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2023年中国科学大学随机过程孙应飞复习题及答案.docx
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2023 年中 科学 大学 随机 过程 孙应飞 复习题 答案
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案 中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案 (1) 设是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为,且是一个周期为的函数,即,求方差函数。 解:由定义,有: (2) 试证明:如果是一独立增量过程,且,那么它必是一个马尔可夫过程。 证明:我们要证明: ,有 形式上我们有: 因此,我们只要能证明在条件下,与相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当时,增量与相互独立,由于在条件和下,即有与相互独立。由此可知,在条件下,与相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程为零初值()的、有平稳增量和独立增量的过程,且对每个,,问过程是否为正态过程,为什么? 解:任取,那么有: 由平稳增量和独立增量性,可知并且独立 因此是联合正态分布的,由 可知是正态过程。 (4) 设为为零初值的标准布朗运动过程,问次过程的均方导数过程是否存在?并说明理由。 解:标准布朗运动的相关函数为: 如果标准布朗运动是均方可微的,那么存在,但是: 故不存在,因此标准布朗运动不是均方可微的。 (5) 设,是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数,并问在均方意义下,是否存在,为什么? 解:泊松过程的转移率矩阵为: 其相关函数为:,由于在,连续,故均方积分存在。 (6) 在一计算系统中,每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关,以0表示误差状态,1表示无误差状态,设状态的一步转移矩阵为: 试说明相应齐次马氏链是遍历的,并求其极限分布(平稳分布)。 解:由遍历性定理可知此链是遍历的,极限分布为。 (7) 设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下: (a)写出切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程); (b)求步转移概率矩阵; (c)试问此马氏链是平稳序列吗? 为什么? 解:(a)略 (b) (c)此链不具遍历性 (8) 设,其中为强度为的Poission过程,随机变量与此Poission过程独立,且有如下分布: 问:随机过程是否为平稳过程?请说明理由。 由于: 故是平稳过程。 (9) 设,其中与独立,都服从 (a)此过程是否是正态过程?说明理由。 (b)求此过程的相关函数,并说明过程是否平稳。 证明:(a)任取 ,那么有: 由于与独立,且都服从,因此可得服从正态分布,由上式可知随机向量 服从正态(高斯)分布,所以过程是正态(高斯)过程。 (b)由: 由于相关函数不是时间差的函数,因此此过程不是平稳过程。 (10) 设,是零初值、强度的泊松过程。 (a)求它的概率转移函数; (b)令,说明存在,并求它的二阶矩。 解:(a) (b)先求相关函数: 对任意的,在处连续,故均方连续,因此均方可积,存在。 将代入计算积分即可。 由,得: (11) 设一口袋中装有三种颜色(红、黄、白)的小球,其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球,有放回,且视摸出球地颜色计分:红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计积分, (a),是否齐次马氏链?说明理由。 (b)如果不是马氏链,写出它的有穷维分布函数族; 如果是,写出它的一步转移概率和两步转移概率。 (c)令,求。 解:(a)是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关,因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为:。 (b) (c)即求首达概率,注意画状态转移图。 (12) 考察两个谐波随机信号和,其中: 式中和为正的常数; 是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)假设与独立,求与的互相关函数。 解:(a) , (b) (13) 令谐波随机信号: 式中为固定的实数; 是内均匀分布的随机变量,考察两种情况: (a)幅值为一固定的正实数; (b)幅值为一与独立,分布密度函数为的随机变量; 试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗? (a)如12题(b)略 (14) 设是一强度为的Poission过程,记,试求随机过程的均值和相关函数。 解:利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得: (15) 研究以下随机过程的均方连续性,均方可导性和均方可积性。当均方可导时,试求均方导数过程的均值函数和相关函数。 (a),其中是相互独立的二阶矩随机变量,均值为,方差为; (b),其中是相互独立的二阶矩随机变量,均值为,方差为。 略 (16) 求以下随机过程的均值函数和相关函数,从而判定其均方连续性和均方可微性。 (a),其中是参数为1的Wienner过程。 (b),其中是参数为的Wienner过程。 解:(a) 连续,故均方连续,均方可积。 (b) 均方连续,均方可积。 (17) 讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。 解:略。 (18) 设有平稳随机过程,它的相关函数为,其中为常数,求(为常数)的自协方差函数和方差函数。 解:略。 (19) 设有实平稳随机过程,它的均值为零,相关函数为, 假设,求的自协方差函数和方差函数。 解: (20) 设和是参数分别为和的时齐Poission过程,证明在的任一到达时间间隔内,恰有个事件发生的概率为: 证明:令为的任一到达时间间隔并且,即的分布密度为: 由此可知: (21) 设随机振幅、随机相位正弦波过程,其中随机变量和相互独立,且有分布: 令: 试求过程的均值函数。 解:由定义,随机过程的均值函数为: 而 由于当时,随机变量的分布密度为: 因此有: 即: (22) 设有一泊松过程,固定两时刻,且,试证明 证明:由于,有 其中 所以 (23) 设为零均值的标准布朗运动,和为两个待定的正常数(),问在什么情况下仍为标准的布朗运动?说明理由。 解:由为标准布朗运动可知为正态过程,由正态分布的性质可知为正态过程,令,那么有 因此,要使仍为标准的布朗运动,必须,即: (24) 设有无穷多只袋子,各装有红球只,黑球只及白球只。今从第1个袋子随机取一球,放入第2个袋子,再从第2个袋子随机取一球,放入第3个袋子,如此继续。令 (a)试求的分布; (b)试证为马氏链,并求一步转移概率。 解:(a)的分布为: (b)的一步转移概率为: (25) 设有随机过程,与是相互独立的正态随机变量,期望均为0,方差分别为和。证明过程均方可导,并求导过程的相关函数。 证明:计算得: 由于相关函数的导数为: 它是一连续函数,因此过程均方可导,导过程的相关函数由上式给出。 (26) 设是初值为零标准布朗运动过程,试求它的概率转移密度函数。 解:由标准维纳过程的定理:设为标准维纳过程,那么对任意,的联合分布密度为: 其中: 可知:当时,的联合分布密度为: 的分布密度为: 因此 (27) 设有微分方程,初值为常数,是标准维纳过程,求随机过程在时刻的一维概率密度。 解:方程的解: 由于为维纳过程,故为正态过程,因此有: 故的一维概率密度为: (28) 设给定随机过程及实数,定义随机过程 试将的均值函数和自相关函数用过程的一维和二维分布函数来表示。 解:由均值函数的定义,有: 由自相关函数的定义,有: (29) 设是一个零均值的平稳过程,而且不恒等于一个随机变量,问是否仍为平稳过程,为什么? 不是平稳过程 (30) 设为平稳过程,其自相关函数是以为周期的函数,证明:是周期为的平稳过程。 证明:由于 由切比雪夫不等式有: 由相关函数的周期性,可知:对于,有: 因此 即是周期为的平稳过程。

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