2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案95空间的角和距离microsoftword文档doc高中数学.docx

9．5空间的角和距离 一、明确复习目标 1.掌握空间三种角的概念和求法； 2.掌握空间中各种距离的概念和求法； 3．能利用这些概念和方法进行论证和解决有关问题. 二．建构知识网络 1．空间的三种角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角. 2．距离有七种，即点点、点线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离. 空间角和距离的求法,概括地讲都是转化为平面几何几何问题求解,或利用以下计算公式. 3.常用计算公式 （1） S′=S.cosα （2） cosθ=cosθ1·cosθ2 能想象上式中α，θ，θ1，θ2是什么角，S，S′表示什么吗？ (3) 异面直线上两点间距离公式: 设异面直线a，b所成角为θ 那么EF2=m2+n2+d2±2mncosθ θθ 三、双基题目练练 1．在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，这时二面角B—AD—C大小为 （ ） A．600 B.900 C.450 D.1200 2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，假设△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，那么P到α的距离是 （ ） A.13 B.11 C.9 D.7 3.三棱锥V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成二面角分别为α，β，γ（都是锐角），那么cosα+cosβ+cosγ等于 （ ） A.1 B.2 C. D. 4.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，那么PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________. 5．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补〞，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题__________，这个命题的真假性是______ . 6。正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，那么点到侧面的距离为_____． ◆答案提示：1-3．ABA； 4. ； 2．提示：作PO⊥平面ABC于O，那么O是Δ的外接圆圆心，且∠AOB=1200…… 3．提示：四个面全等，设面积为S，设三个侧面在底面上的射影分别是S1、S2、S3，那么 S= S1+S2+S3=Scosα+Scosβ+Scosγ… 5．“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那麽这两个二面角的平面角相等或互补〞.当两棱不平行不成立，所以，这个命题是错误的. 6。 四、以典例题做一做 【例1】如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600. （1） 求异面直线DA与BC所成的角； （2） 求异面直线BD与AC所成的角； （3） 求D到BC的距离； （4） 求异面直线BD与AC的距离. D C B A 解析：（1）DA与BC成600角 （2）设BE中点为O，DE中点为F，连OF，那么OF//BD，求∠AOF即为 异面直线BD与AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF =arccos F O M D E C N B A （3）∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC故取AE中点M，那么有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距离 在△DMN中，DM=a，MN=a ∴ DN=a （4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF ∴ AC∥平面BDF； 又BD平面BDF ∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ∵ ， ∴ ， 即异面直线BD与AC的距离为 ◆评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法. 【例2】（2023邯郸二模）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,M是PB的中点, (Ⅰ) 求证：CM∥侧面PAD； （Ⅱ）求直线CM与底面ABCD所成的角； （Ⅲ）求侧面PBC与侧面PAD所成二面角的大小 D C B P A M 解：(Ⅰ)证明：作MN∥AB交AP于N,连结DN, 那么MN∥AB∥CD,且 ∴CM∥ND,CM∥平面PAD （Ⅱ）∵CM∥ND, ∴ND与平面ABCD所成的角为所求. ∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影为AD ∴∠AND为所求； ∵⊿PAD是正三角形，N是PA的中点 ∴CM与底面所成的角为30º. （Ⅲ）延长AD、BC交于点E,连结P、E. 那么PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD 所以，∠APE=90º，AP⊥PE D C B P A M E 又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD ∴AB⊥平面PAE ∴BP⊥PE, ∠BPA为所求二面角的平面角 tan∠BPA= 所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2 【例3】如图，二面角α—PQ—β为60°，点A和点B分别在平面α和平面 β 内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a. （1）求证：AB⊥PQ； （2）求点B到平面α的距离； （3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度. Q P âβ B C D R A α E 证明（1）：在平面β内作BD⊥PQ于D，连结AD. ∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，CD公用， ∴△ACD≌△BCD . ∴∠ADC=∠BDC= 90°，即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD， 那么AB⊥PQ. （2）解：由（1）知，∠ADB是二面角α—PQ—β的平面角， ∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD， ∴α⊥平面ABD.过B作BE⊥AD于点E，那么BE即为B到平面α的距离. BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°= a. （3） 解：连结ER，∵BE⊥α，∴∠BRE是BR与α所成的角， 即∠BRE=45°，那么有BR== a.易知△ABD为正三角形，AB=AD=BD=a. 在△ABC中，由余弦定理得cos∠BCA=. 在△BCR中，设CR=x，由余弦定理得（a）2=x2+a2－2ax·，求得x1=，x2=（舍去，∵CR<AC=a），故CR=. 【例4】四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，,,,． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小． 解:（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面． 因为，所以， 又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设， D B C A S E 故，由，，． 又，作，垂足为，那么平面，连结．为直线与平面所成的角． ∴直线与平面SBC所成的角为． 五．提炼总结以为师 同步练习 9.5空间的角和距离 1.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，那么E到A1B的距离是 ( ) A. a B. a C. a D. a 2.异面直线a，b，a⊥b，c与a成300，那么c与b成角范围是 ( ) A. [600，900] B.[300，900] C.[600，1200] D.[300，1200] 3.平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么点P到平面α的距离 （ ） A. B. C. D. 4.一个山坡面与水平面成1200的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的点，假设PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为 ( ) A. B. C. D. 5.如图，在正三棱柱中，．假设二面角的大小为，那么点到平面的距离为_____． 6.l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个平面依次互相平行，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与α成30°角，那么β与γ的距离是__________；DE=__________. ◆答案： 1-4．DAAB； 5. ; 6. 6 、 2.5； 【解答题】 7.正方体ABCD—A1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点. （1）证明：截面C1EAF⊥平面ABC1. （2）求点B到截面C1EAF的距离. 证明（1）：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EF∥B1C，直线B1C⊥BC1且B1C⊥AB，那么直线B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1.而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1. A A D D B B C C 1 1 1 1 E F 解（2）：在平面ABC1内，过B作BH，使BH⊥AC1，H为垂足，那么BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH===. 8． （2022广东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。 解：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1//E1E, D1C1=E1E,那么四边形D1E1EC1是平行四边形。那么E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线与所成的角。 在Rt△BE1F中，. . 在Rt△D1DE1中, 在Rt△D1DF中, 在△E1FD1中,由余弦定理得： ∴直线与所成的角的余弦值为. 9.（2023全国I）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段 点A、B在上，C在上， （Ⅰ）证明⊥； （Ⅱ）假设，求与平面ABC所成角的余弦值 _ N _ M _ H _ C _ B _ A 证明 (Ⅰ)由l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN 由MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB 又AN为AC在平面ABN内的射影 ∴AC⊥NB （Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又∠ACB=600, 因此△ABC为正三角形. ∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角 在Rt△NHB中, cos∠NBH= = = 【探索题】 如图，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离. 解析： 作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，那么EF为异面直线AE、BF的公垂段，AE与BF成600角，可求得|AB|