2023年哈工大天线原理马汉炎习题答案.doc

哈工大天线原理马汉炎习题答案 第一章 1-1 试用对偶原理，由电根本振子场强式〔1-5〕和式〔1-7〕，写出磁根本振子的场表示式。 对偶原理的对应关系为：Ee——Hm He——-Em J——Jm ρ——ρm μ——εε——μ 另外，由于，所以有k——k 式〔1-5〕为 式〔1-7〕为 因此，式〔1-5〕的对偶式为 式〔1-7〕的对偶式为 结合Imdl=jωμ0IS 有磁根本振子的场表示式为： 可以就此结束，也可以继续整理为 1-3 假设电根本振子辐射电场强度大小，天线辐射功率可按穿过以源为球心处于远区的封闭球面的功率密度的总和计算，即，为面积元。试计算该电根本振子的辐射功率和辐射电阻。 【解】首先求辐射功率 辐射电阻为 注意：此题应用到了 1-5 假设电根本振子辐射场公式，试利用方向性系数的定义求其方向性系数。 【解】方向性系数的定义为：在相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度Smax〔或场强Emax的平方〕，与无方向性天线在该方向上的功率密度S0〔或场强E0的平方〕之比。 首先求辐射功率 令该辐射功率为 其中E0是无方向性天线的辐射场强。 因此，可以求得 所以方向性系数 1-6 设小电流环电流为I，环面积S。求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式。假设1m长导线绕成小圆环，波源频率为1MHz，求其辐射电阻值。 电小环的辐射场幅度为： 首先求辐射功率 辐射电阻为 当圆环周长为1m时，其面积为，波源频率为1MHz时，波长为λ=300m。 所以，辐射电阻为RΣ=2.4×10-8 Ω。 1-7 试证明电根本振子远区辐射场幅值Eθ与辐射功率PΣ之间的关系为 【证明】电根本振子远区辐射场幅值 根据题目1-3可知电根本振子辐射功率为， 所以 代入到Eθ表达式中可以得到：所以有：1-9 试求证方向性系数的另一种定义：在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的条件下，无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数，记为 【证明】方向性系数的定义为：相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度Smax〔或场强Emax的平方〕，与无方向性天线在该方向上的功率密度S0〔或场强E0的平方〕之比。 假设有方向性天线的辐射功率为PΣ，最大辐射方向的辐射场为Emax，无方向性天线的辐射功率为PΣ0，辐射场大小为E0，那么有如下关系：=> 如果有方向性天线的方向性系数为D，那么根据定义，当其辐射功率为PΣ时，有 所以，当有Emax=E0时，那么有 1-11 一个电根本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点，如图示，假设，试证明远区任意点的辐射场均是圆极化的。 【证明】如图示的电根本振子和小电流环的辐射场分别为： 令 那么远区任一点辐射场为：这是一个右旋圆极化的电磁波。 1-13 设收发两天线相距r，处于极化匹配和阻抗匹配的最正确状态，且最大方向对准。假设工作波长为λ，发射天线输入功率Ptin，发射和接收天线增益系数分别为Gt、Gr，试证明接收功率为 【证明】满足题设三条件的情况下，根据天线增益的定义，可以得到发射天线在接收天线处产生的辐射场的最大功率密度为 接收天线的有效面积为 因此接收天线得到的最大接收功率为 1-15 假设干扰均匀分布于空间并从所有方向传到接收点，利用定向接收天线可以增大有用信号功率和外部干扰功率之比，试证明这一比值和天线的方向性系数成正比。 【证明】 设定向接收天线的方向性函数为F(θ,φ)，方向性系数为D，那么有如下关系： 设干扰的平均功率流密度大小Sn为常数，一个以接收点为中心的，半径为r的球面Σ包围了接收点，那么接收点处天线接收到的功率Pn为不同方向面积微元通过的被接收的干扰的积分： 设天线接收到的有用功率为Ps，那么有用功率与干扰功率之比为s=Ps/Pn∝D。 第二章 2-1 设对称振子臂长l分别为λ/2，λ/4，λ/8，假设电流为正弦分布，试简绘对称振子上的电流分布。 2-2 用尝试法确定半波振子、全波振子E面主瓣宽度。 半波振子的方向性函数为 可以看出，该函数关于θ=0和θ=π/2对称，并且当θ=π/2时，F〔θ〕有最大值1，因此计算θ=π/4~π/2之间的值即可。经过计算，当θ=51°时，F〔θ〕=0.708，因此，可以得到主瓣宽度为HPBW=2×〔90-51〕=78° 全波振子的方向性函数为 可以看出，该函数关于θ=0和θ=π/2对称，并且当θ=π/2时，F〔θ〕有最大值1，因此计算θ=π/4~π/2之间的值即可。经过计算，当θ=66.1°时，F〔θ〕=0.707，因此，可以得到主瓣宽度为HPBW=2×〔90-66.1〕=47.8° 2-3 试利用公式〔1-51〕，求半波振子、全波振子的方向性系数。 【解】公式〔1-51〕为 对于对称振子，fmax=1-coskl 所以此题可以列表答复：天线种类 kl fmax RΣ D 半波振子 π/2 1 73.1Ω 1.64 全波振子 π 2 200Ω 2.4 2-4试利用公式〔1-85〕，分别求解半波振子和全波振子的有效面积。 【解】有效面积的公式为 利用2-3题的结论可以列出下表：天线种类 kl fmax RΣ D Se 半波振子 π/2 1 73.1Ω 1.64 0.13λ2 全波振子 π 2 200Ω 2.4 0.19λ2 2-5 试利用公式〔2-24〕或〔2-25〕，求半波振子、全波振子的有效长度。 【解】公式〔2-24〕是采取以归算电流为输入电流计算的有效长度 公式〔2-25〕是采用了归算电流为波腹电流计算的有效长度 所以此题可以列表答复。 天线种类 kl fmax RΣ D le〔2-24〕le〔2-25〕半波振子 π/2 1 73.1 1.64 0.318λ (λ/π) 0.318λ (λ/π) 全波振子 π 2 200 2.4 ∞ 0.637λ (2λ/π) 2-6 对称振子臂长l=35cm，振子臂导线半径a=8.625mm，假设工作波长λ=1.5m，试计算该对称振子的输入阻抗的近似值。 对称振子臂长l=35cm，a=8.625mm，λ=1.5m，那么有：①利用公式〔2-29〕求得Z0A=120×〔ln2l/a-1〕=120×[ln〔2×350/8.625〕-1]=408Ω，刚好介于图2-9的340和460之间。 ②l/λ=0.233，根据图2-9的〔a〕和〔b〕可以分别查得：Zin=70+j0Ω，需要注意：这里的数字读取得很粗略。 还有一种方法：利用公式〔2-32〕进行计算。 首先计算l/〔2a〕=20.3， l/λ=0.233， 并利用公式〔2-29〕求得Z0A=120〔ln2l/a-1〕=120×〔ln2×350/8.625-1〕=408Ω；查图2-8，得n=1.05 查图2-5，RΣm=70Ωβ=n2π/λ=2.1×π/λ 利用公式〔2-31〕求得αA=0.753/λ,然后代入公式〔2-32〕，最终求得Zin=69.4-21.4Ω。 2-7 试计算电流呈三角形分布短天线的方向性系数和有效高度。 【解】 电流呈三角形分布的电流表达式为：，|z|≤l，IA为输入点电流。这是对称振子当l0区域的局部。 E面〔xoz平面〕的上述因子表达式为：①阵元方向性函数：|| ②地面上阵轴为x轴方向的等幅同相二元阵〔m=1，ξ=0，d=λ/2〕阵因子：|| ③地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为z方向的等幅反相二元阵〔m=1，ξ=π，d=λ〕的阵因子：|| 最终E面〔xoz平面〕总的阵方向图为FE(θ)=|××| 可以化简结果为，注意不要忘记书写绝对值符号，这里θ为观察方向与+z轴夹角，而δ那么为观察方向与+x轴〔阵轴〕夹角，在xoz平面上有θ+δ=π/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用θ或者φ〔xoy平面上观察方向与+x轴夹角〕，这样便于标准化。 类似地，可以求得H面〔yoz平面〕的上述因子表达式为：①阵元方向性函数：1〔令E面的θ=0即可〕②地面上阵轴为x轴方向的等幅同相二元阵〔m=1，ξ=0，d=λ/2〕阵因子：1〔令E面的θ=0即可〕③地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为z方向的等幅反相二元阵〔m=1，ξ=π，d=λ〕的阵因子：||〔因为H平面平行于阵轴，所以方向性函数不变〕最终H面〔yoz平面〕总的阵方向图为FH(θ)=|| 方向图如下：E面↓ H面↑ 3-14 2元垂直接地振子如图排列，试求：天线系统方向性函数，画出含两振子轴平面的方向图。 设大地所在平面为xoy平面，振子轴向平行于z轴，地面上的阵列阵轴那么平行于x轴。 E面为xoz平面，H面为xoy平面 天线阵系统最终的方向图由两个因子乘积所得：①阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数 ②地面上阵轴为x轴方向的等幅二元阵〔m=1，ξ=-π/2，d=λ/4〕阵因子 需要注意的是：最终只取z>0区域的局部。 E面〔xoz平面，含振子轴平面〕的上述因子表达式为：①阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数：|| ②地面上阵轴为x轴方向的等幅二元阵〔m=1，ξ=-π/2，d=λ/4〕阵因子：|| 最终E面〔xoz平面〕总的阵方向图为FE(θ)=|×| 注意不要忘记书写绝对值符号，这里θ为观察方向与+z轴夹角，而δ那么为观察方向与+x轴〔阵轴〕夹角，在xoz平面上有θ+δ=π/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用θ或者φ〔xoy平面上观察方向与+x轴夹角〕，这样便于标准化。 类似地，可以求得H面〔xoy平面〕的上述因子表达式为：①阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数：1〔令E面的θ=π/2即可〕②地面上阵轴为x轴方向的等幅二元阵〔m=1，ξ=-π/2，d=λ/4〕阵因子：||〔因为H平面平行于阵轴，所以方向性函数不变，但是自变量变为φ〕最终H面〔xoy平面〕总的阵方向图为FH(θ)= 方向图如下：E面↓ H面↑ 3-15 两半波振子并列且垂直于无穷大理想导电地平面，相距λ/2，中心高度为λ/4，两振子电流等幅反相。画出E面和H面方向图。 设大地所在平面为xoy平面，振子轴向平行于z轴，地面上的阵列阵轴那么平行于x轴。 E面为xoz平面，H面为xoy平面 天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得：①阵元方向性函数 ②地面上方阵轴为x轴方向的等幅反相二元阵〔m=1，ξ=π，d=λ/2〕阵因子 ③地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为z方向的等幅同相二元阵〔m=1，ξ=0，d=λ/2〕的阵因子 需要注意的是：最终只取z>0区域的局部。 E面〔xoz平面〕的上述因子表达式为：①阵元方向性函数：|| ②地面上方阵轴为x轴方向的等幅反相二元阵〔m=1，ξ=π，d=λ/2〕阵因子：|| ③地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为z方向的等幅同相二元阵〔m=1，ξ=0，d=λ/2〕的阵因子：|| 最终E面〔xoz平面〕总的阵方向图为 FE(θ)=| ××| 可以化简结果为，注意不要忘记书写绝对值符号，这里θ为观察方向与+z轴夹角，而δ那么为观察方向与+x轴〔阵轴〕夹角，在xoz平面上有θ+δ=π/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用θ或者φ〔xoy平面上观察方向与+x轴夹角〕，这样便于标准化。 类似地，可以求得H面〔xoy平面〕的上述因子表达式为：①阵元方向性函数：1〔令E面的θ=π/2即可〕②地面上方阵轴为x轴方向的等幅反相二元阵〔m=1，ξ=π，d=λ/2〕阵因子：||〔因为H平面平行于阵轴，所以方向性函数不变，但是自变量变为φ〕③地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为z方向的等幅同相二元阵〔m=1，ξ=0，d=λ/2〕的阵因子：1〔令E面的θ=π/2即可〕最终H面〔yoz平面〕总的阵方向图为FH(θ)=|| 方向图如下：E面↓