2023年选修21第三章空间向量与立体几何练习题及答案2.docx

第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 §空间向量及其加减运算 §空间向量的数乘运算 1. 以下命题中不正确的命题个数是( ) ①假设A、B、C、D是空间任意四点，那么有++ +=； ②对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，假设=x+y+z〔其中x、y、z∈R〕，那么P、A、B、C四点共面； ③假设、共线，那么与所在直线平行。 A.1 B.2 C.3 D.4 2.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，假设 =x+y+z，那么〔x，y，z〕为( ) A.〔，，〕 B.〔，，〕 C.〔，，〕 D.〔，，〕 3．在平行六面体ABCD－EFGH中，， 4.四边形ABCD中，=－2，=5+6－8，对角线AC、BD的中点分别为E、F，那么=_____________. _ C _ D _ A _ P _ _ B _ M 5.矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分成定比1，求满足的实数x、y、z的值. §3.1.3空间向量的数量积运算 1.正四棱柱中，=，为重点，那么异面直线与所形成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2．如图，设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，那么△BCD的形状是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 3．ABCD－A1B1C1D1 为正方体，那么以下命题中错误的命题为__________． 4．如图，：平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60° 〔1〕证明：C1C⊥BD； 〔2〕当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 §3.1.5空间向量运算的坐标表示 1．向量，，且平行四边形OACB的对角线的中点坐标为M，那么( ) A． B． C． D． 2．，，，那么向量( ) A．可构成直角三角形 B．可构成锐角三角形 C．可构成钝角三角形 D．不能构成三角形 3．假设两点的坐标是A〔3cosα，3sinα，1〕，B〔2cosθ，2sinθ，1〕，那么||的取值范围是( ) A．[0，5] B．[1，5] C．〔1，5〕 D．[1，25] C1 B1 A1 B A 4.设点C〔2a+1，a+1，2〕在点P〔2，0，0〕、A〔1，－3，2〕、B〔8，－1，4〕确定的平面上，那么a的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a，侧棱长为a.建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 3.2立体几何中的向量方法 1．到一定点〔1，0，1〕的距离小于或等于2的点的集合为( ) A． B． C． D． D1 C1 B1 A1 D A B C C 2. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 3. 斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知. 〔1〕求证：平面； 〔2〕求到平面的距离； 〔3〕求二面角余弦值的大小. B C B A C1 B1 A1 4. 如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60°. (1)证明：； 〔2〕求二面角A——B的大小. _ C _ D _ A _ S _ F _ B 5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. 〔1〕求证：AC⊥SD； 〔2〕假设SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 〔3〕在〔2〕的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE：EC的值； 假设不存在，试说明理由. 参考答案 第三章 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 §空间向量及其加减运算 §空间向量的数乘运算 1.A 2.A 3. 4.3+3－5 5. _ C _ D _ A _ P _ _ B _ M _ E 如以下图，取PC的中点E，连结NE，那么. ∵=， =， 连结AC，那么 ∴ =， ∴. §空间向量的数量积运算 1.C 2.B 3. ③④ 4.〔1〕设，那么，，所以，； 〔2〕， ，， 设，，， z C1 B1 A1 M B y A x 令，那么，解得，或〔舍去〕， §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.16 5. 〔1〕建系如图，那么A〔0，0，0〕 B〔0，a，0〕 A1〔0，0，a)，C1〔-a，) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M， 于是M〔0，〕，连结AM，MC1 那么有 ，， ∴，， 所以，MC1⊥平面ABB1A1. 因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角. ，， ，而|， 由cos<>=， <>=30°. ∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°. 立体几何中的向量方法 1.A 2.C 3. 〔1〕如右图，取的中点，那么，因为， 所以，又平面， 以为轴建立空间坐标系， 那么，，， ，， ，， ，由，知， 又，从而平面. 〔2〕由，得. 设平面的法向量为，，，所以 ，设，那么， 所以点到平面的距离. 〔3〕再设平面的法向量为，，， 所以 ，设，那么， 故，根据法向量的方向， 可知二面角的余弦值大小为. 4.〔1〕三棱柱为直三棱柱， ， ，， 由正弦定理. . 如右图，建立空间直角坐标系， 那么 ， ， . (2) 如图可取为平面的法向量， 设平面的法向量为， 那么， . 不妨取， . _ C _ D _ A _ S _ F _ B O . 5. 〔1〕连结，设交于于， 由题意知.以O为坐标原点， 分别为轴、轴、轴正方向， 建立坐标系如右图. 设底面边长为，那么高.于是 ， ，，， ，故.从而 . (2)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，那么，得所求二面角的大小为30°. 〔3〕在棱上存在一点使.由〔2〕知是平面的一个法向量，且 . 设 那么，而 .即当时，.而不在平面内，故. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军