华东师范大学《高等数学》课件-第三章上.pdf

华东师范大学高等数学?第三章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家 Newton1一、引例1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度设描述质点运动的位移函数为0t则到 的平均速度为 v)()(0tftf0tt 而在时刻的瞬时速度为 lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动2 xyo)(xfy C2.曲线的切线斜率曲线NT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 3两个问题的共性两个问题的共性:so0t)(0tf)(tf瞬时速度切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题4二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,并称此极限为记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.1)()(0 xfxfy0 xxx不存在,在点处不可导.0 x若,lim0 xyx也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时构成的新函数，称为导函数或简称导数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf则称函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.()xfx若极限y()f xxyx0lim运动质点的位移函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在时刻的瞬时速度0t曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx)(0tf)(0 xf 3在点的某个右右邻域内三、三、单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在处的右右导数导数,记作)(0 xf即)(0 xf(左左)(左左)0(x)0(x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x=0 处有xyoxy 定义定义2.设函数有定义,存在,1定理定理1.函数在点且)(0 xf 存在)(0 xf简写为若函数)(bf与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且2四、利用定义求导数四、利用定义求导数1.求函数在点0=limxx00)()(xxxfxf0 xxy)(0 xf xyx0lim处的导数,12.求函数的导（函）数()fx例例1.求函数(C 为常数)的导数.解解:y即例例2.求函数解解:axafxf)()(ax limaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1naxxfxxf)()(0limx2说明：说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）3hxhxhsin)sin(lim0例例3.求函数的导数.解解:则hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx)2cos(lim0hxhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cos4例例4.求函数的导数.解解:hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0即xx1)(ln0limhh1x1x0limhelnxhhh1lim0或5则令,0hxt原式是否可按下述方法作:例例5.证明函数在 x=0 不可导.证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在,例例6.设存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解:原式0limh)(0 xfhhxf2)(0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)(2 )(0hhxf)(0 xf6例例6.设存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh五、五、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理2.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故0 x所以函数在点 x 连续.即1在点处右右导数存在定理定理3.函数(左左)(左左)在点必 右右连续.xyo注注1:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.|yx21sin,0()0,0 xxf xxx在0点连续，但不可导321sin,0()00,0 xxf xxxx在连续，也可导4sin,0()01,0 xxf xxxx在连续且可导5注注2:函数在点 x 处可导，则在可导，则在x 处连续，但在x 处的任意小的空心邻域内处处不连续.例例:设在 x=0 处连续,可导，且2()()f xx D x6则函数(0)f 但在其他点处处不连续.六、六、导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM为曲线在点处的切线斜率0()tanfxxyo0 x),(00yx若切线与 x 轴平行,若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:)0)(0 xfxyo0 x11111例例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:3231x,0 xy令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线2内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.)(C)(cos xaxf)(02.axfxf)()(00)(ln x;0;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;3在点 x 处可导,lim0 x0d limdxyyxx 从而三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.若在处可导复合函数且d()()()(g()dyf uf g xfg xg xxx在点 x 处可导,证证:由()yf u在点 u 可导,知)(lim0ufuyu ()yf uuu 故（当时)于是)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy1例如,d(g()dyfxx()()()f ug vxyuvxuyddvuddxvdd注注:须理解清楚复合函数的结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.2例例4.4.设10(53),yx求 y 的导数.解：解：10(53)yx由10yu和53ux复合而成，由链法则,ddyx10dduu9105u950(53)x例例5.5.设2cos1,yx求 y 的导数.解：解：2cos1yx由cos,yu复合而成,ddyxddddddyuvuvx1sin22uxv 22sin1.1xxx 得d(53)dxx,uv21vx由链法则,得例例6.设求解解:)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考:若存在,如何求(lncos()xyfe的导数?d yd=(lncos()ddxfexx)cos(ln(xef)cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf4例例7.设解解:112xx12121x)2x112x5练习练习:设,)(xfffy.,)(yxf求可导其中解解:)(f)(xf)(xf)(fy)(xff当函数式为较复杂的分式时，可通过取对数取对数求导例例8.设23 425(1)2,(59)xxyyx求的导数.解：解：212ln3ln(1)ln(2)ln(59)45yxxx两边取对数223 4225123ln(1)ln(2)ln(59)45(1)261214(2)59(59)yyxxxxxxxxxx6两边对求导，并注意到的函数，故x1(ln)yyyyx是于是例例9.求下列导数:解解:(1)()(lnxex)ln(xx1x)()(lnxxxex)ln(xxxx)1ln(x(2)7ln()()ln()()ln()f xfxef xf xf xln()()0(),f xf xf xe时，对数求导公式：对数求导公式：)(xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理定理2.y 的某邻域内严格单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf111例例3.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设则,)2,2(y)(sinyycos1y2sin11类似可求得xxarcsin2arccos利用0cosy,则22)设,)1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(log1ya 1ayln1aylnxxe)e()arcsin(x)arctan(x)cotarc(xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:3四、初等函数的求导四、初等函数的求导1.常数和基本初等函数的导数(P71-72)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2sec)(cot xx2csc)(secxxxtansec)(cscxxx cotcsc)(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x12.有限次四则运算的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.复合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xuf4.初等函数在定义初等函数在定义区间内区间内可导可导,且导数仍为初等函数。且导数仍为初等函数。)(C0)(sin xxcos)(ln xx1由定义证,说明说明:最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.2例例10.设),0(aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln3例例11.求解解:.y1arctan)(2xy)(2sin xe2sinxe2cosx2x21x2121x2xx21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx,1arctan2sin2xeyx设例例12.设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解:y22)1(1121x21xx)11ln()11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx4例例13.13.).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 x1()1fxx五、非初等函数的求导五、非初等函数的求导1.分段函数的求导分段函数的求导0,x 当 时00()(0)0(0)limlim=10hhf hfhfhh右导数0ln1(0)ln(1 0)(0)lim=1hhfh左导数(0)(0)1.ff从而存在，且1,0()1,01xfxxx于是注：此处也可由以下的导数极限定理求得：(0)1f定理定理4.设函数在的某邻域上连续，在内可导，且极限存在.则在处也可导，且()f x0 x0()U x0()Ux0lim()xxfx()f x0 x00()=lim().xxfxfx该定理的证明参见华东师大数学分析上册（第四版）第125页，这里从略.00 (0-0lim()lim1 1xxffx），下面利用这一定理来求即(0).f+001(0+0lim()lim11+xxffxx），(0-0(0+01ff），()0f xx 因在处连续，又 (0(0)1f xxf从而由知：）