2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案平面向量109离散型随机变量的期望与方差microsoftword文档doc高中数学.docx

10.9离散型随机变量的期望与方差 一、明确复习目标 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差. 二．建构知识网络 1.平均数及计算方法 (1)对于n个数据x1，x2，…，xn，=（x1+x2+…+xn）叫做这n个数据的平均数， (2)当数据x1，x2，…，xn的数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，= +a. (3)如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（f1+f2+…+fk=n），那么=,叫加权平均数. 2.方差及计算方法 (1)对于一组数据x1，x2，…，xn， s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］ 叫做这组数据的方差，而s叫做标准差. (2)方差公式: s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］ (3)当数据x1，x2，…，xn中各值较大时，可将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a 那么s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n］ 3.随机变量的数学期望: 一般地，假设离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 那么称 Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn… 为ξ的数学期望，简称期望.也叫平均数,均值. (1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)期望的一个性质:E(aξ+b)=aEξ+b （3）求期望的方法步骤： ①确定随机变量的所有取值; ②计算第个取值的概率并列表; ③由期望公式计算期望值。 4. 方差: Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+… (1) 标准差:Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作 (2)方差的性质： D(aξ+b)=a2Dξ; Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2 (3)方差的求法步骤： ①求分布列; ②求期望; ③由公式计算方差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 5.会用求和符号Σ:如Eξ=xi pi，Dξ=（xi－Eξ）2pi， 6.二项分布的期望和方差：假设ξ～B(n，p)，那么Eξ=np, np(1-p) 7.几何分布的期望和方差：假设ξ服从几何分布g(k，p)= ，那么 ， 证明: 令 ， 三、双基题目练练手 1.（2023江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A.9.4, 0.484 B．9.4, 0.016 C．9.5, 0.04 D．9.5, 0.016 2.设导弹发射的事故率为0.01，假设发射10次，其出事故的次数为ξ，那么以下结论正确的选项是 ( ) A.Eξ=0.001 B.Dξ=0.099 C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910－k D.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k 3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为 A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 4. (2023福建)一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，那么向上的数之积的数学期望是＿＿＿。 5. (2023四川)设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的数学期望Eξ＝3，那么ａ＋ｂ＝__________ 6.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，那么自动包装机________的质量较好. 7.假设随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数，那么的最大值为 . 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，从而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2. ==2－（2p+）≤2－2 当且仅当2p=，即p=时，取得最大值2－2. ◆答案:1-3.DBC; 3. P（ξ=0）=0.43，P（ξ=1）=0.6×0.42，P（ξ=2）=0.6×0.4，P（ξ=3）=0.6，Eξ=2.376; 4.; 5. 得,∴ . 6.包装的重量的平均水平一样,甲机包装重量的差异大，不稳定,答案：乙 四、经典例题做一做 【例1】 (1)一枚骰子的六个面上标有1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上面的点数为ξ,求Eξ、E(2ξ+3)和Dξ。 (2) 假设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)= (k=1，2，3，…，n)，求Eξ和Dξ。 (3)一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，总分值150分，某学生选对每一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。 解：(1)Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x6P6=1×+2×+3×+…+6×=3.5 E(2ξ+3)=2Eξ+3=10 Dξ=(x1-Eξ)2P1+(x2-Eξ)2P2+…+(x6-Eξ)2P6 =[(1-3.5)2+(2-3.5)2+…(6-3.5)2]=17.5×=2.92 (2) Eξ=(1+2+…+n)= Dξ=Eξ2-(Eξ)2=(n2-1) (3)设ξ为该生选对试题个数，η为成绩。那么ξ～B(50，0.7)，η=3ξ ∴Eξ=50×0.7=35；Dξ=50×0.7×0.3=10.5 故Eη=E(3ξ)=3Eξ=105 Dη=D(3ξ)=9Dξ=94.5 【例2】(2023年安徽)在添加剂的搭配使用中，为了找到最正确的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和， （Ⅰ）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）. （Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ.（要求写出计算过程或说明道理）. 解：（I）ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P （II）由ξ的定义得 . 【例3】(2023山东)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率。 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同〞的事件记为， 那么 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A〞，“一次取出的3个小球上有两个数字相同〞的事件记为B，那么事件A和事件B是互斥事件，因为, 所以. （II）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5. 所以随机变量的概率分布为 2 3 4 5 因此的数学期望为 （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间〞的事件记为，那么 【例4】（2023全国Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件。一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）假设抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购置这批产品，求这批产品给用户拒绝购置的概率。 解：（I）ξ可能的取值为0，1，2，3. ， ， ， . ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 数学期望为Eξ=1.2. （II）所求的概率为 【研讨.欣赏】（2023辽宁）现有甲、乙两个工程，对甲工程每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;乙工程的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙工程产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙工程产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙工程每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两工程各投资十万元一年后的利润. （I）求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望Eξ1、Eξ2; （II）当Eξ1<Eξ2时,求的取值范围. 解（I）法一：ξ1的概率分布为 ξ1 1.2 1.18 1.17 P 由题设的ξ－B(2,p)，即ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 P 故ξ2的概率分布为 ξ2 1.3 1.25 0.2 P 所以ξ2的数学期望为 解法二：ξ1的概率分布为 ξ1 1.2 1.18 1.17 P 设表示事件“第 i 次调整，价格下降〞（i=1,2），那么 故ξ2的概率分布为 ξ2 1.3 1.25 0.2 P (1-p)2 2p(1-p) P2 所以ξ2的数学 （II）解：由，得， 整理得， 解得。 因为，所以，当时，得取值范围是。 五．提炼总结以为师 1.离散型随机变量的期望和方差的意义. 2.求期望与方差.首先应先求出分布列，再代公式求期望与方差. 3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质： 4.二项分布的期望与方差：假设ξ～B（n，p），那么Eξ=np，Dξ=np（1－p）. 同步练习 10.9离散型随机变量的期望与方差 【选择题】 1.下面说法中正确的选项是 （　） A.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。 C.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。 D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。 2.是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，那么以下各式正确的选项是 ( ) A.= B.= C.=a+b D= 3.设ξ是随机变量,a、b是非零常数,那么以下等式中正确的选项是 ( ) A.D(aξ+b)=a2Dξ+b B.E(aξ)=a2Eξ C.D(aξ)=a2Dξ D.E(aξ+b)=aξ 【填空题】 4.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________. 5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选