湖南大学《高等数学》课件-第19讲微分中值定理.pdf

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十九讲 微分中值定理脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中湖南大学高等数学第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第五节 微分中值定理第四章 一元函数的导数与微分一.费马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理xxfxxfxfx+=)()(lim)(0函数导数的定义为即函数在点x 处的导数等于0 x时,函数xxfxxf+)()(的极限值.在点 x 处的差商导数与差商我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质,推出其整体的或“大范围”性质.为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.首先,从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”是怎么一回事.Oxy1x2x可微 )(xfy=ABP0 x1212)()(xxxfxfkAB=的斜率：割线)(0 xfkP=处切线的斜率：点导数与差商相等！1212)()()(xxxfxff=将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线,即在点P 处与曲线的切线重合.,),(21xx也就是说,至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.极值的定义若内有定义在设 ,)(U)(0 xxf ,)(U )()(00 xxxfxf,)()(0的极大值为则称xfxf ,)(U )()(00 xxxfxf,)()(0的极小值为则称xfxf.0为函数的极大点x.0为函数的极小点x I ,I )(内某点且在内有定义在区间设xf则必有存在若处取极大（小）值 ,)(.f .0)(=f一.费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理Oxy)(xfy=abP费马定理的几何解释如何证明？,I )(内有定义在区间设xf处且在 =x),(f取极大值则有)(U )()(xfxf则存在若 ,)(f ,0)()(lim)(0+=+xfxffx ,0)()(lim)(0+=xfxffx于是.0)(=f（极小值类似可证）)(是特殊情况Cxf证如何保证函数在区间内部取极值？)()b ,()(xfaCxf可保证 .b ,内取到它的最大最小值在 aOxyab)(xfy=但是Oxy)(xfy=Pab)()(bfaf=)b ,()(aCxf存在在),()(baxf 0)(=f水平的可保证在内部一点取到极值二.罗尔中值定理设;),()()1(baCxf;),()()2(内可导在baxf,)()()3(bfaf=则至少存在一点.0)(,),(=fba使得定理Oxy)(xfy=abAB实际上,切线与弦线AB 平行.),()(baCxf上取到它的最大值、必在 ,)(baxf最小值至少各一次.)(min ,)(max ,xfmxfMbaxbax=令mM=)1(若 ,)(baxMxfm ,)(baxmxf=.0)(,),(=fba均有故证)()2(mMMm即若),()(baCxf上取到它的最大值、必在 ,)(baxf最小值至少各一次.,)()(bfaf=又.)(mMbxaxxf和处分别取到和不能同时在故=使得即至少存在一点 ,),(ba.)()(mfMf=或由费马定理可知：.),(0)(baf=,dcbadcba皆为实数设,)()()()(dxcxbxaxxf=.,0)(并指出根所在区间仅有三个实根证明方程=xf ,),()(dccbbaCxf,0)()()()(=dfcfbfaf又,),(,)(内可微在是四次多项式+xf得上运用罗尔中值定理在,dccbba .0)()()(321=fff例1证其中,.),(,),(,),(321dccbba.0)(至少有三个实根即=xf,)(是四次多项式xf ,)(是三次多项式xf.0)(至多有三个实根=xf综上所述,0)(仅有三个实根=xf.),(),(),(中分别在dccbba证明内可导在设 ,),(,),()(babaCxf)()()()(222xfabafbfx=.),(内至少有一根在ba0)()()()(222=xfabafbfx0)()()()(222=xfabafbfx=)()()()(222afabafbfa=)()()()(222bfabafbfb)()(22afbbfa例2分析证明内可导在设 ,),(,),()(babaCxf)()()()(222xfabafbfx=.),(内至少有一根在ba例2证)()()()()(222xfabafbfxxF=令 ,)(得的连续性和可导性则由xf,),()(,),()(内可导在baxFbaCxF)()()()(22afbbfabFaF=又由罗尔定理,至少存在一点使得),(ba0)()()()(2)(22=fabafbfF.),(内至少有一根方程在即ba分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.满足其中实数 ,1naa 012)1(3121=+naaann 证明方程0)12cos(3coscos21=+xnaxaxan,2 ,0 内至少有一根在）（xnnaxaxaxFn)12sin(123sin3sin)(21+=令,)(02)0(=FF则且满足罗尔定理其它条件,使故 2 ,0 )(0)12cos(3coscos)(21=+=naaaFn例3证 .2 ,0 内至少有一根即方程在）（,),(,),()()(内可导在、设babaCxgxf .0)(0)(的一个根的两各根之间至少有=xgxf2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf=则的两个根是如果 ,0)(,21=xfxx0)()()()(2211=xgxfxgxf .)0)(xg这时必须例4分析证明方程且 .0)()()()(),(xgxfxgxfbax,),(,),()()(内可导在、设babaCxgxf证明方程且 .0)()()()(),(xgxfxgxfbax .0)(0)(的一个根的两各根之间至少有=xgxf例4证.0)(),(,21的两个根是设=xfbaxx.0)(21及其之间没有根与在并设方程xxxg=,)()()(xgxfxF=令.21xx 不妨假设 .0)(）（此时xg,)(21上满足罗尔定理条件在xxxF则由已知条件可知:使得故至少存在一点 ,),(21xx0)()()()()()(2=ggfgfF.,0)()()()(与已知矛盾从而=gfgf该矛盾说明命题为真.,)(仍满足罗尔定理条件xf如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要,当然可以使用.例5证 ,),(),()(),(内二阶可导在设babaCxgxf ),(),()(),()(),()(bacbgbfcgcfagaf=且 ).()(),(:gfba=使得至少存在一点证明 ,)()(),()()(=caxgxfx则令 .0)(),(,11=使得至少存在一点由罗尔中值定理ca 0.)(),(,22=使得至少存在一点同理bc ,)(,21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ),(),(21使得至少存在一点ba ,0)()(=).()(gf=即例6证,0)(,)(),(=afIxgxf且有上可微在区间设 0)()()(,0)(=+=xgxfxfIbabf证明方程).,(0bax 至少存在一根 ,),(0 ,)(令所以由于+=xeeexxx ,)()()(xfexFxg=.0)()()()()(0)(0)(0)(0000=+=xgexfexfxfexFxgxgxxxg ,0)()(,),(),()(=bFaFbabaCxF且内可导在 :则由已知条件可知 ),(:0使得至少存在一点故由罗尔中值定理bax .,0)()()(,0 000)(0即得所证故有因为=+xgxfxfexg引理 1达布中值定理 ,0)()(,)(bfafbaxf且上处处可导在设 .0)(),(=fba使得则至少存在一点达布中值定理 ),()(,)(bfafbaxf且上处处可导在设,)()(之间的任何一个数值和则对介于bfaf .)(),(=fba使得都至少存在一点费马定理的一种推广 .)(1 连续中不要求引理xf证明引理1 .0)(,0)(bfaf不妨设 ,0)()()(lim 根据极限的保号性得由=afaxafxfax ),(,0)()(aUxaxafxf ).()(),()(:11afxfbaaUx使得从而可推出 .,)()(上的最小值在不是由此断定baxfaf .,)()(,上的最小值在不是可以断定类似地baxfbf ),()(,使得内点可知至少存在一点综上所述ba .0)(),(min)(,=fxffbax故由费马定理得证明达布中值定理 .1 ,)()(即可利用推论作辅助函数xxfxF=).(),()(),(2 1 bfafbfaf+可以换成中的导数和推论推论请自己完成请自己完成!Oxy)(xfy=abABABPabafbff=)()()(如何描述这一现象三.拉格朗日中值定理设;),()()1(baCxf,),()()2(内可导在baxf则至少存在一点 ,),(使得baabafbff=)()()()()()(abfafbf=即定理Oxy)(xfy=abAB切线与弦线AB 平行)()()()(axabafbfafyAB+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()(axabafbfafxfx=令则由已知条件可得：,),()(baCx.),()(内可导在bax,0)()(=ba且故由罗尔定理,至少存在一点使得 ,),(ba0)()()()(=abafbff)()()(abfafbf=即证定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数)()()()()(xfabxafbfxF=定理中的公式均可写成还是不论 baba),()()()(之间在baabfafbf=拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(+=+xxxfxfxxf)()(之间与在xxxxfy+=式可写成拉格朗日中值定理的公),(|)(|)()(|之间在baabfafbf=某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在 t=a 到t=b 的时间段内,连续运动的物体至少会在？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)()()()(abfafbf=)()()()(1212xxfxfxf=).,(0)()1(baxxf=.)(常数=xf.|)(|)2(Mxf.|)()(|00 xxMxfxf).0(0)()3(xf)()(xf还有什么？)(f?)()()(abfafbf=,I ,.I ,0)(21有则若=xxxxf ,0)()()(2121=xxfxfxf推论 1.I ,)(,I ,0)(=xCxfxxf则若 .)()(21xfxf=推论 2)()()()(xgxfxgxf=,I )()(=xxgxf若 ,I ,0)()()(=xxgxfxF则.I )()(,I )()(+=xCxgxfxxgxf则若(C 为常数).I ,)()()(=xCxgxfxF)()()(abfafbf=推论 3)()()(abfafbf=,)(|)(|有界即若xfMxf .|)(|)()(|abMabfafbf=则则且条件 ),(,|)(|,baxMxf|)()(|abMafbf理上满足拉格朗日中值定在若 ,)(baxf用来证明一些重要的不等式推论 4)()()(abfaf