定积分及其应用分析研究应用数学专业.docx

定积分及其应用 摘 要 定积分最开始是由于求面积和体积等实际问题而出现的。它的出现是人类不断认识世界和改变世界的一个侧面反应，从古希腊的阿基米德使用“穷竭法”，魏晋时期刘徽使用“割圆术”到牛顿莱布尼茨公式的订立都反映着定积分的不断发展和进步。定积分现在已经成为解决相关实际问题的有力工具，牛顿莱与布尼茨给出的计算定积分的方法使得原本相互独立的微分学和积分学联系在了一起，共同构成了现在完整的微积分学理论体系。 定积分是函数的特定结构总和式的极限。这种极限不仅在数学方面有应用，在解决实际问题中也应用广泛，比如说运用定积分可以在经济学与物理学方面计算一些常见的问题。本论文主要讨论一些定积分的基本的概念、性质和方法继而引导出它在其他学科方面的运用。通过研究一些性质、运算方法和定理来解决实际应用问题。 定积分性质主要有三个即：可加性、非负性、连续性。运算方法有换元积分法和分部积分法。 关键字：定积分、性质、定理、应用 Abstract The definite integral begins with the actual problem of area and volume. The emergence of it is to know the world and change the world one side reaction, from the ancient Greek Archimedes used the method of exhaustion, Liu Hui wei-jin period using "cyclotomic surgery" Newton leibniz formula to conclude all reflects the definite integral of the continuous development and progress. Definite integral now has become a powerful tool to solve the actual problem, Newton, and cloth has given the calculation of the definite integral method makes the differential calculus and integral calculus of originally independent together, now constitute a complete system of calculus theory. The definite integral is the limit of the sum of the specific structures of the function. This limit is applied not only in mathematics, but also in solving practical problems, such as using definite integrals to calculate common problems in economics and physics. This paper mainly discusses the basic concepts, properties and methods of definite integrals, and then leads to its application in other disciplines. Some properties, methods and theorems are studied to solve practical problems. There are three definite integral properties: additivity, non-negativity and continuity. The operation method has the substitution integral method and the integration by parts. Keywords: definite integral, property, theorem, application. 目 录 第1章 绪论…….......…...........................................……....……………………………..….......1 1.1定积分的产生背景 …………………..…………………...………………........1 第2章 定积分的定义及其性质..…………………..…………………………………...……1 2.1定积分的定义.........…………………..………………………………..…………1 2.2定积分的性质.........…………………..………………………………..…………2 第3章 定积分的计算方法…………............…..………………………………………….....2 3.1牛顿莱布尼茨公式..................….…...…………………………….……………2 3.2换元法求定积分...........................…………………………………..…….…….4 3.3分部积分法计算定积分....…………………………………...…………..........7 第4章 定积分的应用………....…..…….................…………………………………….…...7 4.1定积分在数学上的应用……….…………………………………................…7 4.2定积分在物理中的应用……….………………………………………..….....10 4.3定积分在统计中的应用……….………………………………………..….....12 第5章 定积分在金融中的应用..………………………………..............................……….13 5.1经济函数问题...………………………………......................................………..13 5.2最大利润问题……...………………………………...................................………14 5.3资金的现值、终值和投资问题……………...................................…….…..14 5.4广告策略问题...………………………………...................................…..……..15 第6章 总结…………………...………………………………...................................………..17 参考文献………………………………………………………………………………………...17 致谢……………………………………………………………………………….........………...18 定积分及其应用 第一章 绪论 1.1定积分的产生背景 假设是闭区间上的一个连续函数，且，由曲线，直线，以及轴可以围成一个平面曲边梯形． 下面我们来讨论一下如何求这个曲边梯形的面积．我们都知道在数学中，圆的面积是用边数无限增加的内接（或外切）正多边形的面积极限去定义的，那么我们现在仍旧可以使用这种类似的方法去定义曲边梯形的面积．根据这一方法我们就可以得到曲边梯形的面积公式． 由上边的结论我们可以得到，上下的两条连续曲线，以及直线和直线所围的平面曲边梯形的面积，它的计算公式为 ． 我们运用这种解题思想和方法再去掉问题的具体含义，保留其数学结构，便是定积分的产生的过程。 第二章 定积分的定义及其性质 2.1定积分的定义 假设是在闭合区间上的一个连续函数，在区间上插入任意个分点： 使得这个区间划分为n-1个子区间，则第个子区间长度为 任意取，作出乘积，然后把这些乘积加起来就可以得到和式： 如果无论区间怎么样去分割，点怎么样去选取，当的时候，这个和式全部趋向于同一个常数，那么就我们就称这个函数在区间上可积，常数为区间上的定积分。 2.2定积分的性质 （1） （线性性质） 假设那么有，并且. （2） （单调性） 假设且，那么 . （3） 假设，则，且有. （4） （对区间的可加性） 假设是一个有限的闭区间，.若是在上可积，那么在上的任何一个闭合子区间都可积，且有. （5） （乘积性质） 假设，那么有. （6） （积分中值定理） 假设，且有在上不变号，那么至少会存在一点，使得. 第三章 定积分的计算方法 3.1牛顿-莱布尼兹公式 在定积分的运算中一个有效的方法就是牛顿莱布尼茨公式，它也在理论上把定积分和不定积分联系在一起。 定理：假设在区间上连续，并且在区间上有一个原函数,那么：则称函数在区间上可积，并且 ,那么这个公式就是牛顿莱布尼兹公式 也可以写作：。 在定积分的计算中，经常会出现像计算定积分=，=等类型的题目﹒这类题目看似容易，但学生一计算就会出错﹒这是因为： === 但却不能简单的运用牛顿—莱布尼兹公式来计算 =﹒ 这种计算方式是错误的﹒这是因为被积函数 在区间上是连续并且恒正的﹒所以说它在区间上的积分是大于0的.它的错因在于函数在区间上不连续，为的第一类间断点﹒可以求得： = = 从而在点处 并不是在上的一个原函数，我们就称这种函数为分段原函数。 定理：假设是连续函数在区间和上的一个分段原函数，是其第一类间断点，则有： 证：由定积分的可加性知： 利用公式（1）计算和﹒ =。 例1：= ,求。 解：=F(3)-F(-1)+[F(0-0)-F(0-0)]+F(2-0)-F(2+0)] =arctan。 3.2换元法求定积分 换元法其实就是将复合函数的求导法则反过来用于定积分，换元法是计算定积分的最重要的一个方法。 定理：假设函数在区间[a,b]上连续，函数，满足条件： (1) ； (2)在和具有连续导数，且它的值域为，则有 这个公式就是定积分的换元公式。 下面介绍一下几个较为常用的代换： （1） 三角代换：被积函数中若是含有，则令或者;被积函数中若是含有，则令或者；被积函数中若是含有，则令或者；被积函数中若是含有，则令t=；被积函数中若是含有，则令t=；被积函数中若是含有和，则令t=， （2） 倒代换：该代换一般用适于分母次数较高的情况 如：，令 在具体解题时需具体分析，灵活的运用代换方法去处理，下面我们举一些具体例子来分析。 例2：求﹒ 解：令， 原式=﹒ 例3：求﹒ 解：令,则 ﹒ 例4：求﹒ 解：令t=x = == === 利用换元法求定积分的应用十分的广泛，但是这种方法却极易出现错误，被积函数在变换时，它的自变量一定要在原区间上连续. 例5：计算. 误解：令 =0 方程的解显然是错误的，换元令，时 , 无意义，在上无界，不可导，无法满足换元的基本条件 因此不能令 正解：假假设在区间[a,b]上连续且为偶函数，则： 即： 。 换元在区间上必须满足换元的条件： 例6：计算 ﹒ 误解：假设，则 当x=0时t=0; x=a时 原式= 误因分析：若是被积函数中含有二次根式，我们就需要运用换元法消去二次根式，假