国防科技大学《高等数学》课件-第7章.pdf

第27讲 不定积分的概念与性质问题的引入曲线方程?=?(?)位移方程?=?(?)瞬时速度?(?)=?(?)曲线斜率?(?)=?(?)问题：已知?(?)=?(?)或者 d?=?d?，其中?(?)为已知，求未知函数?(?).求导求导?第27讲 不定积分的概念与性质主要内容原函数不定积分的概念与性质不定积分基本公式不定积分的简单应用第27讲 不定积分的概念与性质原函数一个质量为?的质点,在变力?=?sin?的作用下沿直线运动，试求质点的运动速度?.根据牛顿第二定律,有?=?=?sin?.因此问题转化为:已知?(?)=?sin?,求?=?.定义1 若在区间?上定义的两个函数?(?)及?(?)满足?(?)=?(?)或 d?(?)=?(?)d?,则称?(?)为?(?)在区间?上的一个原函数.第27讲 不定积分的概念与性质原函数原函数族如果?(?)是?(?)的一个原函数，则?+?(其中?为任意常数)也是?(?)的一个原函数.ln?=1?0ln?是 0,+上的一个原函数.1?cos?=?sin?cos?是的一个原函数.?sin?例如，第27讲 不定积分的概念与性质原函数原函数存在定理：若函数?(?)在区间?上连续，则?(?)在区间?上存在原函数.定义2 函数?(?)在区间?上所有原函数的一般表达式称为?(?)在?上的不定积分，记作?(?)d?其中符号称为积分号，函数?(?)称为被积函数，?(?)d?称为被积表达式第27讲 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质若?=?(?)，则?(?)d?=?+?(其中?称为积分常数或任意常数)例如：?d?=?+?2?d?=?+?1?d?=ln?+?,?0?1?d?=ln|?|+?,?0第27讲 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的几何意义?(?)的原函数?(?)的图形称为?(?)的积分曲线.的图形是由积分曲线?(?)d?+?构成的积分曲线族.?=?(?)?=?(?)第27讲 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分基本性质性质1 (1)或()d()f xxf xd()d()d;f xxf xx(2)或.()d()fxxf xCd()()f xf xC第27讲 不定积分的概念与性质不定积分基本公式基本积分公式(1)?d?=3?d?=(?1为常数)2?1?d?=(?0)(4)?cos?d?=(5)?sin?d?=(6)?sec?d?=(7)?csc?d?=(8)?d?=(9)?d?=?+?ln|?|+?1?+1?+?sin?+?cos?+?tan?+?cot?+?+?ln?+?第27讲 不定积分的概念与性质不定积分基本公式例1 求幂函数的不定积分：?d?;?1?d?.(1)(2)例2 求指数函数的不定积分：?4?/9?d?;?2?3?d?.(1)(2)第27讲 不定积分的概念与性质不定积分基本公式性质2 设函数?(?)与?(?)的原函数存在，则()()d()d()d.f xg xxf xxg xx其中?和?为常数特别，有()()d()d()d,f xg xxf xxg xx()d()d.f xxf xx不定积分的线性运算法则第27讲 不定积分的概念与性质不定积分基本公式例3 利用不定积分的线性运算法则计算下列不定积分：(1)?+1?d?(2)?+1?d?例4 利用三角公式变形，计算下列不定积分：(1)?11+cos2?d?(2)?tan?d?第27讲 不定积分的概念与性质不定积分的简单应用d?d?=?(?)未知已知?=?(?)d?=?(?)+?(?)=?微分方程:初始条件:微分方程的通解?=?(?)?=?(?)微分方程的特解第27讲 不定积分的概念与性质不定积分的简单应用例5 已知曲线在点?,?处的斜率为 sin?cos?,且曲线过点?,0，求该曲线的方程123456-224?=cos?sin?1第27讲 不定积分的概念与性质不定积分的简单应用例6 汽车在高速公路上以每小时90km/h的速度匀速行驶，在400m处看见前方出现了事故立即刹车求汽车以匀加速度刹车时需要多长时间才能在离事故现场25米处停车？25m?=90km/h400m第28讲 函数的极值及最优化应用问题的引入产品最多、用料最省、成本最低、利润最高第28讲 函数的极值及最优化应用主要内容极值的概念可微函数极值的必要条件极值判定的一个充分条件求最大值与最小值第28讲 函数的极值及最优化应用极值的概念设函数定义在集合上，若存在上的点使得对上的一切成立，则称为函数在上的最大值（亦称在上取得最大值），记为最大值与最小值类似可以定义在集合上的最小值，记为第28讲 函数的极值及最优化应用极值的概念在上的 最大值为?，最小值为?第28讲 函数的极值及最优化应用极值的概念定义 1 设函数在?的某邻域?内有定义，如果对于该邻域内异于?的点,恒有?,那么就称?是函数的一个极大值，?称为函数的极大值点.类似可定义函数的极小值和极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.?第28讲 函数的极值及最优化应用极值的概念极大值点极小值点极值是一个局部概念，最值是一个全局概念第28讲 函数的极值及最优化应用极值的概念-11234-2020例1观察函数在上的图形，讨论函数的极值和最值.极小值极大值极小值最大值最小值第28讲 函数的极值及最优化应用极值的概念例2根据函数的图形，找出和在内的极值点.123?10.511.521 1-2-1.0-0.50.51.0-1不存在极值点g存在极小值点不可导点第28讲 函数的极值及最优化应用可微函数极值的必要条件定理 1设函数在?点处可导，且存在?的邻域?,使得当?时,恒有?(或?),那么?费马引理?导数等于零的点称为函数的驻点,或稳定点.第28讲 函数的极值及最优化应用可微函数极值的必要条件费马法Pierre de Fermat16011665我从费马的切线作法中得到这种方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来用于抽象方程。牛顿将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分成两个四次幂，或者一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂，这是不可能的。关于此，我发现一种美妙的方法，但这里的页边太窄写不下。费马在丢翻图算术上的批注第28讲 函数的极值及最优化应用可微函数极值的必要条件怀尔斯英(Andrew Wiles)第28讲 函数的极值及最优化应用可微函数极值的必要条件注：对于可微函数，极值点一定是驻点.几何意义：函数的图形在极值点处对应水平切线但驻点不一定是极值点.例如，函数?.处的导数等于0，曲线在原点处有水平切线，但不是极值点.不可导点也可能是极值点第28讲 函数的极值及最优化应用极值判定的一个充分条件定理 设函数在?的某邻域?内连续，（1）如果在区 间?递增,在?递减，那么在?处取得极大值；xOy0 x第28讲 函数的极值及最优化应用极值判定的一个充分条件定理 设函数在?的某邻域?内连续（2）如果在区间?递减,在?递增，那么在?处取得极小值；xOy0 x第28讲 函数的极值及最优化应用极值判定的一个充分条件定理 设函数在?的某邻域?内连续（3）如果在区间?内保持递增(或递减),那么在?处不取极值.xOy0 x第28讲 函数的极值及最优化应用极值判定的一个充分条件问题：极值点附近是否一定有单调性？0.5-0.5-11.00.51.01.5函数在取得极小值第28讲 函数的极值及最优化应用极值判定的一个充分条件-0.100.05-0.050.100.020.040.060.080.10问题：极值点附近是否一定有单调性？函数在取得极小值第28讲 函数的极值及最优化应用求最大值与最小值设函数在闭区间内连续,求闭区间上连续函数最值的一般步骤为:(1)求出在区间内的所有驻点和不可导点:?,?,?;(2)求在?,?,?及区间端点的函数值:?(3)比较各点函数值的大小,最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.闭区间上连续函数最值的求法第28讲 函数的极值及最优化应用求最大值与最小值例3求?在区间上的最大值和最小值.?1?1?222121001(),(),(),().ffffeee第28讲 函数的极值及最优化应用求最大值与最小值单峰函数的最大值与单谷函数的最小值定义 2 设函数在内连续，如果存在一点?,当?时,严格单调递增(减)，当?时,严格单调递减(增)，则称为单峰(谷)函数.xOy0 x?单峰Oy0 x?单谷第28讲 函数的极值及最优化应用求最大值与最小值例4用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来，如果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输油管的铺设成本为每公里30万元.问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？ACDB炼油厂油井12km20km50万/km30万/km第28讲 函数的极值及最优化应用求最大值与最小值目标函数：?决策变量 的范围：问题归结为:当 在区间0,20内取何值时，函数的值最小？ACDB炼油厂油井12km20km50万/km30万/km第28讲 函数的极值及最优化应用求最大值与最小值例5一个边长为的正方形铁片，在四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖长方体容器,问当取何尺寸时，才能使容器的容积最大？xaxOy?2?6第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理问题的引入一位驾驶员在某高速公路出口处领到一张超速行驶罚单.理由是从七点进入高速到九点到达出口行驶了240km，而该路段的限速为110km/h.试问该罚单是否合理？平均速度问题：是否存在某一时刻的瞬时速度恰好是平均速度？第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理问题的引入北京某过街天桥上的公式路程函数第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理主要内容罗尔定理拉格朗日中值定理微分中值定理应用第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理罗尔定理定理1(罗尔定理)如果函数满足下列条件:(1)在上连续；(2)在内可导；(3)，那么至少存在一点，使得?xyab?注:定理条件只是充分的，罗尔定理的三个假设条件缺一不可.第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理罗尔定理xyab?xyab罗尔定理拉格朗日中值定理第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理2(拉格朗日中值定理)如果函数满足下列条件：(1)在上连续；(2)在内可导；那么至少存在一点，使得?x?xyab第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的其他形式(1)拉格朗日中值公式等价于上式等价于(2)在()或()上应用拉格朗日中值定理,有第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理注:公式?给出了自变量取得有限增量时，函数增量的准确表达式.拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理.?有限增量公式函数微分的定义第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理微分中值定理应用例1设在内可导，且?恒为零，证明在内恒为常数.例2 证明不等式?ln?1?1?第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理微分中值定理应用例3证明方程?只有惟一实根.?0.51?1第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理微分中值定理应用例4设在上连续，在内二阶可导，又若的图形与联结两点的弦交于点.证明在内至少存在一点，使得?第30讲 柯西中值定理与洛必达法则问题的引入不定式极限的计算型不定式极限型不定式极限?第30讲 柯西中值定理与洛必达法则主要内容柯西中值定理洛必达法则第30讲 柯西中值定理与洛必达法则柯西中值定理如果函数在上连续，在内可导，那么至少存在一点，使得?考虑拉格朗日中值定理的参数方程情形.?:?拉格朗日中值定理第30讲 柯西中值定理与洛必达法则柯西中值定理?:?柯西中值定理拉格朗日中值定理第30讲 柯西中值定理与洛必达法则柯西中值定理定理1(柯西中值定理)如果函数和满足(1)在闭区间上连续;(2)在区间内可导,且?那么至少存在一点,使?例1设()在上连续，在上可导，证明：至少存在一点，使?第30讲 柯西中值定理与洛必达法则洛必达法则定理 2设函数在区间内满足:(1)?；(2)在内可导，且?；(3)?存在(或?)；则?(或?).求?型不定式极限的洛必达