2023年八年级数学上册第12章同步练习题全套7.docx

（第二课时） ◆随堂检测 中，=，的垂直平分线与所在的直线相交所成的角为，那么底角的度数为___________． 2.等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两局部，那么等腰三角形的腰长为___________． 3.如图，AB=AC，∠A=36º，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，求证： （1）BD平分∠ABC （2） △BCD为等腰三角形 4．沿矩形ABCD的对角线BD翻折△ABD得△A/BD,A/D交BC于F,如下列图,△BDF是何种三角形？请说明理由. ◆典例分析 ，如下列图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，请说明 AC=AB+BD。 分析：利用线段的截长补短，构造全等三角形，把分散的条件集中到一起，来解决此题。 方法一：采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段。 解：在线段AC上截取点E，使AE=AB，连结DE。 ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE 在△ABD和△AED中 AB=AE ∠BAD=∠DAE AD=AD ∴△ABD≌△AED ∴BD=DE ∠B=∠AED ∵∠B=2∠C ∴∠AED=2∠C ∵∠AED=∠C+∠EDC ∴∠C=∠EDC ∴ED=EC ∴BD=EC ∵AC=AE+EC ∴AC=AB+BD 方法二：采用补短法：延长较短线段和较长线段相等。 解：延长线段AB至点F，使AF=AC，连结DF。 ∵AD平分∠BAC ∴∠FAD=∠CAD 又∵AC=AF AD=AD ∴△AFD≌△ACD ∴∠F=∠C ∵∠ABC=2∠C ∴∠ABC=2∠F 又∵∠ABC=∠F+∠BDF ∴∠F=∠BDF ∴BF=BD ∵AF=AB+BF ∴AF=AB+BD ∴AC=AB+BD 点评：利用构造全等三角形来解决一些问题是我们在做题过程中经常遇到的解题方法，下面就利用一例题来说明一下利用三角形全等来证明一条线段等于另外两条线段和的方法。 ◆课下作业 ●拓展提高 1.如图，线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，△ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ） A. （1）　　　B. （2）　　　C.（3）　　　 D. （4） 2.点A和点B，以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形，那么一共可作出（ ）． A.3个 B.4个 C.6个 D.7个 D N M C B A 3. △ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D，假设∠A＝36°，那么以下结论中成立的有_____________，并且证明结论的正确性． ①∠C＝72° ②BD是∠ABC的平分线 ③△ABD是等腰三角形 ④△BCD的周长＝AC+BC 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于F.求证：点E在AF的垂直平分线上. A E 1 F 2 B C D 5.如下列图，在△ABC中，D为BC上的一点，连结AD，点E在AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD垂直平分BC。 6.如下列图，，点是的交点，点是的中点．试判断和的位置关系，并给出证明． C O E A B D 7.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，BC=5cm求△PED的周长． 8.：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， （1） 如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF， （2） 试说明△DEF为等腰直角三角形． （2） 假设E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF， （3） 其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？ （4） 请说明理由. 9.小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． A C D B 图① A C D B 图② F E （2）实践与运用 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小． E DD C F B A 图③ E D C A B F G A D E C B F G 图④ 图⑤ ●体验中考 1（2023年山东泰安市）如图，△ABC中，D是BC的中点，DE∥AB，BF平分∠ABC，交DE于点F，假设BC=6，那么DF的长是 A.2 B.3 C. 2.(2023新疆乌鲁木齐市)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式： ①，②，③，④． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成 王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可） B E D A C 参考答案： ◆随堂检测 1.解析：条件中的垂直平分线相交的具体位置不确定，从题意上看，故只考虑的垂直平分线与另一腰（或另一腰的延长线）相交时，会掉进命题“陷阱〞，出现漏解现象．所以此问题应分为的垂直平分线与另一腰相交和的垂直平分线与另一腰的延长线相交两种情形，如图1所示，即（1）当的垂直平分线与腰相交，且时，底角∠B的度数为；（2）的垂直平分线与腰的延长线相交，且时，那么，所以底角的度数为． A C B D E E A D B C （1） （2） 图1 ：条件中未具体指明等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分成的哪两局部的大小，从题意上看，故只考虑一局部长度为9（或12）时，会掉进命题“陷阱〞，出现漏解现象．所以此问题应分为一局部长度为9 和12两种情形，如图2所示，即（1）当+=12、+=9时，解得=8、=5；（2）当+=9、+=12时，解得=6、=9．所以它的腰长为8或6． 图2 A D B C （2） A C B D （1） 总之，解等腰三角形问题时，假设题中未给出图形，那么应考虑按一定标准进行分类讨论，获取完整的解答，更应尽量防止因思维定势造成漏解的情形． 3.证明：∵AB=AC，∠A=36º ∴∠ABC=∠C=72º ∵MN为AB的中垂线 ∴AD=BD 那么∠A=∠1=36º ∴∠2=36º，∠BDC=180º-36º-72º=72º，因此，BD平分∠ABC △BCD为等腰三角形 4.解:△BDF是等腰三角形 ∵△ABD翻折后得△A/BD ∴△ABD≌△A/BD ∴∠1＝∠2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3 ∴BF＝DF（等角对等边） ∴△BDF是等腰三角形 ◆课下作业 ●拓展提高 “在射线DA上截取一点A，使DA=h〞. 解：选（C）. 析：此题没有指明AB的腰还是底边，所以需分类讨论． （1）以AB为底边，有C1、C2两个点符合要求，如图2； （2）以AB为腰，有C3、C4、C5、C6四个点符合条件，如图3． 综合（1），（2）可知一共可作出6个等腰三角形，所以选（C）． 3.分析：这是课本上例题改编的，平时的学习要注意把课本知识知识学扎实，此题考查的知识点较多需要综合运用知识解决问题的能力要求较高．正确的结论有①②③④　 4.分析：此题可运用线段垂直平分线的性质定理证明BE=DE，再结合等腰三角形两底角相等、对顶角相等及等角的余角相等推出EA=EF，从而运用线段垂直平分线的判定定理获证. 证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点， ∴EB=ED. A 又∵∠ACB=90°， E ∴∠A=90°—∠B，∠2=90°—∠D. 1 F ∴∠2=∠A. 2 又∵∠1=∠2， B C D ∴∠1=∠A. ∴EF=EA. ∴点E在AF的垂直平分线上. 5.解析：通过条件得出EB=EC，AB=AC，从而证明出AD垂直平分BC。 证明： 因为∠1=∠2， 所以EB=EC， 所以点E在线段BC的垂直平分线上。 又因为∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠ABC=∠ACB， 所以点A也在线段BC的垂直平分线上。 所以AD垂直平分BC。 6.解析：通过所给条件可以证出 ，得出，利用三线合一即可 解： ． 证明：在和中， ． ， ． 又． 7.解析：因为BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的平分线，所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因为PD//AB，所以∠1=∠5，所以∠2=∠5，所以BD=PD（等角对等边） 因为PE//AC，所以∠4=∠6，所以∠6=∠3，所以PE=EC，（等角对等边） 所以△PDE的周长等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm． 点评：“等角对等边〞是等腰三角形识别的重要方法，此题主要通过角的平行线以及平行线特征，运用“等边对等角〞来解决问题的． 8.解析：第（1）问要说明△DEF为等腰直角三角形，就要说明DE=DF且∠EDF=900， 这就要构造两个三角形全等，由题意BE＝AF，再加上三角形ABC是等腰直角三角形， 图1 D为BC的中点的条件，显然要连接AD而到达目的；第（2）问，只要在第（1）问的根底上很容易猜想到，说明方法也类似． 解：①连结，因为 ∠BAC＝90０，为BC的中点， 所以AD⊥BC ，BD＝AD ，所以∠B＝∠DAC＝45°， 又BE＝AF，所以△BDE≌△ADF （S.A.S） 所以ED＝FD ∠BDE＝∠AD