大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第3章.pdf

第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布,211NX二维随机变量：二维随机变量：1.小学生身高小学生身高健康状况健康状况(身高，体重身高，体重)分布：分布：体重体重YX,222NY2.将一枚骰子掷两次看成将一枚骰子掷两次看成 一个试一个试验，样本点如图。验，样本点如图。为二为二维随机变量维随机变量21，XX3613613613613613616361361361361361361536136136136136136143613613613613613613361361361361361361236136136136136136116543212X1X3613613613613613616361361361361361361536136136136136136143613613613613613613361361361361361361236136136136136136116543212X1X21XX，616161616161654321Xn维随机变量：维随机变量：1.成年人健康状况的成年人健康状况的 n 个指标个指标（身高，体重，血压，（身高，体重，血压，.）用）用n个随机变量表示，个随机变量表示，称为称为 n 维随机变量。维随机变量。2.将一枚掷骰子掷将一枚掷骰子掷n次次 构成构成n维随机变量。维随机变量。nXXX21,nXXX21,nXXX21,nXXX21,二维随机变量的一切结果都可以推广到二维随机变量的一切结果都可以推广到 n 维维。是一个样本，而不是是一个样本，而不是n个样本。个样本。nXXX21,：S(e)是样本空间，是样本空间，X(e),Y(e)是定义在是定义在S(e)上的两个随机变量，上的两个随机变量，则称有序数组（则称有序数组（X(e),Y(e)）为二维随机变量，简记为（）为二维随机变量，简记为（X,Y）。同样）。同样我们可以定义我们可以定义n 维随机变量维随机变量 。nXXX21,一一.二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布二二.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数三三.二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布四四.随机变量的独立性随机变量的独立性五五.二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 .21yy.,21xx,.2,1,jipyYxXPyYxXPijjiji 定义：定义：X,Y 为两个离散型随机变量，称（为两个离散型随机变量，称（X,Y）为二维离散型随）为二维离散型随 机变量机变量。为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列。的联合分布列。定义：设定义：设(X,Y)为二维离散型随机变量，且为二维离散型随机变量，且 X 的所有可能取值的所有可能取值 为为 Y 的可能取值为的可能取值为 ，称，称 例例2.某球队的队服，某球队的队服，X 表示颜色，表示颜色，Y 表示款式，表示款式，(X,Y)为二维为二维 离散型随机变量。离散型随机变量。1 ii11ijijp；0 iijp 1100251001810020短2100121001010015长1黄3兰2红1yyxxxXY361361361361361361636136136136136136153613613613613613614361361361361361361336136136136136136123613613613613613611654321YX,.62,1,361,jijYiXP性质：例例1.掷两次骰子看成一个试验，掷两次骰子看成一个试验，用用(X,Y)表示出现的点数。表示出现的点数。.2,1,.11jppyYxXPyYPjiijijijixXPXY100371002810035100631003737.028.035.0321pxxxX色63.037.021pyyY款 110025100181002021001210010100151321短长黄兰红yyxxx1,jjiyYxXP.2,1.1ippijij.2,1.,ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji.2,1.,jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij 137.028.035.063.025.018.02.037.012.01.015.021321短长黄兰红yyxxxXY1321yYxXPixxxX28.018.028.01.0221xXyYPjyyY37.012.037.01.037.015.03;2,1,0;3,2,1,0nmnm3210210 0 4YXP nYmXP,1 解：000241401614120112141811201XY)1(210 XnYPY1211251251211,10,0YXPYXP12031411201,310CmC5nC2mnC331252411254112581 3 2例例3.10件产品，件产品，5件一等品，件一等品，3件二等品，件二等品，2件次品，从中任取件次品，从中任取3件，用件，用 X表示一等品的个数，表示一等品的个数，Y 表示次品的个数，求表示次品的个数，求(1)(X,Y)的联合分布列。的联合分布列。(2)X 的边界分布列。的边界分布列。(3)在在 X=1的条件下，的条件下，Y 的分布列，的分布列，(4)P(X-Y=0)。2,1 ,1mmnmXnYP2,1 ，1mpqm mXP 2 nYmXP,1 解：nm21 ,1122mnmnpqpqqp nYP 4 mXnYP 33,2n ,22nqp,1,2,1mnm122mnnqpmXPnYmXP,1122nmnqp221nqpn例例4.某人射击命中率为某人射击命中率为 p，用，用 X 表示首次命中所需要的射击次数，表示首次命中所需要的射击次数，Y 表表示示 第二次命中所需要的射击次数。求第二次命中所需要的射击次数。求(1)(X,Y)的联合分布列，的联合分布列，(2)X 的边际分布列，的边际分布列，(3)qqpm1212 PX 解：解：(1)nXmYP nXmYPnXPmYnXP,2enn!1,0,1,0nnmmnmmnppC1 mnmmnqpCen!1mnmmnqpC例例5：设某班车起点站上客人数：设某班车起点站上客人数 ，每位乘客中途下车的概率，每位乘客中途下车的概率 为为 p(0p0,y0知，知，的取值的取值 XY0zxy 时，当0z时，当0z0zXYZ 2；02zFZ zZPzFZ22zXYPzXYPdydxezxyx 00dxeezxx01zzdxeexzx0 0z 0 0 221zzzFzfZZ，则01 33ZZ，有XZZY331 YXYZ3 .3 由时，当10 z时。当0z，的取值：得10 3 zZ；03zFZ zZPzFZ33zYXYPXzzYP1XY0 xzzy1dydxexzzyx 010zzz1 其他 0 10 -1231zzzzFzfZZ,0,0,yxYX的取值而的密度函数。求：,21XYZYXZ其他 ,0,41,Dyxyxf，例20,20,.2xyyxDXY2020z0z时，当2z，的取值范围为22z YXZyx120,20 1知由解：01zFZ时，当02z zYXPzFZ1，当20 z2281zzXYPdydxzzx 202-41 zYXPzFZ1zXYPdydxzzx 2-041122811z 其他 02z0 4202 421zzzzfZzXY(2)由由 0 x2,0y2 知知 的取值范围为：的取值范围为：2XYZ XzYPzXYP40 zXY202时，当0z zZPzFZ22；02zFZ时，当40 zxzy dydxzxz 222411dxxzz2224112ln2ln422211zzz2ln2ln14zz 0z 0 0 4ln2ln221zzzFzfZZ(3)由由 0 x2,0y2 知知 的取值范围为：的取值范围为：YXZ340 z时，当0z；03zFZ时，当20 z zZPzFZ33zYXPXzYPXY2022z2z281zdydxzxz 0041时，当42 z zZPzFZ33442112z 其他 04z2 4120 4z33zzzFzfZZ均匀分布不具有可加性XzYXzYP 例例3.设设(X,Y)服从区域服从区域 上的二维均匀分布，上的二维均匀分布，求求 Z=Y+2X 的密度函数。的密度函数。42zXzYP2zXYP2xyxyx2-20,10,XY102时，当0z；0zFZ时，当20 z zZPzFZz2z 其他 0 20 2zzzFzfZZxzy2xy22知22010解：由xy,xx例例6.设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为 ，连续型随，连续型随 机变量机变量 ，且，且X与与Y独立，求独立，求 Z=X+Y 的密度函数。的密度函数。3,2,1,31iiXP时，当1z时，当1z；0zFZ zZPzFZzYXPXzYP ，且互不相容，事件SXXX321SXzYPXzYP由全概公式有：31i iXXzYPiXXzYPiXPi314,11,0UY321,AAA是一个划分，是一个划分，31iiBAPBP解：由解：由x=1,2,3及及0y1得得Z的取值范围的取值范围，当21 z 11zYPXPiXXzYPiXPi31 zFZ32131zFzFzFYYY 32131zfzfzfzFzfYYYZZXzYP1,0UY因为03,02,11zfzfzfYYY，当32 z03,12,01zfzfzfYYY，当43 z13,02,01zfzfzfYYY其他 0 41 31z，而取值必须满足所以41,10zyy41，UZ 22zYPXP 33zYPXP求随机变量求随机变量 的概率密度。的概率密度。例例7.设随机变量设随机变量 X 与与 Y 独立，独立，zXYPzZPzFZ22XYZ7.03.021Xzfzf47.013.0 zFzfZZzXYP22122XzXYPXzXYP221122XzXYPXPXzXYPXPzYPzYP47.013.0zFzFYY47.013.0791P其中其中 X 的概率分布为的概率分布为 而而 Y 的概率密度为的概率密度为 f(y)，解：解：已知已知(X,Y)的分布，求的分布，求 Z=g(X,Y)的分布的分布。kYXPkZP2,1,0kkmmkYmXP0,(1)泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性（2）二项分布具有可加性）二项分布具有可加性 X,Y 取值为自然数取值为自然数 得到得到Z的密度的密度dxdyyxfzYXg,zYXgP,zZPzFZ 2nXXXgZ21,zFzfZZ（二）（二）.连续型：已知连续型：已知(X,Y)的联合密度的联合密度 f(x,y),求求 Z=g(X,Y)的密度。的密度。无论无论n为何值为何值Z都是一维随机变量。都是一维随机变量。一般方法：（1）由）由X,Y的取值，以及的取值，以及 Z=g(X,Y)的函数形式确定的函数形式确定Z的取值。的取值。，求出上面的积分再求导 3zZ的取值范围为：解：,211NX,222NY zZPzFZzYXPXzYPXY0 xzy dydxyfxfYxzX dydxeyxxz 22222121212121,222121NYXZ,222121NYX同理，更一般的，,12211niiiniiiniiiaaNXa相互独立。,2iiiNX：正态分布具有可加性正态分布重要性质之一例例8.X 与与 Y 独立，求独立，求 Z=X+Y 的密度函数。的密度函数。3.二维正态分布具有可加性：二维正态分布具有可加性：相互独立相互独立22,221,122,21,21,.1NYNXNYX则0独立与 Y X无关。且均与,2,1,2niNXiii.,12211niiiniiiniiiaaNXa 2.二维正态分布两个随机变量：二维正态分布两个随机变量：二维正态分布的重要性质：二维正态分布的重要性质：2,NX将将 X 独立独立重复重复 n 次，次，nX，XX21.,21nnNXnii.,12211niiiniiiniiiaaNXa.,121nNXnniinNX2,抽取抽取n个产品寿命值个产品寿命值nX，XX21联合