湖南大学《高等数学》课件-第一章集合与函数.pdf

成绩构成：平时成绩20%（作业，课堂测试，考勤等）；机试成绩30%（两次机试）；期末闭卷50%第第1章章 集合与函数集合与函数全称量词全称量词 ：“对于任意的”,“对于所有的”,“对于每一个”.(Any)1.符符 号号存在量词存在量词 ：“存在”.(Exist)一、集 合 蕴蕴 涵涵 词词 ：“推得”,“充分条件”.S1 S2双蕴涵词双蕴涵词 ：“当且仅当”,“等价”,“充分必要条件”.S1 S2 第第1章章 集合与函数集合与函数2.点点 x0 邻域邻域 (1)U(x0,)=x R|xx0|=(x0 ,x0+)，称为x0的 邻域.x0 x0+x0 xx0 x0+x0 x(2)=U(x0,)x0=x R|0|xx0|0.第第1章章 集合与函数集合与函数(3)点 x0 的右邻域 U(x0+,)=x R|x0 xx0+=x0,x0+)=x R|x0 xx0+=(x0,x0+),(0 xU(4)点 x0 的左邻域 U(x0,)=x R|x0 x x0=(x0,x0 =x R|x0 x x0=(x0,x0),(0 xUx0 x0+x0 xx0 x0+x0 x第第1章章 集合与函数集合与函数3.集合的关系和运算集合的关系和运算 (1)包含：xA xB.A B；(2)相等：A B 且 B A.A=B；称 A 是 B 的子集.(3)余：A X，AC=x|xX 且 xA；(4)并：AB=x|xA 或 xB；(5)交：AB=x|xA 且 xB；(6)差：AB =x|xA 且 x B；(7)直积：AB =(x,y)|xA 且 yB；第第1章章 集合与函数集合与函数运算律运算律结合律：分配律：幂等律：(AB)C=A(BC);(AB)C=A(BC);A(BC)=(AB)(AC);A(BC)=(AB)(AC);AB=BA;AB=BA;交换律：对偶律(De Morgan)：AA=A;AA=A;吸收律：A=A;A=;(AB)C=ACBC;(AB)C=ACBC.第第1章章 集合与函数集合与函数定义定义1 1 设 A,B是两个非空集,若存在确定的规则 f,使 xA,按照 f,都有唯一确定的 yB与之对应,则称 f 是从 A 到 B 的一个映射映射.记作 f:AB,或 f：x|y.二、映二、映 射射xyABf 称 y=f(x)为 x 在 f 下的像像,x为 y 在 f 下的原像原像.第第1章章 集合与函数集合与函数。定义定义2 2 设 f:AB.若 x1,x2 A,当 x1 x2时,f(x1)f(x2),则称 f 是单射单射.A Bf例例2 设 A=N，B=Q，f：x|x+1，则 f 是一个单射.例例1 设 A=R,B=R,f：x|x3，则 f 是一个单射.第第1章章 集合与函数集合与函数定义定义3 3 设 f:AB,若 f(A)=B，则称 f 是满射满射.例例3 设 A=R,B=1,1,f：x|sin x，。A Bf则 f 是一个满射(但不是单射).例例4 设 A=R,B=0,+),f:x|x2,则 f 是一个满射(但不是单射).第第1章章 集合与函数集合与函数定义定义4 4 若映射 f:AB 既是单射，又是满射，则称 f 是一个 双射，也称 f 是一一对应一一对应.。A Bf例例5 设 A=R，B=R，f:x|x3 则 f 是一个一一对应.例例6 设 A=,B=1,1,f：x|sin x，2,2则 f 是一个一一对应.第第1章章 集合与函数集合与函数一、函数的概念一、函数的概念 定义定义1 1.若 f 是非空实数集 AR 到 R 的映射：f ：AR，则称 f 为定义在 A 上的一元一元(实数值)函数函数.2 2 函数及其基本性质函数及其基本性质A 称为 f 的定义域定义域，记为D(f);x A，其像 y=f(x)称为 x 的函数值函数值;f(A)=y|y=f(x),xA 称为 f 的值域值域,也记为R(f).第第1章章 集合与函数集合与函数 在平面直角坐标系xOy中，点集 C=(x,y)|y=f(x),xD(f)称为 f 的图形图形.yyOy=f(x)(x,y)xR(f)D(f)x 习惯上常将函数记为 y=f(x)，x A，并将 x，y 看作变量，称 x 为自变量，y 为因变量.第第1章章 集合与函数集合与函数例例1 上证指数和深证成分指数上证指数和深证成分指数第第1章章 集合与函数集合与函数例例2 示波器中的示波器中的“锯齿波锯齿波”波形波形.3010,20123100,101ttttu010301ut例例3 绝对值函数绝对值函数.|,|xxy0,0,|xxxxxyy=|x|O11xy第第1章章 集合与函数集合与函数例例4.符号函数符号函数 .0,1,0,0,0,1sgnxxxxyOyx11.sgn|xxx且有第第1章章 集合与函数集合与函数例例5.取整函数取整函数f：x 不超过x的最大整数例如：当 x=3.24时,x=3;其中x表示不超过x的最大整数.当 x=1.74时,x=1;当 x=4.4时,x=5.y-1123-1-3y=xxO1234-2-2-3-4.,xxy例例6.狄利克莱狄利克莱(Dirichlet)函数函数.,0,1)(为无理数当为有理数当xxxDy第第1章章 集合与函数集合与函数二、函数的基本特性二、函数的基本特性1.单调性单调性 (1)若 x1,x2I 且 x1 x2,都有 f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2),则称 f(x)在 I 上单调增加单调增加(严格单调增加)；(2)若 x1,x2I 且 x10,使 xI 都有|f(x)|M,则称 f(x)在 I 上是有界的.这时 M 称为 f(x)在 I 上的一个“界”.否则称 f(x)在 I 上是无界的.|f(x)|M M f(x)M 若 f(x)在 I 上有界，则它在 I 上的图形介于两平行直线 y=M 和 y=M 之间.xyabMMOy=f(x)第第1章章 集合与函数集合与函数例例10 y=x3 在1,1 上有界：x 1,1,|x3|1.例例11xy1在 ,+)内有界：21xy1111y=x3O在(0,)内无界.21yxOxy12221 1 x2；x1,+),第第1章章 集合与函数集合与函数若M1,使xI,有 f(x)M1,则称f(x)在 I 上有上界上界.若M2,使xI,有 f(x)M2,则称f(x)在 I 上有下界下界.xyO abM1xyO abM2f(x)在 I 上有界 f(x)在 I 上既有上界,又有下界.第第1章章 集合与函数集合与函数三、函数的运算三、函数的运算1.设函数 y=f(x),xA 和 y=g(x),x B.若 A=B,且 xA,都有 f(x)=g(x),则称 f(x)和 g(x)相等.函数的基本要素：定义域 对应规则 值 域 第第1章章 集合与函数集合与函数2.设函数 y=f(x),xA 和 y=g(x),x B，且AB .则可定 义 f 和 g 的和、差、积、商的运算如下.0)(|,)()()(g(xgxBAxxgxfxf(iv)(i)(f+g)(x)=f(x)+g(x)，x A B；(iii)(f g)(x)=f(x)g(x)，x A B；(ii)(f g)(x)=f(x)g(x)，x A B；第第1章章 集合与函数集合与函数 设 u=(x),xA,又 y=f(u),uB.若 A1A,且 A1,使得(A1)B,则由 f 和 确定的 A1 上的函数 y=(f 。)(x),xA1称为 f 与 的复合函数复合函数.常将其记为y=f(x).3.复合函数复合函数 (A)xA1AuByf(B)ff 。第第1章章 集合与函数集合与函数例例14.y=u2,u=sinx 则 y=sin2x例例13.y=sinu,u=x2 则 y=sin(x2)例例15.,uy u=1x2则21xy例例16.y=u2,u=cosv,2xv 则2cos2xy 例例17.y=lg(u2),u=sinx y=lg(sinx 2)无意义，故不能复合第第1章章 集合与函数集合与函数 设函数 y=f(x),xA 是 A到 f(A)的一一对应.这时 y f(A),唯一的xA 使 f(x)=y，从而确定了 f(A)到 A 的一个函数，称之为 f 的反函数，记作 f1：f(A)A，也常记作 x=f1(y).4.反函数反函数易知：f 1 亦为 f(A)到 A 上的一一对应.从复合函数的角度看，函数 f 与反函数 f 1满足 f 1(f(x)=x,x A，f(f 1(y)=y,y f(A).第第1章章 集合与函数集合与函数y=f 1(x)，x f(A),y A习惯上用 x 表示自变量,y表示因变量,故约定也是 y=f(x)的反函数.例例18.y=3x+1,xR的反函数)1(31xy,xRy=10 x,xR 的反函数 y=lg x,x(0,+)例例19.y=x2,x0,+)的反函数 y=,x0,+)xy=x2,x(,0 的反函数 y=,x0,+)x而 y=x2,xR 不存在反函数.第第1章章 集合与函数集合与函数y=f(x)y=xxOy=f1(x)y 将 y=f(x)和其反函数 y=f 1(x)的图形画在同一个坐标平面上,则这两个图形关于直线 y=x 对称.定理定理3 若 y=f(x)在区间 A 上严格单调增加(减少)，则它在f(A)上必存在反函数 x=f 1(y)，且 x=f 1(y)在 f(A)上也严格单调增加(减少).第第1章章 集合与函数集合与函数3 3 初初 等等 函函 数数一、基本初等函数一、基本初等函数y=xO11xyy=x2O1xy1O1xy=x3y1(1)幂函数幂函数 y=x (为常数)第第1章章 集合与函数集合与函数O1xy1xy Oyxxy11132xy xyO11 121xy xO1y第第1章章 集合与函数集合与函数(2)指数函数指数函数 y=ax (a 0,a1 为常数)(e=2.718281828459045)(3)对数函数对数函数 y=log a x (a0,a 1为常数)例例2 y=log10 x=lg x (常用对数)y=log e x=ln x (自然对数)例例1 y=exxyO1y=axa 1a 1a 1第第1章章 集合与函数集合与函数(4)三角函数三角函数x.yx,yx,yx,yx,yx,ycscseccottancossin21O22321y=sinxyxy=cosx222321xyO1第第1章章 集合与函数集合与函数xOy=tan x22232yxOy=cot x22232y第第1章章 集合与函数集合与函数(5)反三角函数反三角函数x,yx,yx,yarctanarccosarcsin x.ycotarc 21O1y=arcsinxxy22101y=arccosxxy第第1章章 集合与函数集合与函数O22yy=arctanxxO2yy=arccotxx“主值主值”(6)常值函数常值函数 y=C (C为常数)xOyy=CC第第1章章 集合与函数集合与函数二、初等函数二、初等函数 由基本初等函数通过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数，称为初等函数.)1(ln 2,xxy 2cos 2,xy e2221 xy,)cos1(sin1xxy 12,xy例例:第第1章章 集合与函数集合与函数但也有很多函数不是“初等”的.例如：符号函数 .0,1,0,0,0,1sgnxxxxy取整函数.,xxy狄利克莱函数.,0,1)(为无理数当为有理数当xxxDy第第1章章 集合与函数集合与函数例例7.将下列函数“分解”成基本初等函数.(1)12,xyu=1 x2构成.由 y=,u(2)1(ln 2,xxy由 y=ln u,u=x+,vv=1+x2 构成.(3)2cos 2,xy 由y=u2,u=cosv,.2构成xv 第第1章章 集合与函数集合与函数三、双曲函数三、双曲函数;2eesh xxx双曲正弦函数;2eech xxx双曲余弦函数;eeeesh ch cth xxxxxxx双曲余切函数;eeeech sh th xxxxxxx双曲正切函数第第1章章 集合与