2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案61不等式的性质doc高中数学.docx

2023届大纲版数学高考名师一轮复习教案6.1不等式的性质 第六章 不等式总览 知识结构网络 6.1不等式的性质 一、明确复习目标 掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题 二．建构知识网络 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b； ；；． 以此可以比较两个数（式）的大小，——作差比较法． 或作商比较：a>0时,；a<0时, . 2．不等式的性质： （1）对称性:， 证明：（比较法） （2）传递性:， （3）可加性:. 移项法那么: 推论：同向不等式可加. （4）可乘性:， 推论1：同向(正)可乘: 证明：（综合法） 推论2：可乘方(正): (5) 可开方(正): 证明：（反证法） 不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强 三、双基题目练练手 1.(2023春上海) 假设，那么以下不等式成立的是( ) A.. B.. C.. D.. 2.(2022北京）a、b、c满足，且，那么以下选项中不一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 3. 对于实数，下命题正确的选项是 ( ) A.假设a<b,那么. B.假设,那么. C.假设,那么. D.假设a>b>0,d>c>0,那么 4.（2022春北京）三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 5.(2022辽宁)对于，给出以下四个不等式 ① ② ③ ④ 其中成立的是_________ 6.a＞b＞0，m＞0，n＞0，那么，，，的由大到小的顺序是____________. 练习简答:1-4.CCCD; 5. ②与④; 6.特殊值法,答案：＞＞＞ 四、经典例题做一做 【例1】a<2，<b≤2a，c＝b-2a， 求c的取值范围． 解：∵b≤2a ∴c=b-2a≤0, ∴ b-4>-2a=． ∴c的取值范围是：<c≤0． 【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(－2)的取值范围 解：由1≤a－b≤2, ①, 2≤a+b≤4 ② 假设将f(－2)=4a－2b用a－b与a+b,表示，那么问题得解 设4a－2b=m(a－b)+n(a+b), (m,n为待定系数) 即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b, 于是得得：m=3, n=1 由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10 即5≤f(－2)≤10, 另法：由得 ∴f(－2)=4a－2b=3 f(－1)+ f(1)…… ◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a－2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释. 【例3】(1)设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时， 比较A与B的大小. (2)设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小. 解: (1)A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n） =x－n（x2n+1－x2n－1－x） =x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］ =x－n（x－1）（x2n－1－1）. 由x∈R+，x－n＞0，得 当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0； 当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即 x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B. (2)∵0＜x＜1，所以 ①当3a＞1，即a＞时， |log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3| =|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）| =3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］ =－3log3a（1－x2）. ∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0. ②当0＜3a＜1，即0＜a＜时， |log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3| =3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］ =3log3a（1－x2）＞0. 综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|. ◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号. 【例4】函数，，试比较与的大小． 解 作差— = 当时，得 =。 （2）当时，,所以 ①当时， 得 =。 ②当时，得 > ③当时，得 < 综上所述：当或时 =。 当且时 >。 当且时 <。 【研讨.欣赏】a>b>c，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2 （1） 证明：－； （2） 假设x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22 解：（1）a>b>c，a+b+c=0, ∴ 且 a>0， ∴1>， (2)(方法1) a+b+c=0 ∴ ax2+bx+c=0有一根为1， 不妨设x1=1,那么由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0， 而x2=x1x2=<0(3c<a+b+c=0)，∴ x2=－1 ∴x12－x1x2+x22=3 (方法2) x1+x2=－，x1x2= 由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－ x1x2==1， ∴ ∴x12－x1x2+x22= x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+ 五．提炼总结以为师 1.熟练掌握准确运用不等式的性质。 2.比较两数大小，一般用作差法。步骤：作差---变形(分解因式或配方)---判断符号 3.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论. 同步练习 6.1不等式的性质 【选择题】 1.(2023浙江)“〞是“〞的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　　　　　　 D.既不允分也不必要条件 2．（2023江西）假设,那么不等式等价于（ ） A. B. C. D. 3.(2022湖北)假设，那么以下不等式①；②③； ④中，正确的不等式有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.“不等式a3+b3+c3≥3abc〞成立的充要条件是 ( ) A.a+b+c≥0 B. a+b+c≥0,3abc≥0 C.a>0,b>0,c>0 D.a≥0, b≥0, c≥0 【填空题】 5.a＞2，b＞2，那么a+b与ab的大小关系是__________. 6.－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=那么A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是____________. 简答.提示：1-4.ADBA; 4. a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2 -3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3abc(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]≥0,<=> a+b+c≥0 5. 解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b. 6.取特殊值a=－，计算可得A=，B=，C=，D=. ∴D＜B＜A＜C. 【解答题】 7.设实数a,b,c满足①b+c＝6-4a+3a2,②c-b＝4-4a+a2，试确定a,b,c的大小关系. 解:∵c-b＝(a-2)2≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a2，∴b＝1+a2,∴b-a＝a2-a+1＝(a-)2+>0,∴b>a，从而c≥b>a. 8. 函数f(x)=x3+x 证明: (1) f(x)是增函数; (2) 假设a,b,c∈R, 且,a+b>0,b+c>0,c+a>0,那么f(a)+f(b)+f(c)>0. 证明:(1)设x1<x2 f(x1)-f(x2)=x13+x1-x23-x2 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1) ① 当x1,x2同号时, ①=(x1-x2)[(x1-x2)2+3x1x2+1)]<0 当x1,x2异号时,①=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2+1)]<0 综上有f(x1)<f(x2),故f(x)是增函数. (2)∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数.又a+b>0即a>-b ∴f(a)>f(-b)=－f(b),即 f(a)+f(b)>0. 同理, f(b)+f(c)>0, f(a)+f(c)>0. 三式相加得2[f(a)+f(b)+f(c)]>0,所以f(a)+f(b)+f(c)>0成立. 9.在等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3.试比较下面两组数的大小. (1) a2与b2. (2) (2)a5与b5. 解:设an＝a1+(n-1)d,bn＝a1qn-1，依题意a1+2d＝a1q2,∴d＝a1q2-a1, ∴(1)a2-b2＝a1+d-a1q＝a1-a1q+a１q2-a１＝aq2-a1q+１＝a(q-1)2， ∵a1≠a3，∴a1≠a1+2d，即d≠0,q≠1, ∴a2-b2＝a１(q-1)2>0,∴a2>b2. (2)a5-b5＝a1+4d-a1q4＝a1-a1q4+2a1q2-2a1＝-a1q4+2a1q2-a1＝-a1(q2-1)2<0,∴a5<b5. 10.1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小. 解：（1+logx3）－2logx2=logx. 当或 即0＜x＜1或x＞时， 有logx＞0，1+logx3＞2logx2. 当①或②时，logx＜0. 解①得无解，解②得1＜x＜， 即当1＜x＜时，有logx＜0， 1+logx3＜2logx2. 当x=1，即x=时，有logx=0. ∴1+logx3=2logx2. 综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2； 当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2； 当x=时，1+logx3=2logx2. 【探索题】x、y是正实数,记 A(x,y)=,B(x,y)= (1) 证明:A(x,y)≤B(x,y) (2) 是否存在常数C,使得A(x,y)≤C≤B(x,y)恒成立证明你的结论. 证明:(1)B(x,y)－A(x,y)= ∴A(x,y)≤B(x,y). (2)鉴于二式中关于x,y的轮换对称性,令x=y,得A(x,y)=B(x,y)= 下证A(x,y)≤≤B(x,y) 同理. 所以,存在正常数C=,使A(x,y)≤C≤B(x,y)成立. (2)法2: (放缩法)