2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案51平面向量的概念与运算microsoftword文档doc高中数学.docx

第五章 平面向量 复数 知识结构网络 5.1平面向量的概念与运算 一.明确复习目标 1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法 3掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件 二．建构知识网络 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量. 可用有向线段表示.记作:…或…等；向量的长度即向量的模记作||。 (2)零向量： 其方向： (3)单位向量： 单位向量不唯一. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反. 规定：与任意向量平行。 (5)相等向量：长度相等且方向相同. 2.向量加法: 设， (1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法那么〞或“三角形法那么〞进行。 D C B A 如图 +==。 或 += 规定：； (2) 向量加法满足交换律与结合律； 3.向量的减法 （1）相反向量： 关于相反向量有： ①=； ②+()=()+=； ③假设、是互为相反向量，那么=,=,+=。 （2）向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 如上图表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。 (3)温馨提示：①用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。 ②三角形法那么的特点是“顺次首尾相接〞由此可知,封闭折线的向量和为零. 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4.实数与向量的积 (1)实数λ与向量的积：①是个向量;②模等于③方向λ>0时与同向,λ<0时与反向. (2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 5.向量共线定理： 向量与非零向量共线 怎样判定向量共线——(1)共线向量定理；(2)依定义; (3)用几何方法. 6.平面向量的根本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 三、双基题目练练手 1．(2023 广东) D是△ABC的边AB上的中点，那么向量 （ ） A. B C. D. 2．（2023山东）向量，且那么一定共线的 ( ) A .Ａ、B、D B. A、B、C C. B、C、D D.A、C、D 3．（2023江西）等差数列的前项和为,假设,且、、三点共线(该直线不过点),那么等于 （ ） A.100 B.101 C.200 D.201 4．设为非零向量，那么以下命题中,真命题的个数是______ ①与有相等的模； ②与的方向相同； ③与的夹角为锐角； ④且方向相反． 5. (2023 安徽)在平行四边形 ABCD中,,,,M为BC的中点,那么=__________（用表示） 6.设向量、不共线，=k+，=+k (kÎR)，假设∥，那么k=___ 7.(2023湖南) 如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且, P B A O M 那么的取值范围是________; 当时, 的取值范围是__________. 答案:1-3.AAA；4.2; 5. 找封闭折线,得; 6. =λ (λÎR)…;法2.仿坐标表示:k2-1=0…; 7.() ,.提示:作PC//OB,交AO延长线于点C,可知x<0.当时,PC//AB,设PC交OM于D,交AB延长线于E,P必在DE之间,可知. 四、经典例题做一做 【例1】如图,在梯形ABCD中 ,G为对角线AC、BD的交点，E、 F分别是腰AD、BC的中点，求向量。 G F E D C B A 图1 解：（1）∵ E,F分别是两腰的中点， ∴,又 ，， 两式相加得； （2）设，， 由得： ∴, ◆提炼方法：1.用好“封闭折线的向量和等于零向量〞; 2.由共线求交点的方法:待定系数λ,μ. 【例2】设不共线，求证：点P、A、B共线的充要条件是： 。 证明：充分性： ∴A、P、B共线。 必要性：A、P、B共线，那么有 必要性成立。 特例：当时，，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。 ◆提炼方法1. 利用向量证明三点共线的方法： (1) 证明有公共点的的两个向量平行,那么这两个向量的四个(三个)端点共线； (2) 利用此题的结论. 2.证向量平行的方法: (1)共线向量定理；(2)依定义; (3)用几何方法. 【例3】G是△ABC的重心，O是外心,H是垂心,P是平面ABC内任意一点,求证： b a G C B A 图2 D (1) ; (2) ; (3) ; (4) 点O、G、H三点共线。 证明：(1)以向量为邻边作平行 四边形GBEC，那么， 又G为△ABC的重心知，从而， ∴。 （2）如图1易知，，； 三式相加得 （3）作辅助线如图2,DA⊥AC,DB⊥BC,∴DA//BH,DB//AH D O H C B A E 图3 在ADBH中,, ∴ (4)在(2)中取P为O,得 ∴,点O、G、H共线。 ◆提炼方法：1.明确解题目标,用好加法的两个法那么、几何图形和向量中处理问题的一些手法，如向量共线、点共线的证法和用法; 2.（2023全国Ⅰ）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，那么实数m = .是题(3)的结果. 【例4】一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从处出发航行到河的正对岸处，船的航行速度为，水流速度为. (1)试求的夹角(精确到),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到); (2)要使船到达对岸所用时间最少, 的夹角应为多少 ┐ A B 解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使的合速度的方向正好垂直于对岸,所以, 的夹角满足,,故的夹角；船垂直到达对岸所用的时间. （2）设的夹角为（如图），在垂直方向上的分速度的和为，而船到达对岸时，在垂直方向上行驶的路程为，从而所 用的时间为，显然，当时，最小，即船头 始终向着对岸时，所用的时间最少，为. ◆提炼方法：理解物理意义，用向量的知识解决. A B C 图4 E I D F 【研讨.欣赏】如图4,求证ΔABC的三条 角平分,AD,BE,CF交于一点. 证明:设,CF,BE交于点I.由于 C,I,F共线, B,I,E共线,可设 由得, ∵不共线,∴ 同理设CF,AD交于点J,,可求得δ=λ,即J与I重合,说明三条角平分线交于一点. ◆方法提炼:相邻两边上单位向量的和向量在两边夹角角的平分线上. 五．提炼总结以为师 1.向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2.向量加法减法: 3.实数与向量的积 4.两个向量共线定理,会由此定理证共线、求交点或线段长度,比值. 5.平面向量的根本定理, 基底。 同步练习 5.1平面向量的概念与运算 【选择题】 C B A D 1.(2023上海) 如图，在平行四边形ABCD中，以下 结论中错误的选项是 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）； 2. (2023福建)点C在内,使。设，那么等于 ( ) A.　　 B.3　　　 C.　　 D.　 3. 设非零向量,,,假设= + + ,那么||的取值范围是（　） A．[0,1] [0,2] [0,3] [-3,3] 4.(2023全国Ⅰ)设平面向量、、的和 如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，那么 ( ) A B C D 【填空题】 5.设是不共线的向量,向量,，假设A,B,D三点共线,那么k的值等于_________-8 ６．（，）是平面上一个基底，假设=+λ，=-2λ-，假设，共线，那么λ=__________。 ◆练习简答：1-4.CBCD; 2.易知OC⊥AB,由得. 3.、、是单位向量,把起点移至原点，终点在单位圆上；方向相同时||最大为3，终点均匀分布在单位圆上时||最小为0. 5. -8; 6. 【解答题】 H D F a B A M C 7. 如图：在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=，试用、分别表示、、 解：∵ ABCD中，BF=MC=BC, ∴FM=BC=AD=AH ∴FM AH ∴四边形AHMF也是平行四边形，∴AF=HM 又 , 而 ∴= + , = - - -(-- ) = + 8.求证：起点相同的三个非零向量，，3－2的终点在同一条直线上． 证明：设起点为O，＝，=，＝3－2， 那么=2(－)，=－，， ∵ 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线， 即向量，，3－2的终点在同一直线上． 9. 假设a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）. （1）假设a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上 （2）假设|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小 解：（1）设a－tb=m［a－（a+b）］（m∈R）， 化简得（－1）a=（－t）b. ∵a与b不共线， ∴ ∴t=时，a、tb、（a+b）的终点在一直线上. （2）|a－tb|2=（a－tb）2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60°=（1+t2－t）|a|2， ∴t=时，|a－tb|有最小值|a|. 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题. 10. 求证ΔＡＢＣ的三条中线AD、BE、CF交于一点，并确定交点在中线上的位置。 _ G F E D A C 证明：设，ＡＤ，ＢＥ交于点Ｇ， ，在ΔACG中，由 ，可得． 同理可证，ＡＤ，ＣＦ也交于Ｇ点，Ｇ在ＡＤ的三分点处． 【探索题】在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示. A B C M N E 解：由得=，=. 设=λ，λ∈R， 那么=+=+λ. =+λ（－） =+λ（－）=（－）+λ. 同理，设=t，t∈R，那么 =+=+t=+t（－） =+t（－）=（－）+t. ∴（－）+λ=（－）+t. 由与是不共线向量，得解得 ∴=a+b.