2023年数学分析中的一致收敛及其应用初稿.docx

数学分析中的一致收敛及其应用-初稿 目 录 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 3 1.1函数列级数及其一致收敛性 3 1.2函数项级数一致收敛性 4 2. 函数项级数一致收敛性的根本判别法 6 2.1 定义判别法 6 2.2 M判别法 6 2.3 莱布尼兹判别法 6 2.4 余项判别法 7 2.5 柯西准那么 8 2.6 类数项级数判别法的函数项级数判别法 10 2.6.1 比式判别法 10 2.6.2 根式判别法 12 2.6.3 对数判别法 13 2.9 导数判别法 13 2.10 连续性判别法 14 2.11 迫敛性判别法 15 2.12 M判别法的推论 15 3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 16 3.1 阿贝尔判别法 16 3.2 狄利克雷判别法 17 3.3 积分判别法 19 4. 一致收敛的应用 20 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 20 4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 20 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 22 4.4 一致收敛在求导中的应用 22 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 23 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 24 4.7 一致收敛在计算积分中的应用 24 总 结 26 参考文献 27 致 谢 28 数学分析中的一致收敛及其应用 摘 要 对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。本文利用定义来简单的介绍一致收敛性，利用柯西一致收敛准那么，证明函数项级数一致收敛的判别法。本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准那么, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致收敛的定义, 重要判别法及其一致收敛的应用给出了论文中一些结论的证明。 关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。 引 言 一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准那么,M-判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，莱布尼兹判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别。 而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，M-判别法，阿贝尔判别法，莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了方便。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广, 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例, 它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数, 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质. 比方能否由函数项级数的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性。 这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。 即函数项级数的一致收敛性。 文献[1]讨论了函数项级数一致收敛的根本判别法, 给出了一致收敛的定义和莱布尼茨判别法; 文献[6][7][8]给出了函数项级数一致收敛的重要判别法, 如阿贝尔、狄利克雷以及积分判别法; 文献[5][3]给出了函数项级数一致收敛的两个充要条件: 柯西准那么, 余项定理, 并用上述方法判别一致收敛以及证明其它的一些定理; 文献[10]对该问题进行了推广, 得到了比试和根式判别法, 同时也有其它一些文献, 得到了一些其它的结论。本文结合上述文献, 总结出了函数项级数一致收敛的其它判别法, 如对数判别法, 导数判别法, M判别法的推论等, 并给出了一些判别法的证明, 此外也用一些例题验证它的可行性。 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 1.1函数列级数及其一致收敛性 定义1 设 是一列定义在同一数集上的函数，称为定义在上的函数列，也可简单的写作： 或，. 设，以代入可得数列 假设数列收敛，那么称函数列在点收敛，称为函数列的收敛点.假设数列发散，那么称函数列在点发散.假设函数列在数集上每一点都收敛，那么称在数集上收敛.这时上每一点，都有数列的一个极限值与之相对应，由这个对应法那么所确定的上的函数，称为函数列的极限函数.假设极限函数记作，那么有 ， 或 ，. 使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域. 定义2 设函数列与函数定义在同一数集上，假设对任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有 ， 那么称函数列在上一致收敛于，记作 , . 注：本文用“〞表示一致收敛. 由定义看到，如果函数列在上一致收敛，那么对于所给的，不管上哪一点，总存在公共的（即的选取仅与有关，与的取值无关），只要，都有 . 由此可以看到函数列在上一致收敛，必在上每一点都收敛.反之，在上每一点都收敛的函数列，在上不一定一致收敛. 1.2函数项级数一致收敛性 定义1 设是定义在数集Ｅ上的一个函数列, 表达式 , (1) 称为定义在定义域Ｅ上的函数项级数, 简记为或。称 , , (2) 为函数项级数(1)的局部和函数列。 假设, 数项级数 , (3) 收敛, 即局部和当时极限存在, 那么称级数(1)在点收敛, 称为(1)的收敛点。假设级数(3)发散，那么称级数(1)在点发散。假设级数(1)在Ｅ上的某个子集Ｄ上的每个点都收敛, 那么称级数(1)在Ｄ上收敛, 并且称(1)的收敛域为Ｄ, 级数(1)在Ｄ上的每一点与其所对应的数项级数(3)的和构成一个定义在Ｄ上的函数, 称为(1)的和函数, 并写作 , 即 ,, 也就是说，函数项级数(1)的收敛性就是指它的局部和函数列(2)的收敛性。 定义设是函数项级数的局部和数列。假设在数集Ｄ上一致收敛于函数, 那么称函数项级数在Ｄ上一致收敛于, 或称在Ｄ上一致收敛。 由于函数项级数的一致收敛性是由它的局部和数列来确定, 所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义。 定义3 设函数项级数在Ｄ上和函数为, 称, 为函数项的余项。 2. 函数项级数一致收敛性的根本判别法 2.1 定义判别法 例1 讨论。 解： 显然 所以，对任给的只要取 对一切成立，因此在上一致收敛于。 2.2 M判别法 定理 (M判别法) 设函数项级数定义在数集Ｄ上, 为收敛 的正项级数, 假设对一切, 有, , 那么函数项级数在Ｄ上一致收敛。 证明 由假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准那么，任给正数，存在某正整数，使得当及任何正整数，有 . 又由（3）式对一切有 . 根据函数项级数一致收敛的柯西准那么，级数在上一致收敛. 例2 证明函数项级数，一致收敛。 证明： 由不等式可知对任意x,有。因收敛，由M-判别法知在上一致收敛。 2.3 莱布尼兹判别法 定理2 假设交错级数满足下述两个条件： 数列单调递减；，那么交错级数收敛。 例3 试证在区间上一致收敛。 证明：是任意闭区间的连续函数列, 且有 , , 由上述定理知, 函数项级数在区间上一致收敛。 2.4 余项判别法 定理 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是。 例4 讨论函数项级数的一致收敛性。 解： 设 。因而，，。解，得。易知，该点为函数于是： 故原级数在上一致收敛。 推论 是函数项级数的局部和函数列, 和函数, 都是定义在同一数集Ｄ上, 对于任意的, 存在数列, 使得对, 有, 且, 那么称函数列一致收敛于, 即函数项级数在Ｄ上一致收敛于函数。 证明： 因, 故对任给的, (与无关), 使得当时, 对一切, 都有。由定义2得函数列一致收敛于, 即函数项级数在Ｄ上一致收敛于。 注 用放大法判定函数项级数一致收敛性时, 需要知道。 2.5 柯西准那么 定理 (一致收敛的cauchy准那么) 函数项级数在数集Ｄ上一致收敛的充要条件为：任给>0。 存在，当时, 对一切， 都有成立。 推论2假设 在Ｄ上一致收敛，那么。 例5：设，在连续且在内一致收敛，且由均收敛，证明上一致收敛。 证明：由内一致收敛及均收敛，知，同时有 因而，有 故在一致收敛。 定理 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是： . 证明 必要性 因为在区间上一致收敛,所以，，使得当时，对一切,都有，即，所以，所以. 充分性 设在上不一致收敛,即，,，使得 ，即，所以.与矛盾(李岚，2023)[4]. 例6　假设在上可积，且与在上都可积，，设，，那么在上一致收敛于. 证明 ()， 所以利用定理1,当时，一致收敛于. 例7 设，在上连续，，又在收敛于连续函数，那么在一致收敛于. 证明 （其中）是单调递减且趋于0，所以，有，且，，时，有.将固定，令，因为在上连续,既然，所以，当时.从而时更有即仅当. 如上所述,对每个点，可找到相应的邻域及相应的,使得 时，对恒有. 如此构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖.不妨记为，于是，总，使得当时，取，那么当时，恒有. 由定理2得，在一致收敛于. 2.6 类数项级数判别法 通过函数项级数，我们同样的可得到数项级数的很多特性,例如其收敛性等,可是函数项级数在一直连续性上和数项级数是有区别的，根据数项级数的收敛性一致收敛性判别法和函数项级数的一致收敛性判别法，可以明显看出,这两者的判别方式十分相近，例如其命名方面,比方它们都有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlete判别法等。对于函数项级数的一致收敛性,有没有和数项级数收敛性判别类似的方法,非常值得探索。因此,通过将比式判别法和根式判别法相结合,可以推出函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,相应的可以借用P级数的收敛性和优级数判别法得到函数项级数一致收敛性的对数判别法。 2.6.1 比式判别法 定理 (比式判别法)　设(x) 为定义在数集D上正的函数列,记 (x) = 存在正整数N 及实数q、M ,使得: ≤ q N , x ∈D 成立,那么函数项级数在D 上一致收敛。 证明： ,而等比级数，当公比时收敛，从而由函数项级数一致收敛的优级数判别法知，在上一致收敛. 推论3 (比式判别法的极限形式) 设为定义在数集Ｄ上的函数项级数, 记, 假设, 且在Ｄ上一致有界, 那么函数项级数在Ｄ上一致收敛。 证明: 由那么存在正整数, 使得当时, 有 , 由在Ｄ上一致有界, 那么对任意的正整数, 及任意的, 存在正整数, 使得, 令 , 那么有, 而几何级数当时收敛, 由函数项级数一致收敛的M判别法知在Ｄ上一致收敛, 得证。 例8 试证函数项级数在 ()上一致收敛。 证明: 因为 , 而 , 所以由比式判别法的极限形式知函数项级数在 ()上一致收敛。 2.6.2 根式判别法 定理 (根式判别法) 设为定义在数集Ｄ上的函数项级数, 假设, 那么函数项级数在Ｄ上一致收敛。 证明 由定理条件，，，成立，而几何级数