2023年高中数学奥赛系列辅导资料函数奥赛竞赛练习教案.docx

函数奥赛竞赛练习 一、选择题 1．（2022年北京市中学生数学竞赛）已经知道函数y=f(x)有反函数，现将y=f(2x-1)的图象向左平移2个单位，所得图形表示的函数的反函数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2022年全国高中数学联赛）函数的值域为_____。 3．（2022年全国高中数学联赛）不等式的解集为___________。 4．（2022年北京市中学生数学竞赛）函数f(x)关于任意非负实数x、y都满足，且f(x)≥0，f(1)≠0，那么=______。 三、解答题 5．（2022年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2，设g(x)=f(x)-x， （1）求证g(x)是周期函数； （2）假设f(998)=1002，求f(2022)的值。 6．（2022年全国高中数学联赛）假设函数在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求区间[a，b]。 7．（第一届“希望杯〞全国邀请赛试题）求函数 在区间[-1，1]上的值域。 8．（第九届“希望杯〞全国邀请赛试题）假设实数x满足不等式 。试求函数的最大值。 9．（2022年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）作函数的图象。 10．（2022年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）函数是偶函数依然奇函数？ 11．（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国挪动通讯将于3月21日开场在所属18个省、市挪动通讯公司陆续推出“全球通〞挪动资费“套餐〞，这个：“套餐〞的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。 详细方案如下： 方案代号 根本月租（元） 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元/分钟） 1 30 48 0．60 2 98 170 0．60 3 168 330 0．50 4 268 600 0．45 5 388 1000 0．40 6 568 1700 0．35 7 788 2588 0．30 原计费方案的根本月租为50元，每通话一分钟付元，请咨询： （1）“套餐〞中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式； （2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱； （3）据中国挪动2022年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，假设一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由。 参考答案 1．A 由于“抽象〞没有详细的函数表达式，使标题显得有些难，化难为易的方法因而也确实是化抽象为详细，不妨设f(x)=x+1（如此符合原题“f(x)有反函数〞的规定）。因而以下种种全详细化了。反函数是，，向左平移2个单位所得图形表示的函数。这个函数的反函数，再与4个选择来对照。 A项是符合， B项是不合， C项是不合， D项是不合。应选A。 2． 两边平方得，从而且。 由或y≥2。 任取y≥2，由，易知x≥2，因而。 任取，同样由，易知x≤1。 因而。 因而，所求函数的值域为。 3． 等价于或。即或。 如今，或或。 ∴解为x>4或0<x<1或。 即解集为。 4． 这题f(x)不容易详细化，但是它的值那么是能够详细化的。例如设x=0，y=0。 那么由， 得，，f(0)=0。 再设x=0，y=1。 得，以f（0）=0代入，已经知道f(1) ≠0， ∴。 设x=1，y=1， 得， 即。 设x=2，y=1， 得， 。 设x=0，，得， ∴。 设x=0，， 得， 即，。 至此可求， 。 5．解：本例的难度显然又有增加，主要是难以详细化。只能在抽象的层面来处理咨询题 （1）g(x)=f(x)-x， 可得g(x+2)=f(x+2)-x-2， g(x+3)=f(x+3)-x-3， 再以f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2代换，可得 ，① ，② 由①可得g(x+4) ≥f(x+2)-x-2 ≥f(x)+2-x-2=f(x)-x， g(x+6) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③ 由②可得g(x+6) ≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。 ∴g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期） （2）2022-998=1002是6的整数倍，因而 g(2022)=g(998)，即f(2022)-2022=f(998)-998 f(2022)=f(998)+1002=1002+1002=2022。 此题的不同之处在于没有“详细化〞，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以到达证明的目的。 6．解f(x)的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令，且，即可得关于a、b的方程组，解出a、b的值。 当a值由负值增大到正值时，区间[a，b]在x轴上自左向右挪动，因而在求f(x)的最值时，须按区间[a，b]的位置分类求解。 f(x)图象顶点坐标为 ，。 （1）当a<b<0时， 由f(x)在[a，b]上单调递增得，f(a)=2a，且f(b)=2b 即 因而a、b是二次方程的两个负根，但此方程两根异号，故区间[a，b]不存在 （2）当a<0<b时， f(x)在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，因而f(x)在x=0处获得最大值，在区间端点x=a或x=b处获得最小值， 即 那么， ∴， 解得， 因而得区间。 （3）当b>a≥0时 由f(x)在[a，b]上单调递减得，f(a)=2b，且f(b)=2a， 即 解得或（舍去） 即得区间[1，3]。 综上所述，所求区间为[1，3]或 7．解：。值域为。 8．解：。。 9．解：研究2种情况。 ①，即x≥1。因而 。 ②，即x<1。因而 。 图象如以下图。 10．解：非常明显关于任一x∈R，，由此f(x)的定义域为R。 研究和 。 因而，对任何x∈R，f(-x)=-f(x)，这说明f(x)是奇函数。 11．解：（1） （2）当0≤t≤600时，解不等式≥268，得545≤t≤600（t∈N）， 当t>600时，解不等式50≥268+0.45(t-600)，得600<t≤1040(t∈N)， 综上，545≤t≤1040时（t∈N），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱。 （3）由于按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即×320），因而，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐〞中的前三种方式。 第一种方式的话费为：30+0.6×（320-48）=（元）； 第二种方式的话费为：×（320-170）=188（元）； 第三种方式的话费为：168元。 应选择第三种方式。 事实上，相关于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算。