOy (),(),()f xa bMmf xmMa bf 如如果果在在上上连连续续，和和分分别别 的的最最大大值值、最最小小值值，则则对对任任何何满满足足中中 的的 都都存存在在一一点点，使使得得定定理理4 4（介介值值定定理理）.Mm一元微分学 导数与微分的概念 1.1.可可导导000000000()()()()limlim=()xxxxxxxf xf xf xxf xxxxdyyfxdx 000()()=()fxfxfx定定理理：存存在在2.2.可可微微00000()()()().().xxyf xxf xA xoxyf xxA xdyyf xx 称称在在点点称称为为在在点点可可的的微微微微分分一元微分学 导数与微分的关系.分分析析00()limxyfxx 可可导导若若，存存在在0=()+yfxx 0=()+y fxxx 0=()+,y fxx ox .即即可可微微 =+y A x ox，可可若若微微 =+oxyAxx ，两两边边取取极极限限0limxyAx 存存在在,.即即可可导导00()xxdyfxdx 结结论论：可可微微可可导导连连续续一元微分学 导数与微分的几何意义 Ox0 x+0 xx y0MMy dy=00()()y f xxf x =0()dy fxx ox=tanx x 一元微分学 导数运算公式.1.1.基基本本初初等等函函数数导导数数公公式式.2.2.四四则则运运算算.(),()yf xxg y3.3.反反函函数数1()()fxgy .(),()yf u ug x4.4.复复合合函函数数 ()yf g x ()()fg xg x 一元微分学 导数运算公式()=.()(xtdydydxdtdttytdxt 5.5.方方程程确确定定的的函函数数.(,)0F x y 6.6.隐隐函函数数:x方方法法 两两端端关关于于 求求导导xyFdyydxF ().(ln)g xgf xfgf 7.7.幂幂指指函函数数()()ln()()g xg xfxf xe d()()8.xxftt 变变限限积积分分函函数数 ()()fxx ()()fxx 一元微分学 高阶导数公式 ()()()nf xg x1.1.()()()()nnfxgx ()()nCf x 2.2.()()nCfx ()()()nf x g x3.3.()(0)1(1)(1)2(2)(2)(0)()nnnnnnnnfgC fgC fgC fg-莱布尼兹公式 ()()nf axb4.4.()()nna faxb ()0nC 5.5.()nx 6.6.11nnx 一元微分学 高阶导数公式 11!nnnx ().17nx ()8.nxa lnnxaa ()9.nxxee ()10.lnnx 111!nnnx (1)1nx ()sinnx 11.11.sin()2nx ()cosnx 12.12.cos()2nx 一元微分学 罗尔中值定理 微分中值定理 1.罗尔中值定理 2.拉格朗日中值定理 3.柯西中值定理 4.泰勒中值定理()fx ,.a bs t一元微分学 罗尔中值定理()f x设设函函数数满满足足：0()=(,).fxa b或或说说方方程程在在内内有有根根,a b(1)(1)在在上上连连续续；(,)a b(2)(2)在在内内可可导导；()()f af b(3)(3)，0(,),()=.a bf则则至至少少存存在在一一点点使使Oyxab()yf x 一元微分学 罗尔中值定理()()()limxf xffx 0()()()limxf xffx 0()()()fff0 0()0f 即即费费马马引引理理：00000()()()()()=.f xxf xf xfxfx设设在在的的邻邻域域内内有有定定义义，且且是是在在此此邻邻域域内内的的最最值值，又又存存在在，则则()f 不不妨妨设设是是最最大大值值一元微分学 拉格朗日中值定理()fx设设函函数数满满足足：,a b(1)(1)在在上上连连续续；(,)a b(2)(2)在在内内可可导导；()()f af b(3)(3)，0(,),()=.a bf则则至至少少存存在在一一点点使使Oyxab()yfx 罗尔中值定理 一元微分学 拉格朗日中值定理 Oyxab()yfx()fx设设函函数数满满足足：,a b(1)(1)在在上上连连续续；(,)a b(2)(2)在在内内可可导导；()()f af b(3)(3)，0(,),()=.a bf则则至至少少存存在在一一点点使使罗尔中值定理()fx设设函函数数满满足足：,a b(1)(1)在在上上连连续续；(,)a b(2)(2)在在内内可可导导；(,),()()()=.a bf bf afba 则则至至少少存存在在一一点点使使Oyxab()yfx 一元微分学 拉格朗日中值定理 xOab更更一一般般地地形形式式：()(,)fxa b设设函函数数在在内内可可导导，21 ,xxx若若记记结结论论可可以以表表示示为为11()()().fxxfxfx 2121()()()fxfxfxx 11,xxx 介介于于之之间间111()()().fxxfxfxx-微微分分近近似似计计算算公公式式1x2x12,(,),xxa b对对2121()()(,),()=.fxfxa bfxx存存在在使使一元微分学 柯西中值定理()(1),(2)(,)()()(,),()=.f xa ba bf bf aa bfba 设设函函数数满满足足：在在上上连连续续；在在内内可可导导；则则至至少少存存在在一一点点使使().()xg tyh t 设设函函数