2023年高中数学奥赛系列辅导资料竞赛中的三角函数立体选讲教案.docx

竞赛中的三角函数例题选讲 【内容综述】 一．三角函数的性质 1．正，余弦函数的有界性 对任意角，，　 2．奇偶性与图象的对称性 正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，同时y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，同时其图象还关于直线对称 3．单调性 y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。 4．周期性 y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是π。 　　【例题分析】 　　 例1 已经知道圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，务实数k的取值范围。 　　解 由于是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，因此，图只需覆盖的一个最值点即可。 　　令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的间隔不超过|k|，即 　　 　　 　　综上可知，所求的K 为满足的一实在数。 　　例2 已经知道，且 　　 　　求 cos(x+2y)的值。 　　解 原方程组可化为 　　 　　由于因此令 ，那么在上是单调递增的，因此由 　　得 f(x)=f(-2y) 　　得 x=-2y 　　即 x+2y=0 　　 　　例3 求出（并予以证明）函数 　　解 首先，对任意，均有 　　 　　 　　这说明，是函数f(x)的一个周期 　　其次，设，T是f(x)的一个周期，那么对任意，均有 　　 　　在上式中，令x=0，那么有 　　。 　　两边平方，可知 　　 　　即 sin2T=0，这说明，矛盾。 　　综上可知，函数的最小正周期为。 　　例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得 　　sin(cosc)=c, cos(sind)=d 　　证，构造函数 　　f(x)=cos(sinx)-x 　　f(x)在区间内是单调递减的，由于 　　f(0)=cos(sin0)-0=1>0. 　　 　　故存在唯一的，使f(d)=0，即 　　cos(sind)=d 　　对上述两边取正弦，并令c=sind，有 　　sin(cos(sind))=sind 　　sin(cosc)=c 　　显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，因此c也是唯一的，且 　　例4 已经知道对任意实数x，均有 　　 　　求证： 　　证 首先，f(x)能够写成 　　① 　　其中是常数，且， 　　 　　在①式中，分别令和得 　　② 　　③ 　　②+③，得 　　 　　 　　又在①式中分别令，得 　　④ 　　⑤ 　　由④+⑤，得 　　 【才能训练】 （A组） 1．求函数的单调递增区间 2．已经知道是偶函数，，求 3．设，，试比拟的大小。 4．证明：对因此实数x,y，均有 5．已经知道为偶函数，且t满足不等式，求t的值。 （B组） 6．已经知道，且满足： （1）；（2）； （3）。 求f(x)的解析式 7．证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式 8．已经知道当时，不等式 恒成立，求的取值范围。 9．设，，求乘积的最大值和最小值。 参考答案 【才能训练】 A组 　　1． 　　2．由偶函数的定义，有 　　 　　 　　 　　上式对任意成立，故 　　 　　因此 　　3．首先，又 　　 　　 　　， 　　即 　　4．只需证明不能同时成立，假设不然，那么存在整数m,n,k,使得 　　 　　 　　即 　　矛盾 　　5．由题设，得 　　 　　即 　　由于上式对任意x成立，故sint=1，结合，即-1<t<4 可知 　　B组 　　6．由可得a+2b+4c=1524① 　　（1）当且b>0时，有 　　 　　此方程组与①联立后无解 　　（2）当且b<0 有 　　 　　如今a=4,b=-40, c=400 　　（3）当a>0且有 　　 　　此方程组与①联立后无解。 　　（4）当a<0且，有 　　 　　此方程组与①联立后无解， 　　得上可知，。 　　7．原不等式等价于 　　 　　假设，那么 　　假设 　　故原不等式成立 　　8．令，由条件可得因此在第I象限，原不等式可化为 　　 　　由于结合原不等式对任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即 　　 　　 　　 　　9．由条件知，因此