2023年河北高考数学一轮复习知识点攻破习题等比数列doc高中数学.docx

等比数列 时间：45分钟　　　　分值：100分 　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每题5分，共30分) 1．设{an}是公比为正数的等比数列，假设a1＝1，a5＝16，那么数列{an}前7项的和为(　　) A．63 B．64 C．127 D．128 解析：∵公比q4＝＝16，且q>0， ∴q＝2，∴S7＝＝127，应选C. 答案：C 2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，那么＝ (　　) A．2 B．4 C. D. 解析：此题主要考查等比数列的通项公式及前n项和的公式． 设等比数列{an}的首项为a1， 那么S4＝15a1，a2＝2a1，＝，应选C. 答案：C 3．{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，那么a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ (　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C.(1－4－n) D.(1－2－n) 解析：∵q3＝＝，∴q＝，a1＝4，数列{an·an＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C. 答案：C 4．(2023·辽宁高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设＝3，那么等于 (　　) A．2 B. C. D．3 解析：设其公比为q. 由可得＝＝＝1＋q3＝3， ∴q3＝2.＝＝＝. 另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 那么可设S6＝3，S3＝1，那么(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7，故＝. 答案：B 5．(2023·广东高考)等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，那么当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ (　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 解析：由{an}为等比数列，那么a5·a2n－5＝a1·a2n－1＝22n， 那么(a1·a3·a5·…·a2n－1)2＝(22n)n⇒a1·a3·…·a2n－1＝2n2，故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝n2. 答案：C 6．等比数列{an}中a2＝1，那么其前3项的和S3的取值范围是 (　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：∵{an}是等比数列，a2＝1， S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a3＋1. 当q>0时，a1、a3>0，a1＋a3≥2＝2＝2，∴S3≥3. 当q<0时，a1、a3<0，a1＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]≤－2＝－2，∴S3≤－1. 综上可知，S3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．应选D. 答案：D 二、填空题(每题5分，共20分) 7．等比数列{an}的前n项和为Sn，S1,2S2,3S3成等差数列，那么{an}的公比为________． 解析：由题意知4S2＝S1＋3S3. ①当q＝1时，4×2a1＝a1＋3×3a1， 即8a1＝10a1，a1＝0，不符合题意，所以q≠1. ②当q≠1时，应有 4×＝a1＋3×， 化简得3q2－q＝0，得q＝或0(舍去)． 答案： 8．(2023·浙江高考)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，那么＝________. 解析：由S4＝，a4＝a1·q3， 那么＝＝15. 答案：15 9．设数列{an}为公比q>1的等比数列，假设a2022和a2023是方程4x2－8x＋3＝0的两根，那么a2023＋2023＝__________. 解析：解方程4x2－8x＋3＝0，得x＝或. 又q>1，∴a2022＝，a2023＝.∴q＝＝3. ∴a2023＋a2023＝(a2022＋a2023)·q2＝2×32＝18. 答案：18 10．(2023·浙江猜题卷)等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出以下结论：①0<q<1；②a99·a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是__________． 解析：①中⇒⇒q＝∈(0,1)，∴①正确． ②中⇒a99·a101<1，∴②正确． ③中⇒T100<T99，∴③错误． ④中T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1， T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a<1，∴④正确． 答案：①②④ 三、解答题(共50分) 11．(15分)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4a5a6＝212. (1)求首项a1和公比q的值； (2)假设Sn＝210－1，求n的值． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，那么由题设有a4a5a6＝a＝212⇒a5＝24＝16， ∴＝q2＝4⇒q＝2，代入a3＝a1q2＝4，解得a1＝1. (2)由Sn＝210－1，得Sn＝＝2n－1＝210－1，∴2n＝210，∴n＝10. 12．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈Nx)．其中m为常数，m≠－3，且m≠0. (1)求证：{an}是等比数列； (2)假设数列{an}的公比满足q＝f(m)且b1＝a1， bn＝f(bn－1)(n∈Nx，n≥2)，求证：{}为等差数列，并求bn. 解：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3， 得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3. 两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)． ∴＝(m≠－3)． 从而可以知道，数列{an}是等比数列． (2)当n＝1时，(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝＝1， ∴b1＝a1＝1，又q＝f(m)＝， ∴bn＝f(bn－1)＝·(n∈Nx且n≥2)． 得bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒－＝. ∴{}是以1为首项，为公差的等差数列． ∴＝1＋＝，故bn＝. 13．(20分)(2023·潮州模拟)数列{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，a3＝8，a6＝17，b1＝2，b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)． (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝log3bn，求证：数列{cn}是等差数列，并求出其公差和首项； (3)设Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，其中n＝1,2，…，求Un的值． 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由a3＝8，a6＝17得a1＋2d＝8① a1＋5d＝17② 由①②解得a1＝2，d＝3， 由b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)，得8q3＝9×24，解得q＝3. 所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为 an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝2·3n－1. (2)cn＝log3bn＝log32·3n－1＝log32＋(n－1)， cn＋1－cn＝(log32＋n)－(log32＋n－1)＝1， ∴数列{cn}是首项为log32，公差为1的等差数列． (3)由等比数列的性质知数列{b3n－2}是首项为2，公比为27的等比数列， 所以Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2 ＝＝(27n－1)．