2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案83抛物线方程及性质microsoftword文档doc高中数学.docx

8．3抛物线方程及性质 一、明确复习目标 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用． 二．建构知识网络 1．抛物线的定义：到一个定点F的距离与到一条定直线L的距离相等的点的轨迹． 2．标准方程：y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= -2py (p>0) 　　图形略： 　3．几何性质：对于抛物线y2=2px要掌握如下性质： 对称轴, 顶点坐标,焦点坐标, 准线方程． 离心率 ,焦准距＝, 焦半经　　　rmin＝ 　 4．焦点弦： 对于y2=2px,过焦点的弦A(x1,y1)B(x2,y2)有 ， 通径：过焦点垂直于轴的弦长为。 5．焦半径为直径的圆与y轴相切, 焦点弦为直径的圆与准线相切． 三、双基题目练练手 1．(2023江苏)抛物线上的一点M到焦点的距离为1，那么点M的纵坐标是（ ） A． B． C． D．0 2． (2023上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线 （ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 3． 焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是 ( ) A． y2=16x B． y2=16x C．x2=－8y D．以上说法都不对． 4．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设PF与FQ的长分别为p、q,那么等于 ( ) A B C D 5． 以下列图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是___________； A x O y 6 7 6．抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N那么点N的坐标是_____________（用x0表示）； 简答：1-4．BBDC； 4．考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴, 5．把点A的坐标（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9． 令y=0，得ax2+9=0，即x2=－． 假设物体落在D内，应有6＜＜7， 解得－＜a＜－． 6.N(x0+4, 0) 四、经典例题做一做 【例1】给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值． 解：设P（x0，y0）（x0≥0），那么y02=2x0， ∴d=｜PA｜= ==． ∵a＞0，x0≥0， ∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0， 此时有x0=0时，dmin==a． （2）当a≥1时，1－a≤0， 此时有x0=a－1时，dmin=． 【例2】过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求∠A1FB1． 解法1：由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°－（∠AFA1+∠BFB1） =180°－（180°－∠A1AF）－（180°－∠B1BF） =（∠A1AF+∠B1BF）=90°． 法2：设弦AB的方程是： 得, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2= -p2 又, ∴从而知∠A1FB1=90°． 提炼方法： 1．平面几何法与定义法结合,简捷高效; 2． 弦AB的方程是：(此题不存在AB垂直于y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用． 【例3】 如以下列图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等．假设△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程． 解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点． 设曲线段C的方程为y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|， 所以M（－，0） 、N（，0）． 由|AM|=，|AN|=3，得 （xA+）2+2pxA=17， ① （xA－）2+2pxA=9． ② ①②联立解得xA=，代入①式，并由p>0， 或 解得 p=4， p=2， xA=1 xA=2． 因为△AMN为锐角三角形，所以>xA． 所以 故舍去 P=2， P=4， xA=2． xA=1． 由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4． 综上，曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）． 提炼方法： 1．熟练运用定义确定曲线C是抛物线段; 2．合理选择坐标系,确定标准方程; 3．运用距离公式求出标准方程中的待定系数; 4．特别注意范围的限定． 【例4】(2023全国卷Ⅲ)设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线． （Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围． 解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0， ∴上述条件等价于 ∵， ∴上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F． 另解：（Ⅰ）∵抛物线，即， ∴焦点为 （1）直线的斜率不存在时，显然有 （2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b 即直线：y=kx+b 由得： 即的斜率存在时，不可能经过焦点 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F （II）(理)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得； A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 即 设AB的中点N的坐标为，那么 由 即得l在y轴上截距的取值范围为（）． 法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减得 , 中点在抛物线内必 【研讨．欣赏】(2023山东文) 动圆过定点，且与直线相切，其中． （I）求动圆圆心的轨迹的方程； （II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为 （II）如图，设，由题意得。又直线的倾斜角满足，故。∴直线的斜率存在，否那么，的倾斜角。从而设直线的方程为，显然，将与 联立消去，得由韦达定理知① 由，得 。将①式代入上式整理化简，得：此时直线的方程可表示为：，即。∴直线恒过定点 五．提炼总结以为师 1．求抛物线方程的方法：待定系数法,定义法,直接法; 2．涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求〞的策略,防止求交点坐标的复杂运算． 3．解决焦点弦问题时，应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用，注意抛物线上的点,焦点,,准线三者之间的联系． 同步练习 8．3抛物线方程及性质 【选择题】 1．(2023全国)抛物线上一点A的纵坐标为4，那么点A与抛物线焦点的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2 点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是 ( ) A B C D 3．一个酒杯的轴截面为抛物线的一局部,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,那么玻璃球的半径的范围为 () A B C D 4． 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),那么与的大小关系为 ( ) A B C D 不确定 【填空题】 5．抛物线 的动弦AB长为,那么AB中点M到轴的最短距离是 ________ 6．对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________．（要求填写适宜条件的序号） 简答提示：1－4：DCCC；2． 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值 3． 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题。 4．向量解法： 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出 5．可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短，答案 6．由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件．答案：②⑤ 【解答题】 7．(2023春北京文) 如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1,y1）,N(x2, y2)两点． （1）求x1x2与y1y2的值； （2）求证：OM⊥ON． （Ⅰ）解：直线l的方程为 ① 代入y2=2x消去y可得 ② 点M，N的横坐标x1与 x2是②的两个根， 由韦达定理得 （Ⅱ）证明：设OM，ON的斜率分别为k1, k2, 8．（本小题总分值14分）(2023年高考·广东卷17) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）． （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？假设存在，请求出最小值；假设不存在，请说明理由． 解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 那么 …（1） ∵OA⊥OB，即，　　　　　　　　　　　　　　　　……(2) 又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得 ∴， 所以重心为G的轨迹方程为． （II） 由（I）得 当且仅当即时，． 所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1． 9．（本小题总分值14分）(2023年春考·北京卷·理18) 如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点． （1）写出直线的截距式方程； （2）证明：； （3）当时，求的大小． （Ⅰ）解：直线l的截距式方程为 ① （Ⅱ）证明：由①及y2=2px消去x可得 ② 点M，N的纵坐标y1, y2为②的两个根，故 （Ⅲ）解：设OM，ON的斜率分别为k1,k2, 10．（2022春全国）抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程． 分析：点M随着A、B两点的变化而变化，点M是OM与AB的交点，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数． 解法一：设M（x0，y0），那么kOM=，kAB=－， 直线AB方程是y=－（x－x0）+y0． 由y2=4px可得x=，代入上式整理得 x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0． ① 此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标， ∴A（