华东师范大学《概率论与数理统计》课件-第二章下（茆诗松版）.pdf

华东师范大学统计系茆诗松、程依明、濮晓龙 研制?设1,10()1,010,xxXp xxx 其他则方差 Var(X)=()。问题：Var(X)=1/6,为什么？设 Var(X)0,令则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.()Var()XE XXY称 Y 为 X 的标准化.设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数，有下面不等式成立Var()|()|2XPXE X2Var()|()|1XPXE X 例2.3.2设 X0()!00nxxexp xnx证明(02(1)1nPXnn证明:E(X)=0d!nxxxexn=n+1E(X2)=20d!nxxxexn=(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(02(1)(|1)PXnPXEXn211(1)nn 1nn(这里,=n+1)1(2)!nn1(3)!nn由此得 Var(X)=0P(X=a)=1 2.4.1 二项分布 记为 X b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk当n=1时，称 b(1,p)为 0-1分布.试验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,所以,X b(4,0.8)思考：若 Y 为不合格品件数，Y？Y b(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服从二项分布.例2.4.1 设X b(2,p)，Y b(4,p)，已知 P(X1)=8/9，求 P(Y1).解:由 P(X1)=8/9，知 P(X=0)=1/9.由此得：P(Y1)=1 P(Y=0)所以 1/9=P(X=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.若随机变量 X 的概率分布为(),0,1,2,!kP Xkekk则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().泊松分布泊松定理定理2.4.1(1)!kkn knnnppekk (二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中成功的概率.若 npn，则记为 X h(n,N,M).(),MNMknkP XkNn超几何分布对应于不返回抽样模型：N 个产品中有 M 个不合格品，从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3 超几何分布1()(1),1,2,kP Xkppk记为 X Ge(p)X 为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.几何分布具有无记忆性，即：P(X m+n|X m)=P(X n)2.4.4 几何分布负二项分布(巴斯卡分布)1()(1),1,1kk r rP Xkppkr rr记为X Nb(r,p).X 为独立重复的伯努里试验中，“第 r 次成功”时的试验次数.(1)二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.几何分布Ge(p)的数学期望 =1/p 0-1 分布的数学期望 =p 二项分布 b(n,p)的数学期望 =np 泊松分布 P()的数学期望 =0-1 分布的方差 =p(1p)二项分布 b(n,p)的方差=np(1p)泊松分布 P()的方差=几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。记为X N(,2),2()1()exp,222xp xx其中 0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数.2.5.1 正态分布yxO正态分布的性质(1)p(x)关于 是对称的.p(x)x0在 点 p(x)取得最大值.(2)若 固定,改变,(3)若 固定,改变,小大p(x)左右移动,形状保持不变.越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭.p(x)x01(1)(0),2xx)(x1()x标准正态分布N(0,1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).(2)()1()xx (x)的计算(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.(2)x a)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a 0,则 P(|X|a)=P(aX1.96),P(|X|1.96)P(|X|1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66)=0.9515,故 b=1.66而(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故 a=1.65例2.5.2一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X N(,2),XY则 Y N(0,1).推论:若 X N(,2),则()xF x若 X N(,2),则 P(Xa)=a1a 设 X N(10,4),求 P(10X13),P(|X10|2).解:P(10X13)=(1.5)(0)=0.9332 0.5P(|X10|2)=P(8Xk=PXk,则 k=().3课堂练习(1)设 X N(,42),Y N(,52),记 p1=PX 4，p2=PY+5,则()对任意的 ，都有 p1=p2 对任意的 ，都有 p1 p2课堂练习(2)设 X N(,2),则随 的增大，概率 P|X|()单调增大 单调减少 保持不变 增减不定课堂练习(3)正态分布的 3 原则设 X N(,2),则 P(|X|)=0.6828.P(|X|2)=0.9545.P(|X|3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)230233321213333CC =20/27例2.5.52.5.3 指数分布记为 X Exp(),0()0,0 xexp xx其中 0.1,0()0,0 xexF xx特别：指数分布具有无忆性，即：P(X s+t|X s)=P(X t)2.5.4 伽玛分布记为 X Ga(,),1(),0()xp xxex其中 0，0.为伽玛函数.10()dxxex称注意点(1)(1)=1,(1/2)=(n+1)=n!(2)Ga(1,)=Exp()Ga(n/2,1/2)=2(n)2.5.5 贝塔分布记为 X Be(a,b),111()(1),01(,)abp xxxxB a b其中a 0，b 0.称1110(,)(1)dabB a bxxx为贝塔函数.注意点(1)(2)B(a,b)=B(b,a)B(a,b)=(a)(b)/(a+b)(3)Be(1,1)=U(0,1)均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2 指数分布 Exp():E(X)=1/正态分布 N(,2):E(X)=伽玛分布 Ga(,):E(X)=/贝塔分布 Be(a,b):E(X)=a/(a+b)均匀分布 U(a,b)的方差=(b a)2/12 指数分布 Exp()的方差=1/2 正态分布 N(,2)的方差=2例2.5.6 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数 n,p 的值为多少？例2.5.7 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则 E(X2)的值为多少？解：从 2.4=np,1.44=np(1p)中解得解：因为 E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4 设 E(X)=，Var(X)=2，则对任意常 数 C，必有（）.222222222(1)()()(2)()()(3)()()(4)()()E XCE XCE XCE XE XCE XE XCE X课堂练习2.6 随机变量函数的分布问题：已知 X 的分布，求 Y=g(X)的分布。例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.当 X 为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.2.6.1 离散随机变量函数的分布2.6.2 连续随机变量函数的分布定理2.6.1 设 X pX(x)，y=g(x)是 x 的严格 单调函数，记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:()|()|,()0,XYph yh yaybpy其它例2.6.1 设 X 21(),(1)Xpxx求 Y=eX 的分布.y=ex 单调可导,反函数 x=h(y)=lny,所以当 y 0 时,|)(|)()(yhyhpypXY,1)(yyhyypX1ln21(1 ln)yy由此得21,0(1 ln)()0,Yyyypy其它解：正态变量的线性不变性定理2.6.2 设 X N(,2)，则当a 0 时，Y=aX+b N(a+b,a22).由此得：若 X N(,2)，则 Y=(X)/N(0,1).对数正态分布定理2.6.3 设 X N(,2)，则 Y=e X 的服从22(ln)1()exp,0.22yp xyy伽玛分布的有用结论定理2.6.4 设 X Ga(,)，则当k 0 时，Y=kX Ga(,/k).均匀分布的有用结论 定理2.6.5 设 X FX(x)，若FX(x)为严格单调增的连 续函数，则Y=FX(X)U(0,1).矩、变异系数、分位数、中位数 k 阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.注意:1=E(X).k 阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.注意:2=Var(X).定义2.7.1定义2.7.2 为 X 的变异系数.Var()()VXCE X作用：称CV 是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.P(X xp)=F(xp)=p定义2.7.3 设 0 p 1，若 xp 满足则称 xp 为此分布 p-分位数，亦称 xp 为下侧 p-分位数.(1)因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p，所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p.(2)对离散分布不一定存在 p-分位数.(3)()()()dxpppP XxF xp xx若记 xp 为上侧 p-分位数，即则P(X xp)=p 11,ppppxxxx定义2.7.4 称 p=0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.相同点：都是反映随机变量的位置特征.不同点：含义不同.(1)N(0,1)：Z,U(2)2(n)：2()n(3)t(n)：()nt(4)F(n,m)：(,)n mF