湖南大学《高等数学》课件-第8章.pdf

主 讲：罗 汉主 讲：罗 汉第 第 第 第 8 8 章章章章无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 数数数数第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数1 1 常数项级数的概念和性质 1 1 1 1、无穷级数、无穷级数、无穷级数、无穷级数对于序列 un，nnnuuuu211称为一个无穷级数无穷级数，简称级数级数；其中 un称为该级数的一般项一般项（或通项通项）.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2 2 2 2、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性（部分和（部分和）nnuuuS21“部分和”序列 Sn：S1=u1,S2=u1+u2,Sn=u1+u2+un,)1(211nnnuuuu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定义 定义 1：若对于 Sn 有 ，SSnnlim则称级数(1)收敛收敛，收敛于 S；并称 S 为级数(1)的和和.nnnuuuuS211记若 Sn 没有极限，则称级数(1)发散发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 1.讨论级数nnn211的敛散性.例 2.讨论等比级数等比级数(几何级数)的敛散性.)0(1211aaqaqaqaaqnnn结论结论:公比 q：|q|0 为常数，N为自然数.nunv(1)若 收敛，且 un cvn(n N)，则 收敛；nvnu(2)若 发散，且 un cvn(n N)，则 发散.nunv第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 1.讨论 p 级数级数（广义调和级数）的敛散性.pppnpnn13121111结论：结论：p 级数当 p1 时收敛；p1 时发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 2.判别下列级数的敛散性：11)1(nnn1131)2(nn12)1(1)3(nnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数推论 推论 2.(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)对于正项级数 和 ，若 ，则nunvnnnvulim(1)当 0 +时，与 同敛散；nvnu(2)当=0 时，收敛 收敛；nvnu(3)当=+时，发散 发散.nvnu例 3.判别级数 ；的敛散性.12543nnn11sinnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 3.(DAlembert 比值判别法)对于正项级数 ，nu若nnnuu1lim则 1(包括=+)时级数发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 4.判别级数 ；的敛散性.1!nnnn1123nnn注意到定理 3 中=1 时无法判定级数的敛散.p 级数不论 p 为何值均有11limlim1pnnnnnnuu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 4.(Cauchy 根值判别法)对于正项级数 ，nu若nnnulim则 1(包括=+)时级数发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数同样定理 4 中 =1 时也无法判定级数的敛散.p 级数不论 p 为何值均有11lim1limlimpnnnpnnnnnnu例 5.证明级数 收敛，并估计以部分和 Sn近似代替S 时所产生的误差.11nnn主 讲：罗 汉主 讲：罗 汉第 第 第 第 8 8 章章章章无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 数数数数第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2 2 2 2、交错级数的敛散性判别法、交错级数的敛散性判别法、交错级数的敛散性判别法、交错级数的敛散性判别法，nnnnnuuuuuu1432111)1()1(un 0)定理 定理 5.(Leibniz 判别法)若 满足(1)un un+1 (n=1,2,)，(2)，0limnnunnu1)1(nnu1)1(则 收敛；其和 S u1；且对余项 rn 有|rn|un+1.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 6.判别级数 的敛散性.111)1(nnn满足定理 5 条件(1)、(2)的交错级数称为 Leibniz 型的.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数3 3 3 3、任意项级数的敛散性判别、任意项级数的敛散性判别、任意项级数的敛散性判别、任意项级数的敛散性判别法法法法)(211任意实数，nnnnuuuuu各项取绝对值，得|211nnnuuuu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 6.若 收敛，则 也收敛.|nunu定义定义 1.若 收敛，且 也收敛，则称 绝绝对收敛对收敛.|nununu对于正项级数来说，若收敛则必是绝对收敛.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 7.讨论级数 的收敛性.11!1)1(nnn例 8.讨论级数 (为常数)的收敛性.12sinnnn例 9.讨论级数 的收敛性.111)1(nnnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 10.讨论级数 的绝对收敛性.111)1(nnn定义定义 2.若 收敛，而 发散，则称 条条件件收敛收敛.|nununu例 11.讨论级数 的收敛性.1110)1(nnnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 7.设 ，若 (或 )，则|lim1nnnuununnnu|lim(1)当 1(包括=+)时，发散.nu例 12.判别级数 (0，p 0)的敛散性.1)(npnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数3 3 幂级数及其收敛区间1.1.1.1.函数项级数函数项级数函数项级数函数项级数)()()()(211xuxuxuxunnn任取 x0I10)(nnxu收敛：发散：给定 un(x),xI,称 x0为收敛点.收敛域收敛域称 x0为发散点.发散域发散域第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数在收敛域 D 内，xD，有称 S(x)为和函数和函数，且有)()(limxSxSnn0)()(lim)(limxSxSxrnnnn（其中),()(1xuxSnkkn)()()()()(211xuxuxuxuxSnnn及例例 1.nnnxxxx201等比级数主 讲：罗 汉主 讲：罗 汉第 第 第 第 8 8 章章章章无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 数数数数第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2.2.2.2.幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000当 x0=0 时：nnnnnxaxaxaaxa22100幂级数幂级数：其中 x0,a0,a1,an均为常数.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数(1)幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径定理定理 1.(Abel)若幂级数nnxa在点 x=x0(0)处收敛，则它在|x|x0|也发散.若 在点 x=x0 处发散，则第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数|x|x0|x0|x|x0|x|x0|x(,|x0|)(|x0|,+)()()()(OxPPrr第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数 的收敛域：情形 1：r 0，|x|r 时发散;情形 2：x R 绝对收敛;情形 3：仅在 x=0 一点收敛.称 r 为 anxn 的收敛半收敛半径径.幂级数 anxn 的收敛域总是一个区间，称为收敛区间收敛区间.nnxa第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数(2)收敛半径 收敛半径 r 的求法的求法定理定理 2.对 anxn,若 ，则|lim1nnnaa1r(这里=0 时,r=+;=+时,r=0).例例 2.求112)1(nnnnnx的收敛半径和收敛区间.例例 3.求1!nnnx的收敛半径.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例例 4.求1nnnxn的收敛半径.例例 5.求12)1(nnnx的收敛区间.例例 6.求0 22)!()!2(nnxnn的收敛半径.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理定理 3.对 anxn,若 ，则nnna|lim1r(这里=0 时,r=+;=+时,r=0).第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数3.3.幂级数的运算性质幂级数的运算性质(1)幂级数的和、差、积、商仍然是幂级数幂级数的和、差、积、商仍然是幂级数.设),(,011xSrxannn和函数收敛半径),(,022xSrxbnnn和函数收敛半径,)(000nnnnnnnnnnxbaxbxa,min 21rrr).()()(21xSxSxS第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数0011000)()()(nnnnnnnnnnnxbababaxbxa,)(00 nnnkknkxba,min21rrr)()()(21xSxSxS第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数000nnnnnnnnnxcxbxa其中 cn可由 解得 0nkknkncba,min 21rrr)()()(21xSxSxS第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数(2)幂级数的和函数 幂级数的和函数 S(x)是收敛区间内的连续函是收敛区间内的连续函数数.(3)幂级数在收敛区间内可逐项求导幂级数在收敛区间内可逐项求导,且收敛半径且收敛半径不变不变.设)(,0 xSrxannn和函数收敛半径,则00)()(nnnnnnxaxa11nnnxna)(xS第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数(4)幂级数在收敛区间内可逐项积分，且收敛半径幂级数在收敛区间内可逐项积分，且收敛半径不变不变.,0nnnxa收敛半径 r,和函数 S(x),则 xxaxxanxnnxnnndd)(0000 101nnnxnaxxxS0d)(设第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例例 7.在(1,1)内求11nnnx的和函数.例例 8.求级数1)21(nnn的和.主 讲：罗 汉主 讲：罗 汉第 第 第 第 8 8 章章章章无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 数数数数第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数.1112nxxxx(|x|1)1.1.函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式4 4 函数展开成函数展开成幂级数一般情形下f(x)=a0+a1(x x0)+a2(x x0)2+an(x x0)n+x U(x0)?第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数首先假定 f(x)在 U(x0)内能够展开成幂级数，即nnxxaxxaxxaaxf)()()()(0202010则200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)(000)()(!)(nnnxxnxfTaylor 级数展开式级数展开式第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理定理 1.若 f(x)在 U(x0)内能够展开为幂级数an(xx0)n，则 f(x)在 U(x0)内具有任意阶导数，且!)(0)(nxfann(n=0,1,2,)当 x=0 时，则nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2Maclaurin 级数展开式级数展开式第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数记nkkknxxkxfxS000)(1)(!)()()()()(1xSxfxRnn)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnnkkk10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在 x0与 x 之间)我们有其中第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数0)(limxRnn定理定理 2.设 f(x)在 U(x0)内存在任意阶导数.则 f(x)在 U(x0)内能够展开成 Taylor 级数的充分必要条件是第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2.2.一些初等函数的幂级数展开式一些初等函数的幂级数展开式(1)步骤步骤：1 求出 f(n)(x0)(n=0,1,2,)，得级数nnxxnxf)(!)(00)(2 求.)(!)(00)(rxxnxfnn的收敛半径3 在(x0 r,x0+r)