2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案85直线圆锥曲线的综合应用microsoftword文档doc高中数学.docx

8．5 圆锥曲线综合应用 一、明确复习目标 1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 4．了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法． 二．建构知识网络 解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。 复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。 三、双基题目练练手 1．(2023北京)设，“〞是“曲线为椭圆〞的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，那么此双曲线的方程是 ( 　 ) A．　　B．　　　C．　　　D． 3．(2023江苏)两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，那么动点P（x，y）的轨迹方程为（　） （A）　　　 （B）　　　 （C）　　　 （D） 4．（2023江西）为双曲线的右支上一点,、分别是圆 上的点,那么的最大值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．(2023山东)设直线关于原点对称的直线为，假设与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，那么使的面积为的点的个数为______． 6． 直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，假设AB的中点为M，那么直线l的方程是________． 简答：1-４．BCBD；　 ４．设左焦点为F1，右焦点为F2，由双曲线定义和三角形边的关系得： ，选D ５．２；　　６． +=1， +=1．相减得 ∴=－·． 又∵M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2． ∴直线l的斜率为－． 得直线l的方程为3x+4y－7=0． 四、经典例题做一做 【例1】(2023福建) 椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线上。 设那么圆半径 x y l G A B F O 由得 解得 所求圆的方程为 （II）设直线AB的方程为 代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。 记中点 那么 的垂直平分线NG的方程为 令得 点G横坐标的取值范围为 【例2】(2023天津)如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线． （1）证明，并求直线与轴的交 点的坐标； （2）设直线交椭圆于、两点，证明 ． （Ⅰ）证明：由题设条件知，∽故 ，即 因此，　　　　　　　　　　① 解：在中 ． 于是，直线OA的斜率．设直线BF的斜率为，那么 ． 这时，直线BF与轴的交点为 (Ⅱ)证明：由（Ⅰ），得直线BF得方程为且 ② 由，设、，那么它们的坐标满足方程组 ③ 由方程组③消去，并整理得 ④ 由式①、②和④， 由方程组③消去，并整理得 ⑤ 由式②和⑤， 综上，得到 注意到，得 【例3】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A假设炮击P地，求炮击的方位角． 解：如以下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，那么 P C y x A B D O B（－3，0）、A（3，0）、C（－5，2）． 因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上． 因为kBC=－，BC中点D（－4，）， 所以直线PD的方程为y－=（x+4） ① 又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上． 设P（x，y），那么双曲线方程为－=1（x≥0） ② 联立①②，得x=8，y=5， 所以P（8，5）．因此kPA==． 故炮击的方位角为北偏东30°． 【例4】 (2023春上海) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验． 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线局部，降落点为． 观测点同时跟踪航天器． （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 解（1）设曲线方程为， 由题意可知，． ． 曲线方程为 （2）设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或（不合题意，舍去）． ． 得 或（不合题意，舍去）． 点的坐标为， ． 答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令． 【研讨．欣赏】（2023重庆）一列椭圆，。假设椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。 （Ⅰ）试证：； （Ⅱ）取，并用表示的面积，试证：且 证：（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。 设，那么右准线方程为． 因此，由题意应满足即解之得：。 即，从而对任意． （II）设点的坐标为，那么由及椭圆方程易知 。 因，故的面积为， 从而。 令。由，得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。 现在由题设取那么是增数列。 又易知。 故由前已证，知，且。 说明:如果建立Sn与n的函数,讨论单调性比较复杂. 五．提炼总结以为师 1．解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。 2．对于求曲线方程中参数范围或最值问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解，还有Δ法,几何法,向量法等． 3． 解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． ４．四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一． ５．注意用好以下数学思想、方法： ①数形结合思想；②方程与函数思想；③化归转化思想；④分类讨论思想；⑤对称思想；⑥主元与参数思想．此外，整体思想、正难那么反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法．在复习中必须给予足够的重视，真正发挥其联系知识、简化计算、提高能力中的作用． 同步练习 8．5 圆锥曲线综合应用 【选择题】 1．（2022湖北）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，假设P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P到x轴的距离为　　（　　） A． B．3 C． D． 2．(2023湖北)双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，那么mn的值为 （　　） A． B． C． D． 3．（2023辽宁）曲线与曲线的 (　　) A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同 4．(2023湖北)设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设,且=1,那么P点的轨迹方程是（　　） A． 3x2+Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined.y2=1 (x>0,y>0) B．3x2-y2＝1（x>0, y>0） C．x2-3y2=1(x>0,y>0) D． x2+3y2=1(x>0,y>0) 【填空题】 5．(2023江苏卷)点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，那么这个椭圆的离心率为_______ 6．(2023江西)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，那么动点P的轨迹为双曲线； ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，假设那么动点P的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点． 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 简答提示：１－４．DAAD；　５．；　６．③④． 【解答题】 7．椭圆的焦点是F1（－1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）假设点P在第三象限，且∠P F1F2=1200，求tan∠F1PF2。 解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。 (2)设∠F1PF2=θ,那么∠PF2 F1=600－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到 , ∴化简可得,∴, 从而可求得tan∠F1PF2=。 思维点拨：解与△P F1F2有关的问题（P为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。 8．(2023上海文)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M． （1）求抛物线方程； （2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标； （3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m．0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系． 解：（1）抛物线y2=2px的准线为 ∴抛物线方程为y2= 4x． （2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2）， 又∵F（1，0）， ∴ 那么FA的方程为y=（x－1），MN的方程为 解方程组 （3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2． 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离， 当m≠4时，直线AK的方程为 即为 圆心M（0，2）到直线AK的距离，令 时，直线AK与圆M相离； 当