大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第2章.pdf

第二章 随机变量及其分布随机试验样本空间A随机事件 AP nkAP古典概型：SAAP几何概型：AP常用试验求次独立试验概型nneeeS21(文字结果）npppP21一一对应nxxxX21一一对应 随机试验随机试验 E，S 是他的样本空间。是他的样本空间。反面正面（抛币）1S一一对应2/12/1P不中命中（射击）2S一一对应 ppP1不合格合格3S一一对应1ppP10X一一对应 ppP1nxxxX21一一对应npppP21 一般的，随机试验一般的，随机试验E,X是他的随机变量：是他的随机变量：例如：例如：一一.离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布二二.随机变量的分布函数随机变量的分布函数三三.连续性随机变量及其分布连续性随机变量及其分布四四.随机变量函数的分布随机变量函数的分布 SX)(eS）（niieA1；（)1niixXA。)(21xXxD；)(xXC；)(xXB)(eX样本点可数多.,21ee有限“区间”，ba无穷“区间”，a样本点有限个.,21neee：随机试验：随机试验 E，S 是他的样本空间，对任意的是他的样本空间，对任意的 eS,定义实数定义实数 X(e)与之对应。则称与之对应。则称 X(e)为为 E 的随机变量，简记为的随机变量，简记为 X.随机变量为样本空间到实轴的一一映射：随机变量为样本空间到实轴的一一映射：映射结果为有限个，或者可列多个称为映射结果为有限个，或者可列多个称为。映射结果为不可列无穷多个，称为映射结果为不可列无穷多个，称为。以往事件常用的表示方法：以往事件常用的表示方法：今后常见的事件表示方法：今后常见的事件表示方法：Xx1x2x3x4x.XkPnnpppxxxX2121；11kkp,.2,10kpk xp,.2,1ipxXPii.321321pppxxx（2）归一性：）归一性：（1）非负性：）非负性：分布列：分布列：如果：如果 X 的所有取值为有限个，或者可列无穷多个，的所有取值为有限个，或者可列无穷多个，则称则称 X 为离散型随机变量。为离散型随机变量。3221)1(nnppC nXP解：1)1()1(21npppppnX 解：nXP,2,1n,.,53n；)1(1npp 例例1.某射手向某一目标独立地连续射击，每次射击命中率为某射手向某一目标独立地连续射击，每次射击命中率为 p，以以 X表示首次命中所需要的射击次数，求：表示首次命中所需要的射击次数，求：X 的分布列。的分布列。例例2.某射手向某一目标独立地连续射击，每次射击命中率为某射手向某一目标独立地连续射击，每次射击命中率为 p，以以 X 表示第表示第 3 次命中所需要的射击次数，求：次命中所需要的射击次数，求：X 的分布列。的分布列。p；1!解：0kkkA.2,1,0,!kkAkXPk.1,2,3n nXP解：.eA则0!kkk；1!0kkkA434qpqXP；e 例例4.设某随机变量设某随机变量 X 的分布列如下（其中的分布列如下（其中A非负常数），非负常数），求求 A。例例3.某射手向某一目标独立地连续射击，每次射击命中率为某射手向某一目标独立地连续射击，每次射击命中率为 p，以，以 X 表示命中或者射击表示命中或者射击 4 次后就停止所需要的射击次数，求：次后就停止所需要的射击次数，求：X 的分布列。的分布列。1npqpBX,1kkppkXP-11；110ppX1,0k 实际背景：随机试验实际背景：随机试验 E 只有两个结果，事件只有两个结果，事件 A 发生或者不发生。发生或者不发生。（伯努利概型）（伯努利概型）（1）两点分布（）两点分布（0-1分布）分布）分布列：分布列：10 xkpnkmXP0.,.2,1,0nm nNmnMNmMCCCmXP-NMNn,NMnHX,1nNnNCCnNnmmnMNmMCCC0-nmnNmnMNmMCCC0-M个N-M个正次0MC0nMNC个n1MC1nMNC个nmMCmnMNC个取正品次品，共在两盒中，既无所谓次品数nnm,.2,1,0（2）超几何分布超几何分布 分布列：分布列：实际背景：实际背景：N 件产品中件件产品中件 M 次品，从中任取次品，从中任取 n 件求恰有件件求恰有件 m 次品的次品的 概率。概率。nkknkknnkqpCkXP0-0nk.2,1,0knkknqpCkXP-pqp-1,10pnBX,knkknqpCnNknMNkMCCC-nN101nqp（3）二项分布二项分布分布列：分布列：实际背景：（重伯努利试验）随机试验实际背景：（重伯努利试验）随机试验E只有两个结果，事件只有两个结果，事件A发生发生 或不发生。将或不发生。将E独立的重复独立的重复n次，次，A恰发生恰发生k的概率。的概率。3XP 3XPknkknqpCnNknMNkMCCC-nN109733100998.0002.0C10010000979980320CCC 例例5：从中任取从中任取100件，求所抽取的件，求所抽取的 100件产品中恰有件产品中恰有3件次品的概率。件次品的概率。例例6：从中任取从中任取100件，求所抽取的件，求所抽取的100件产品件产品 中恰有中恰有3件次品的概率。件次品的概率。9733100998.0002.0C01.0,20 BX01.0,80 BY41XP934.041911202002099.001.099.0CCiiiiCYP80308099.001.03991.0解：设第一种方法（解：设第一种方法（1人看护人看护20台）故障次数为台）故障次数为 X，第一种方法机器能及时维修：第一种方法机器能及时维修：设第二种方法（设第二种方法（3人看护人看护80台）故障次数为台）故障次数为 Y，第二种方法机器能及时维修：第二种方法机器能及时维修：例例7.设有设有80台相同机器，每台机器的工作是相互独立的，发生故障的台相同机器，每台机器的工作是相互独立的，发生故障的概率都是概率都是0.01。当机器故障时，一名工人只能维修一台故障机器。下。当机器故障时，一名工人只能维修一台故障机器。下面有两种配备工人的方法，第一种方法，由面有两种配备工人的方法，第一种方法，由4个人维护个人维护80台机器，每台机器，每人人20台；第二种方法，由台；第二种方法，由3人同时看护人同时看护80台机器，问哪种方法更好？台机器，问哪种方法更好？.2,1,0!-kekkXPk分布列：0XPX或,limnnnp如果，设nnpnBX,0kkXP.1,0!1lim 则有kekppCkknnknknn泊松定理实际背景：分布：泊松 Poisson 4e-!ekk0k1e i)当当n很大很大,p很小时，泊松分布可做为二项分布近似计算。很小时，泊松分布可做为二项分布近似计算。正品A表示其中的疵点数节点个一平方米布有Xnn,个疵点概率求一平方米布上恰有2 pAP万1012-2212nnppCXP1！221enp1个疵点概率若求两平方米布上恰有2节点个两平方米共nn22np22故泊松分布要强调2！222e2-222212nnppCYP件发生数单位面积等内的稀有事单位时间，单位体积，pnBX,pnBY,2A=（）npP近似npP 2近似 ii)当当n很大很大,p或或q很小时，泊松分布为单位范围内稀有事件发生数的分布。很小时，泊松分布为单位范围内稀有事件发生数的分布。9733100998.0002.03CXP100100009799803203CCCXPknkknqpCnNknMNkMCCC-nN102.0002.0100 np2.03!32.0eekk!k很小很大，pn002.0NMp3k 例例5：从中任取从中任取100件，求所抽取的件，求所抽取的 100件产品中恰有件产品中恰有3件次品的概率。件次品的概率。例例6：从中任取从中任取100件，求所抽取的件，求所抽取的100件产品件产品 中恰有中恰有3件次品的概率。件次品的概率。3,PX.10133eYP kXP,!000eeXP,033eYP,1,0,!kekknp ，n为本市居民人数，为本市居民人数，p为每位居民呼叫的概率。为每位居民呼叫的概率。解：一昼夜呼叫次数解：一昼夜呼叫次数例例1.已知某市已知某市120呼叫台一昼夜的呼叫次数呼叫台一昼夜的呼叫次数 且每天呼叫次且每天呼叫次 数相互独立，求三天内至少呼叫数相互独立，求三天内至少呼叫1次的概率。次的概率。,PX三昼夜呼叫次数三昼夜呼叫次数,3PY三昼夜没有呼叫的概率：三昼夜没有呼叫的概率：三昼夜至少呼叫一次的概率三昼夜至少呼叫一次的概率:1111kkkppkXP.2,111kppkXPk分布列：0ppGX11110ppp几何分布：5，直到命中为止击，命中率实际背景：某人连续射p公比首项等比级数111pppkk几何分布的无记忆性：几何分布的无记忆性：11tkkqp1tk tXPsXPsXtsXP)()(sXtsXPttqqqp1tXPqtstsqqsXPtsXP何分布，某产品“寿命”服从几年没坏，该产品使用了s再使用年不坏的概率相同。与新产品使用ttXP1kpq.2,1 1分布列：1kppkXPk年仍不坏的概率，tsX tsX P例例7.n把钥匙开一把锁，求把钥匙开一把锁，求的概率。的概率。（1）每次开后放回。（）每次开后放回。（2）每次开后不放回。）每次开后不放回。1)11(1)(knnkXPnkXP1)(32,1，k的概率，次打开解：若求第kAkkAP，n1次打开的试开次数表示直到第用kX 不放回是抽签问题。2，次没打开前次打开每次开后放回，直到第11kknGX1第k次打开（抽签问题）放回：前k-1次没有开的不放回：前k-1次没有开的直到第k次才打开：放回：前k-1次可能有开的不放回：前k-1次没有开的XkP；xXB；xXC；21xXxD xXPBP xXPxXPCP1 1221xXPxXPxXxPCP.321pppXkPba xXPxXPxXP06X例如：随机变量表示电视机寿命值：例如：随机变量表示电视机寿命值：kxXP.321xxx 离散型随机变量：离散型随机变量：离散型随机变量的建立方法不适合非离散型离散型随机变量的建立方法不适合非离散型事实上，事件事实上，事件(X=x)对非离散型试验通常情况下没有实际意义对非离散型试验通常情况下没有实际意义(我们认为的寿命值我们认为的寿命值6年年)非离散型常用事件表示如下：非离散型常用事件表示如下：XPxXPRxXkP.321xxx RxxXPxFixXP分布列分布函数.321ppp 为随机变量为随机变量X的分布函数。的分布函数。：随机试验：随机试验E，X是他的随机变量，对任意的是他的随机变量，对任意的xR，称，称:81838381XkkkkCP882121xixXP3210 x RxxXPxF 3132872184108100 xxxxxxXPxF3 2 1 0的分布列：X分布函数：例例3.一枚硬币抛三次，用一枚硬币抛三次，用 X 表示三次中正面向上的次数，表示三次中正面向上的次数，求求 X 的分布列，分布函数。的分布列，分布函数。x xF。xixXP32103210。1 RxxXPxF 0 xXPxF 810810 xXPxF 0000XPXPXPF818183时，当0 x时，当0 x时，当10 x时，当1x 1F1XP218381时，当21 x 84xXPxF时，当2x 2F 87xXPxF.133XPF时，当32 x时，当3x2XP.87时，3 当x.1xXPxF离散型随机变量的分布函数为阶梯函数（离散型随机变量定义二）。离散型随机变量的分布函数为阶梯函数（离散型随机变量定义二）。x xFXixXP4321xxxx4321xxxx xXPxF1xxiixXPx,2,1,ipxXPXii的分布列为随机变量 10 xF0)-()(lim-FxFx 0aFbFbXaP aFbFbXaP000aFbFbXaP。x xF4321xxxx11)()(limFxFx点的概率，不含意思是aaXPaF0 aFbFbXaP4 (1)F(x)为为x的右连续函数。的右连续函数。(2)F(x)