湖南大学《高等数学》课件-第七章定积分的应用.pdf

一、平面图形的面积三、平行截面面积为已知的几何体的体积二、旋转体的体积四、弧长及其计算方法五、旋转体的侧面积六、定积分在物理学中的应用(),.数学建模中的微分元素法 或称为积分元素法在物理、几何以及工程实际中当把非均匀变化的问题看作是均匀变化时能表示为表达形式 则某两个量的乘积通常可将问题归结为定积分问题来处理 .,A 运用定积分处理问题时要求量具有对区间的可加性 按照定积分的概念采用“分划 近似 求和 取极限”的步骤将整体问题化成局部问题利用整体上变化的量在局部上近似于不变的辩证关系在局部上以“不变”代替“变”便有关系式111(),.nniiiiiiiiAAfxxx 1,d ,iiiiixxx xxx 为简便和醒目起见略去下标将具有代表性的第个 小区间表示为称之为典型小区间且取为区间的左端点则有 .d)(xxfA ,)(d)(记为或积分元素的微分元素为量通常称Axxf .d)(dxxfA ,d0 (|0),d ,(),AxxAa bAa b 由量对区间的可加性取极限过程相当于将微分元素在区间上“无限累加”起来 即作定积分 就得到量在区间上的值：.d)(d babaxxfAA .,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之 :,具有可加性要求所计算的量在应用微分元素法时A ,个子区间上部总等于它在该区间的各量上即在区间Aba .的和分量 A :的步骤如下求量 A ;d,)1 (xxxba中任取一小区间在区间 ,)2(记为近似值在小区间上的部分量的求出AA )d)(d (d)(xxfAxxfA微分元素为 ,)3(上的值在区间计算定积分求出量baA .d)(d babaxxfAA1直角坐标系中平面图形的面积)(xfy)(xgy ax bx (),(),.yf xyg xxaxb求由连续曲线及所围成的平面图形的面积Oxyab )(,为面积元素则微分元素任取baxxxxxxAdxxgxfAd|)()(|d ,所求面积为于是baxxgxfA d|)()(|Oxy)(xfy)(xgy ax bx ab 积的计算公式为所围成的平面图形的面bxaxxgyxfy ,)(),(及求由连续曲线)(.d|)()(|baxxgxfAbadycyyxyx ,)(),(及求由连续曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面)(.d|)()(|dcyyyAdc ,类似地例1解解 .2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线yxxyOxy2xy 2 yx21AB )1 (求积分区间 联立方程组 2xy 2 yx .)1 ,1 (),4 ,2(:BA 求得交点 .d)2(d )2(2xxxA微分元素 )3(计算面积 .2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxA .1 ,2 x积分区间例1解解 .2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线yxxyOxy2xy 2 yx21AB )1 (求积分区间 联立方程组 2xy 2 yx .)1 ,1 (),4 ,2(:BA 求得交点 .d)2(d )2(2xxxA微分元素 )3(计算面积 .2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxA例1解解 .2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线yxxyOxy2xy 2 yx21AB )1 (求积分区间 联立方程组 2xy 2 yx .)1 ,1 (),4 ,2(:BA 求得交点 .d)2(d )2(2xxxA微分元素 )3(计算面积 .2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxA有何想法?例2解解 .2 ,2所围平面图形的面积直线求曲线xyxyxyOxyxy2xy 2xy :)1 (求积分区间 )2(微分元素 )3(计算面积 联立方程组 2xy xy 2xy 2xy xy 2xy.)0 ,0(),4 ,2(),1 ,1 (OBA求得交点为AB12 .2 0,2 1,1 0,积分区间为 ;dd)2(d ,1 ,0 xxxxxA中在 .d)2(d ,2 ,1 2xxxA中在 .6 7d)2(d)2(2 1 21 0 xxxxxxA例3解解.4 2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线xyxyOxyxy224 xyAB )1 (求积分区间 联立方程组xy224 xy .)4 ,8(,)2,2(BA求得交点为 :由图可以看出.为积分变量好为积分变量比选择选择xy )2(求微分元素.d)21)4(d2yyyA )3(计算面积 .18d)21)4(4 2 2yyyA .4 ,2 y积分区间为2参数方程形式下平面图形的面积 :出如果曲线由参数方程给 .,)(,)(ttytx .处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面 .)()(件满足定积分换元法的条和此时要求函数tttdttA)()(例4解解.积所围成的平面图形的面 20 ,sin ,cos 33ttaytax求星形线Oxya223 ,只需求出由对称性 ,1然第一象限中的面积A.4 即可后乘以 )1 (积分区间 .02 :,0 :tax时 )2(微分元素 .dcossin3)cosd(sind|d242331tttatataxyA )3(所求面积0 2 242 0 1d)cossin3(4d|44tttaxyAAa.8 3dsin)sin1(1222 0 422attta t例5解解(sin),(1 cos)(02).xa ttyattx 求由摆线的第一拱与横轴所围成的平面图形的面积Oxya2a )1 (求积分区间 .20 :,20 :tax时 )2(求微分元素 d|dxyA )sin(d()cos1(ttata .d)cos1(22tta )3(计算面积2 0 222 0 d)cos1(d|ttaxyAa .3d)coscos21(22 0 22attta t3极坐标系中平面图形的面积Oxd,)(及射线求由曲线rr )(所围成的平面图 ,为积分变量取形的面积时 .,剩下的问则积分区间为 .积分值题是求微分元素和计算)(rr ,d,在该小区间上任取一个小区间 d ,)(的圆扇形的面积近中心角为可以用半径为rr ,面积元素为从而形的面积似代替其上的窄曲边扇)(.d)(2 1d2微分元素rA )(,)(rrrr及射线求由曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面 .d)(2 1d 2 rAA .中曲边扇形的面积公式该公式也称为极坐标系例6解解 .2sin 积所围成的平面图形的面求曲线ar Oxy.4 ,11AAA则积计算出第一象限中的面由对称性 .2 ,0 )1 (积分区间微分元素 )2(.d)2sin(21d21aA )3(计算面积 d)2sin(21442 0 21aAA .2d2 4cos1 222 0 2aa例7解解 cos1 cos3 所围成的与心形线求圆rr .平面图形的面积Ox3cos3rcos1r .2 ,11AAA则求出上半部分的面积由对称性 )1 (联立方程组求积分区间cos3rcos1r 2 1cos3 ,cos1 ,30 r曲边为时当 )2(微分元素 .d)cos1(21d21A ,cos3 ,2 3 r曲边为时当 .d)cos3(21d21A )3(计算面积12AA2 3 23 0 2d)cos3(21d)cos1(2123 0 d)22cos1cos21(2 3 d2)2cos1(9 4 5 Ox)(1rr)(2rr A如何计算?.d|)()(|21d2221rrA.d|)()(|21 2221rrA 一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 .,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 .,间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I :旋转体的特点旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴 .图形均为圆截口Oxy1ABab)(xfy xxx )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x.体积 ,axABba与直线上的一段弧 .,bax .0 ,xbax ,得到如图所示的轴的平面分别作垂直于和点过点xxxx ,).()(,可以用很小时当和其半径分别为两个圆xxxfxf ,)(似旋转为高的圆柱体的体积近以为半径的圆为底以xxf .)(:,22xxfxyVxxx上的体积体在 :积分区间 :微分元素Oxy1ABab)(xfy xxx )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x.体积 ,axABba与直线上的一段弧 .,bax :积分区间 :微分元素 .dd2xyV .d)(d2xxfV :计算体积 d baVV .d 2baxy2 ,)(上的一段弧在区间计算连续曲线dcyx .转体的体积轴旋转一周所产生的旋绕 y ,轴所围成的平面图形以及与直线ydycyAB :类似于上面的作法可得 .,dcy :积分区间 :微分元素 .dd2yxV .d)(d2yyV :计算体积 d cdVV .dyxd c 2例8解解 ,1 2222轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆yxbyax .旋转体的体积Oxyaabb)()1 (只需用上半椭圆轴旋转绕 x .,aax :积分区间 :微分元素 dd2xyV .3 4d)(d2 2222 abxxaabVVaaaa .d)(2222xxaab :计算体积)()2(只需用右半椭圆轴旋转绕 y .,bby :积分区间 :微分元素 dd2yxV .3 4d)(d2 2222 bayybbaVVbbbb .d)(2222yybba :计算体积OxyaabbOxy22xyxy 11Mx例9解解2 2 ,.yxyxyxy求圆弧与抛物线以及轴所围成的平面图形绕轴绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积 )1 (轴旋转绕 x :积分区间 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyV .67d)2(d1 0 21 0 xxxVV :计算体积 .之差可视为两个旋转体体积xy 22xy)1 ,1 (M交点 .1 ,0 x圆环的面积Oxy22xyxy 11M )2 (轴旋转绕 y :积分区间 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyxV d d2 1 21 0 121VVVVV :计算体积 .2,1 1 ,0y ,1 0,上在区间 .d)2(dd222yyyxV ,2 1,上在区间.15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy例10解解)2(0 )cos1(),sin(ttayttax的第一拱求摆线 .转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕 xOxya2a ,式这是曲线的参数方程形 .法处理我们可以按照积分换元 ,d 2baxyV由 ),cos1(),sin(且则令tayttax,20 :ax .20 :t d 2 0 2axyV故 d)cos1()cos1(2 0 22ttata .5d)cos1(32 0 33atta回想一下旋转体体积计算公式 的创建过程.OxyABab)(xfy x )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x.体积 ,axABba与直线上的一段弧 .,bax :积分区间 :微分元素 .dd2xyV :计算体积 d baVV)(2xSy .轴的截平面上的面积垂直于x d)(baxxS有何想法?).(xSxA轴的平面所截得的面积被垂直于设几何体Oxyabx)(xS ,),()(上的体积为位于区间则几何体若baAbaCxS .d)(baxxSV 微分元素 d)(xxS例11解解 ,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底 .的正劈锥的体积高为 hOxyhxaayh|y|y .|)|2(21)(22xahhyhyxS222ayx .|22xay例11解解 ,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底 .的正劈锥的体积高为 hOxyhxaay :积分区间 :微分元素 :计算体积 .,aax .dd22xxahVaaxxahV 22d cos ax 令 .21dsin 2 0 22ahah正劈锥的体积等于同底、同高的圆柱体体积的一半.)(,所量得的长度但不能拉长把弧拉直后有人说 .,简称为弧长就