2023年椭圆知识点总结及经典习题.doc

椭圆知识点总结及经典习题 圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}； 这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 〔时为线段，无轨迹〕。 2．标准方程： ①焦点在x轴上：〔a＞b＞0〕；焦点F〔±c，0〕 ②焦点在y轴上：〔a＞b＞0〕；焦点F〔0, ±c〕 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：或者 mx2+ny2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 〔1〕椭圆〔a＞b＞0〕横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b 〔2〕椭圆〔a＞b＞0〕横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 〔1〕椭圆的顶点：A1〔-a，0〕，A2〔a，0〕，B1〔0，-b〕，B2〔0，b〕 〔2〕线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 〔1〕我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率， 记作e〔〕， 是圆； e越接近于0 〔e越小〕，椭圆就越接近于圆; e越接近于1 〔e越大〕，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 小结一：根本元素 〔1〕根本量：a、b、c、e、〔共四个量〕， 特征三角形 〔2〕根本点：顶点、焦点、中心〔共七个点〕 〔3〕根本线：对称轴〔共两条线〕 5．椭圆的的内外部 〔1〕点在椭圆的内部. 〔2〕点在椭圆的外部. 6.几何性质 〔1〕点P在椭圆上， 最大角 〔2〕最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 〔1〕位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； 〔2〕弦长公式： 〔3〕中点弦问题：韦达定理法、点差法 例题讲解： 一.椭圆定义： １．方程化简的结果是 2．假设的两个顶点，的周长为，那么顶点的轨迹方程是 3.椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,那么P到另一焦点距离为 二．利用标准方程确定参数 1.假设方程+=1〔1〕表示圆，那么实数k的取值是 . 〔2〕表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 . 〔3〕表示焦点在y型上的椭圆，那么实数k的取值范围是 . 〔4〕表示椭圆，那么实数k的取值范围是 . 2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 , 3．椭圆的焦距为，那么= 。 4．椭圆的一个焦点是，那么 。 三．待定系数法求椭圆标准方程 1．假设椭圆经过点，，那么该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为 4. 三点P〔5，2〕、〔－6，0〕、〔6，0〕，求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； 变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。 四．焦点三角形 1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，那么的周长是 。 2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，那么的周长是多少？的面积的最大值是多少？ 3．设点是椭圆上的一点，是焦点，假设是直角，那么的面积为 。 变式：椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　假设， 求的面积． 五．离心率的有关问题 1.椭圆的离心率为，那么 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，那么此椭圆的离心率为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，那么椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 5.在中，．假设以为焦点的椭圆经过点，那么该椭圆的离心率 ． 六、最值问题： 1、椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。 2.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，那么|PF1|·|PF2|的最大值为_____， 七、弦长、中点弦问题 1、椭圆及直线． 〔1〕当为何值时，直线与椭圆有公共点？ 〔2〕假设直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 2椭圆， (1)求过点〔1,0〕且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程 〔2〕求过点且被平分的弦所在直线的方程； 同步测试 1F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，那么点P的轨迹为( ) A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，那么CDF1的周长为______ 3方程表示椭圆，那么k的取值范围是( ) A -10 C k≥0 D k>1或k0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 11、椭圆与〔0b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，那么椭圆的离心率的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，那么△F1PF2的面积是(　　) A. B. C. D. 3．椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，那么椭圆E的离心率等于(　　) 4点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，那么椭圆的离心率等于(　　) A. B. C. D. 5．椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确结论的个数为(　　) A．3　　　　 B．2　　　　 C．1　　　　 D．0 6．圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，那么动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，假设∠AOB＝90°(O为坐标原点)，那么椭圆C的离心率为________． 8假设椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，那么椭圆的离心率e的取值范围是________． 9．△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，那么＝________. 10．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4. (1)假设以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标； . 11．椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝. (1)求椭圆E的方程；