湖南大学《高等数学》课件-第6章.pdf

第 第 第 第 6 6 章章章章 函数的积 函数的积 函数的积 函数的积 分 分 分 分 1 1 定积分的概念 1 1 1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积2 2 2 2、定积分的定义、定积分的定义、定积分的定义、定积分的定义3 3 3 3、定积分的性质、定积分的性质、定积分的性质、定积分的性质第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 曲边梯形曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1 1 1 1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oy1x1ixix)(xfy,0)(xf设 .),()(baCxfxba第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分第一步：作划分第一步：作划分第二步：作替代第二步：作替代第三步：求 和第三步：求 和第四步：取极限第四步：取极限第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oxyab1x1ixix)(xfy 极限过程是什么？如何求精确值？第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分1|max ii nxxl DD01 lim().niiiSfxlxD令曲边梯形的面积极限存在与否与划分 及点 的选择无关.Tix第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分0111 ,iinnaxxxxxxbLL任意引入分点2.2.2.2.定积分的定定积分的定定积分的定定积分的定义义义义第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分设函数 在区间 上有定义，且有界.()f x,a b将区间 分成 个小区间,a bn1,(1,2,)iixxinL用 表示第 个小区间的长度.1,iiixxx1iiixxxDi011()dlim()(max).nbiiiai nif xxfxxlxl DD第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分01lim()niiifxlxD若 存在，且该极限值与对区间 的分法 T 及点 的选择无关，则称函数 在 上可函数 在 上可积积 .()f x,a b,a bix记为 ，极限值称为 在 上在 上的的定积分定积分，记为()(,)f xR a b()f x,a b定积分符号说明：定积分符号说明：.)(limd)(10|DDniiixbaxfxxfx baL L定积分号；()df xxL L被积表达式；()f x L L被积函数；xL L积分变量；,a b L L积分区间；,a bL L积分下限，积分上限；第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oxyab)(xfy 1A2A3Acd定积分的几何意义定积分的几何意义第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分例例 1.计算22220(1)sin;(2).RxdxRx dxpp第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分例例 2.证明狄利克雷函数在 上不可积.0,1第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分常见的可积函数类：常见的可积函数类：闭区间 a,b 上的连续函数；闭区间 a,b 上的单调、有界函数；闭区间 a,b 上的有界函数，且有有限个第一类间断点；第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分例例 3.计算120 x dx第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分3.3.3.3.定积分的性质定积分的性质定积分的性质定积分的性质.d d1 abxxbaba性质 性质 1 1,d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf性质 性质 2 2 （线性性（线性性质）质）式中 为常数式中 为常数,第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)().acb性质 性质 3 3（对区间的可加性）（对区间的可加性）.d)(d)(abbaxxfxxf 规定0d)(aaxxf第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分.0d)(,0)(baxxfbaxxf则若性质性质 4 （保号（保号性）性）Oxyab0)(xfy第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 ()(),f xg xxa b，()d()d .bbaaf xxg xx推论推论1 1若若，则，则推论推论2 2babaxxfxxfd|)(|d)(|Oxyab)(xfy|()|yf x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 设 分别是函数 在 上的最大、小值，则有,M m .)(d)()(abMxxfabmba性质性质 5 5（估值定（估值定理）理）,M m ,a b ()f x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分例例 4.估计 的值.210 xedx第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分241sin2 d.22xxxpp0.baf xx()(,),f xCa b性质性质 7 7 设 在 上非负且不恒等于零，则 ,a b()f x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分()d0,baf xx 例例 7.设 且 若 ()0.f x ()(,),f xC a b()0,.f xxa b证明：第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分第第第第 6 6 章章章章 函数的积分函数的积分函数的积分函数的积分2 2 定积分的基本定理 1 1 1 1、原函数与积分上限函数、原函数与积分上限函数、原函数与积分上限函数、原函数与积分上限函数2 2 2 2、微积分基本公式、微积分基本公式、微积分基本公式、微积分基本公式第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分定义定义 1 设I为某个区间，若 ，对I上的可导函数 ，有xI()F x1 1 1 1、原函数与积分上限的函数、原函数与积分上限的函数、原函数与积分上限的函数、原函数与积分上限的函数 ()(),F xf x=则称 为函数 在区间I上的一个原函数原函数.()F x()f x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分则 是 在 I 上的所有原函数.()F xC+()f x 设 为 函数 在区间 I 上的一个原函数，定理定理 1()F x()f x其中 为任意常数.C第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分(1)函数的原函数加上任意一个常数仍为该函数的原函数；结论结论：(2)函数的任何两个原函数之间只相差一个常数；(3)函数的原函数加上任意常数的集合是该函数的全体原函数；(4)只需要找到函数的一个原函数，就可以得到全体原函数.第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分问题问题：(1)任何函数的原函数都存在吗？(2)如何找到函数的第一个原函数？第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 ()()d ,.xaF xf ttxa b=为 在区间 上的积分上限函数积分上限函数.()f x,a b定义定义2若 ，则称积分()(,)f xR a b第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oxyabxx)(xfy=积分上限函数的几何意义积分上限函数的几何意义第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Oxyabxx)(xfy=xattf d)(积分上限函数的几何意义积分上限函数的几何意义第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 ()()d(,).xaF xf ttC a b=则定理定理2 2若()(,)f xRa b第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 .)()(d)(dd)(bxaxfttfxxFxa=若 ，定理定理3 3()(,)f xCa b ()()d xaF xf tt=则在区间 上可导，且 ,a b第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 结论：结论：连续函数的积分上限函数就是该函数的原函数，定理 3 通过构造函数的方法说明原函数的存在性.第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分,d)()(),()(baxttfxFbaCxfxa=则若 .,)(上的一个原函数在为baxf .I )(,)I ()(上原函数存在在则若xfCxf第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分定理定理4推 论推 论=)dcos(xatt dcosddxattx .cosx=?)dcos(=xaxx定积分与积分变量的记号无关.)(xF .cos)dcos(xxxxa=例例 1.第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分232 2 0 (1)(sin(1)d);(2).xxtxttde dtdx-+这是复合函数求导,你能由此写出它的一般形式吗?例例 2.计算第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分.)()()d)()()(xxfttfxFxa=一般地，若 可导，,则()x()f xC第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分2 1 c o s20d lim.txxetx-例例 3.计算第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分课堂练习课堂练习：22s i n0203020020(1)();sin(2)lim;()(3)limxxxxtxxtdf t dtdxt dtxe dtedt第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 ).()()(d)(aFbFxFxxfbaba-=2.2.2.2.微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式 定理定理5 5这个公式也称为 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 若 ，()(,)f xCa b 则有 为 在区间 上的一个原函数，()F x ,a b()f x第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 (sin)cos,xx=Q 220 0 01 2cos dsinsinsin.xxxppp=-=问题的关键是如何求一个函数问题的关键是如何求一个函数的原函数的原函数.例例 4.第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 12 11d1xx-+例例 5.计算第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 4 0cos2 dxxp例例 6.计算第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分第 第 第 第 6 6 6 6 章章章章 函数的函数的函数的函数的积分积分积分积分 3 3 不定积分的概念和计算(一）1 1 1 1、不定积分的概念、不定积分的概念、不定积分的概念、不定积分的概念2 2 2 2、不定积分的计算（、不定积分的计算（、不定积分的计算（、不定积分的计算（一一一一）第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分()df xx1 1 1 1、不定积分的概念、不定积分的概念、不定积分的概念、不定积分的概念 函数 在区间 I 上的原函数的全体称为 在 I 上的不定积分不定积分，记作()f x()f x其中记号“”称为积分号，称为被积函数，称为积分变量.()f xx第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分()d()f xxF xC=+(为任意常数)C;d2 ,2)(22Cxxxxx+=;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx+=.|lnd1 ,1)|(lnCxxxxx+=求不定积分是求导的逆运求不定积分是求导的逆运求不定积分是求导的逆运求不定积分是求导的逆运算算算算例如第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 基本积分公式基本积分公式基本积分公式基本积分公式 基本积分公式基本积分公式基本积分公式基本积分公式)(d为常数kCkxxk+=)1(11d1+=+CxxxCxxx+=|lnd1(1)(2)(3)(4)(5)Cxxx+=edeCaaxaxx+=lnd第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Cxxx+=sindcosCxxx+=cosdsinCxxx+=tandsec2Cxxx+=cotdcsc2(6)(7)(8)(9)Cxxxx+=secd tan sec(10)第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分Cxxx+=chdshCxxx+=shdch(12)(13)Cxxx+=+arctand112Cxxx+=arcsind112(14)(15)Cxxxx+=cscd cot csc(11)第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分2.2.2.2.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算利用不定积分的性质换元法(第一、第二)分部积分法部分分式法第 第 6 章 函数的积分章 函数的积分 性质 性质 性质 性质 1 1 1 1),()d)(xfxxf=,d)()d)(d(